Проверка статистических гипотез (лекция 9)

эмпирической и аналитической кривых распределения
Последовательность проверки:
- выдвигаются нулевая и альтернативная гипотезы
- назначается уровень значимости
- вычисляется эмпирическое значение тестовой статистики
- по результатам расчетов принимается решение
В качестве нулевой гипотезы принимается гипотеза о соответствие (согласии) аналитической и эмпирической функций распределения
Степень согласия оценивается с помощью специальных статистик
В гидрологической практике наиболее часто применяются критерий χ2 (Пирсона), критерий Колмогорова и критерий nω2 (Крамера – Мизеса – Смирнова).

и в настоящее время является наиболее распространенным критерием согласия
Последовательность применения:
Область допустимых значений (ОДЗ) исследуемой СВ Х разбивается на k интервалов. Число интервалов можно рассчитать по формуле k ≈ 5lg (n)
Интервалы по оси Х не будут равновеликими, но зато вероятность попадания значения СВ Х в любой интервал будет одинаковой p = 1/k
Теоретическое число случаев попадания значения СВ Х в каждый интервал будет равно m = n/k (n – длина выборки)
Расхождение между эмпирическими данными и аналитической функцией распределения определяется по тестовой статистике

где р* и рi – соответственно эмпирическая и теоретическая вероятность попадания значения СВ в i – й интервал; n – длина выборки; k – число интервалов.

от вида исходного распределения и при достаточно большом n хорошо аппроксимируется распределением χ2 – квадрат с числом степеней свободы (v = k – r – 1);
где r – число параметров исходного распределения, определяемых по эмпирическим данным
Учитывая, что p*= m*/n можно записать, что

где m* и m – соответственно эмпирическое и теоретическое число случаев попадания значения СВ Х в i- тый интервал.

В итоге получим, что

аналитической кривых обеспеченностей не опровергается, если эмпирическое значение статистики χ2 не превышает теоретическое значение χ2, соответствующее принятому уровню значимости (α), т.е. (χ2)* = χ21-α

Критерий χ2 может быть применен при выяснении вопроса о лучшем соответствии одной из нескольких аналитических кривых распределения одному и тому же эмпирическому ряду. При этом меньшее значение χ2 будет свидетельствовать о лучшем соответствии данной функции распределения эмпирическим данным
Принято считать, что критерий согласия χ2 допустимо применять при n > 50. При этом желательно, чтобы число интервалов было равно 8-12 и в каждом разряде было не менее 5 элементов.

Из предыдущего выражения видно, что чем больше значение статистики χ2, тем больше расхождение между эмпирической и аналитической кривыми. Поэтому при использовании критерия χ2 (Пирсона) назначают односторонний уровень значимости (обычно α=5% или α=10%).

по величине расхождение между эмпирической Р*(х) и аналитической Р(х) функциями обеспеченностей
∆ = max [Р*(х) - Р(х)]
Последовательность вычисления
1. Для каждого значения СВ Х вычисляются Р*(х), Р(х) и их разности
2. Выбирается наибольшее по модулю разность ∆
3. Рассчитывается статистика λ* = ∆√n, где n – объем выборки.
4. Функция обеспеченностей статистики λ при достаточно больших значениях n (n>40) может аппроксимирована выражением

Координаты этой функции представлены в таблицах
5. Если значение Р(λ*) больше принятого уровня значимости, то гипотеза о соответствии эмпирической и аналитической функций распределения не опровергается

аналитической функциями распределения
Наибольшая разность ∆ обычно отмечается в средней части кривой распределения, в то время как в гидрологической практике чаще всего важно знать ее крайние левые и правые части
Критерий не учитывает числа параметров, входящих в теоретическую функцию распределения

является средний квадрат отклонений между аналитической Р(х) и эмпирической Р*(х) функциями обеспеченностей по всем значениям случайной величины Х

где Р(х) – рассчитывается по формуле pm = ((m-0.5)100%)/n
Для расчета Р(х) можно использовать формулу pm = (100m)/(n+1)
В этом случае выражение для тестовой статистики примет вид

При n>40 распределение статистики nω2 не зависит от вида исходного теоретического распределения и близко к некоторому предельному распределению, показанному ниже в таблице

тестовой статистики, вычисленное с использованием выражения

оказывается больше теоретического значения nω2 при уровне значимости α%, то гипотеза о соответствии эмпирической и аналитической функций обеспеченностей опровергается.

общей схемы статистической проверки гипотез. В качестве нулевой гипотезы принимается гипотеза о том, что имеющаяся выборка представляет собой последовательность независимых значений СВ
Применение критериев случайности основано на сопоставлении конкретных статистик эмпирического ряда с соответствующими теоретическими статистиками случайных совокупностей

и того же ряда
Длина серии – число элементов, входящих в серию
К серии из элементов а относятся члены последовательности, значения которых превышают выборочное среднее (или медианное) значение
К серии из элементов в относятся члены последовательности, значения которых меньше выборочного среднего (или медианного) значения