Содержание
- 2. Содержание презентации: Понятие производной. Применение производной. Примеры. Заключение. Список использованной литературы.
- 3. Понятие производной. Исторические сведения. Определение производной. Дифференциал функции. Правила дифференцирования. Таблица элементарных производных.
- 4. Исторические сведения. Происхождение понятия производной. Ряд задач дифференциального исчисления был решён ещё в древности. Основное понятие
- 5. Для доказательства своего правила Ньютон, следуя в основном Ферма, рассматривает бесконечно малое приращение времени dt, которое
- 6. Путь к производной через касательную кривой. Математиков XV – XVII вв. долго волновал вопрос о нахождении
- 7. С самого начала XVII в. немало учёных, в том числе Торричелли, Вивиани, Роберваль, Барроу, пыталось найти
- 8. Основываясь на результатах Ферма и некоторых других выводах, Лейбниц значительно полнее своих предшественников решил задачу, о
- 9. Можно привести и другие примеры, показывающие, какую большую роль играет понятие производной в науке и технике.
- 10. Символы и термины. Приращение абсциссы Лейбниц обозначал через dx, соответствующее приращение ординаты – через dy. Ныне
- 11. Обозначения y ' и f ' (x) и для производной ввёл Лагранж. Сам термин «производная» впервые
- 12. Формулы дифференцирования у Лейбница и Эйлера и и дефекты в их логическом обосновании. Первый печатный курс
- 13. В первый период разработки математического анализа основоположники этой теории не могли достаточно чётко и ясно обосновать
- 14. Производная и дифференциал. В настоящее время «дифференцирование» понимают как вычисление дифференциалов функций, так и нахождение производных
- 15. Лишь со времён Коши, впервые ясно определившего производную как предел отношения приращения функции ∆ y к
- 16. Понятие производной. Определение производной. Для решения многих задач требуется найти разность значений функции в двух точках.
- 17. Рассмотрим поведение графика функции y = sin x в окрестности точки x = 0. Если увеличивать
- 18. Эта и другие задачи приводят к понятию производной Пусть функция y = f (x) определена в
- 20. С физической точки зрения этот предел есть значение скорости изменения функции f(x) относительно ее аргумента при
- 22. По аналогии с пределами вводится понятие правой и левой производных: Если существует производная в точке x0,
- 23. Если функция дифференцируема в точке x0, то она непрерывна в этой точке. Обратное, вообще говоря, неверно.
- 24. Дифференциал функции. Итак, график дифференцируемой функции в окрестности каждой своей точки сколь угодно близко приближается к
- 25. Линейную функцию y=f' (x0)(x- x0) называют дифференциалом функции f в точке x0 и обозначают df. Для
- 26. Дифференциал функции f(x) при данном значении х геометрически выражается приращением ординаты касательной к графику функции y=f(x)
- 27. Правила дифференцирования. Если функции f и g дифференцируемы в точке x0, то в этой же точке
- 28. Если функция y = f (x) непрерывна и строго возрастает в окрестности точки x0, причем f'
- 29. Пусть в окрестности точки t0 определены функции x (t) и y (t), причем x (t) непрерывна
- 30. Таблица элементарных производной.
- 31. Применение производной. Применение производной в исследовании функции. Использование производной в физике. Дифференциальное исчисление в экономике. Геометрический
- 32. Применение производной в исследовании функции. План исследования функции. Для построения графика функции нужно: 1) найти область
- 33. Основные понятия и определения теории экстремумов. Функция f(x) называется возрастающей в интервале (a,b), если при возрастании
- 34. Функция f (x) называется убывающей в интервале (a, b) если при возрастании аргумента x в этом
- 35. Если из неравенства x2 > x1 вытекает нестрогое неравенство f(x2) ≤ f(x1), то функция f (x)
- 36. 1. Дифференцируемая и возрастающая в интервале (a, b) функция f (x) имеет во всех точках этого
- 37. Максимумом функции f (x) называется такое значение f (x0) этой функции, которое не меньше всех значений
- 38. Таким образом, наибольшее значение функции f (x) на интервале [ a, b ] - это наибольший
- 39. Необходимый признак экстремума. Нахождение критических точек функции. 3. Необходимый признак экстремума. Если функция f (x) имеет
- 40. Первый и второй достаточные признаки существования экстремума. 4. 1-й достаточный признак экстремума. Если функция f(x) имеет
- 41. Правило нахождения экстремума Чтобы найти экстремум функции, надо: 1) найти производную данной функции; 2) приравнять производную
- 42. 4) если производная положительна в промежутке, лежащем слева от данной стационарной точки, и отрицательна в промежутке,
- 43. Выпуклость функции. Точки перегиба. Множество точек на плоскости называется выпуклым, если отрезок, соединяющий любые две точки
- 44. 6. Достаточное условие выпуклости. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна (отрицательна) на множестве X, то
- 45. 8. Необходимое условие перегиба. Вторая производная f''(x) дважды непрерывно дифференцируемой функции в точке перегиба x0 равна
- 46. Касательная к кривой. Пусть функция имеем кривую и на ней фиксированную точку M и точку N.
- 47. Значение производной f '(x) при данном значении аргумента x равно тангенсу угла, образованного с положительным направлением
- 48. Касательная плоскость к поверхности. Касательной плоскостью к поверхности в точке M называется плоскость, содержащая касательные ко
- 49. Т. к. разности x - x0, y - y0, z - z0 пропорциональны соответствующим дифференциалам, то
- 50. Скорость материальной точки. Пусть зависимость пути s от времени t в данном прямолинейном движении материальной точки
- 51. Теплоемкость вещества при данной температуре. Для повышения различных температур T на одно и то же значение,
- 52. Мощность. Изменение механического движения тела вызывается силами, действующими на него со стороны других тел. Чтобы количественно
- 53. Дифференциальное исчисление в экономике. Исследование функций. Дифференциальное исчисление - широко применяемый для экономического анализа математический аппарат.
- 54. В экономике очень часто требуется найти наилучшее или оптимальное значение показателя: наивысшую производительность труда, максимальную прибыль,
- 55. Эластичность спроса. Эластичностью функции f(x) в точке x0 называют предел Спрос - это количество товара, востребованное
- 56. Предельный анализ. Важный раздел методов дифференциального исчисления, используемых в экономике - методы предельного анализа, т. е.
- 57. Пример 1. Найти производную функции Решение: Функция имеет вид , где Используя формулу для производной частного
- 58. Функция имеет вид Используя правило нахождения производной сложной функции получаем: Подставляя в начальную формулу, получим:
- 59. Пример 2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y=x2-4x+5+|1 - x| на промежутке [0,4]. Решение: 1.
- 60. 2. Рассмотрим случай, когда x ≤ 1. y = x2 – 5x + 6 y' =
- 61. Пример 3. При каких значениях параметра а функция у=2x3-3x2+7 возрастает в интервале (а – 1, a
- 62. Пример 4. Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение функции в точке х=1,97. Решение: Ближайшая к 1,97
- 63. Пример 5. Найти уравнение касательной плоскости в точке (2a; a; 1,5a) гиперболического параболоида Решение: Производные: Z'x
- 64. Пример 6. Составить уравнение касательной и нормали к кривой в точке А, соответствующей значению параметра t=0:
- 65. Уравнение касательной имеет вид: Откуда: - уравнение касательной. Уравнение нормали имеет вид: Откуда: - уравнение нормали.
- 66. Пример 7. При каком значении параметра p касательная к графику функции y=x3 - px в точке
- 67. Пример 8. При каких значениях параметра а касательные к графику функции y=4x2-|a|x, проведенные в точках его
- 68. Найдем значения производной: 1) y'(0) = -|a| = -tg60○ a=±√3 y'(|a|/4) = |a| = tg60○ a=±√3
- 69. Пример 9. Исследуйте функцию f ( x ) = x 3 + 2x 2 - x
- 70. 5) Это значит, что числовая ось делится этими корнями на четыре интервала знакопостоянства, внутри которых функция
- 71. Полученные результаты сведем в таблицу и построим график:
- 73. Пример 10. Найти сумму 1+2*1/3+3(1/3)2+…+100(1/3)99; Решение. Найду сумму g(x)=1+2x+3x2+…+100x99 и подставим в нее x=1/3. Для этого
- 74. Пример 11. Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением s = A + Bt +
- 75. Пример 12. Три резистора сопротивлениями R1, R2, R3 соединены параллельно. Сопротивление R1 в 9 раз больше
- 76. В интересующем нас интервале только одна точка R2 = R/13 в которой эта производная меняет знак
- 77. Пример 12. Высота пирамиды TABC с основанием ABC проходит через середину ребра AC. Выберите на AC
- 78. Решение: HF=FC=1/2; S∆BME = BM*EK*1/2;______ Из ∆TCH => TH = √4—1=√3; EF = TH/2=√3/2; Пусть MC
- 79. ∆KMF подобен ∆PMC(по двум углам): KF/PC = MF/MC(рис 2),_____ _ _________ KF = x√3(x—1/2)/(x√x2—2x+4) = √3(x—1/2)/(√x2—2x+4);
- 80. Пример 13. Платформа массой М начинает двигаться вправо под действием постоянной силы F. Из неподвижного бункера
- 81. Решение: Рассмотрим сначала случай, когда песок насыпается на платформу Движение системы платформа-песок можно описать с помощью
- 82. Разделим на Δt и перейдем к пределу Δt →0 Mdu/dt+μtdu/dt+μu=F или d[(M+μt)u]/dt = F Это уравнение
- 83. Пример 14. Выбрать оптимальный объем производства фирмой, функция прибыли которой может быть смоделирована зависимостью: π(q) =
- 84. Заключение. Применение производной довольно широко и его сложно полностью охватить в работе такого типа, однако мы
- 86. Скачать презентацию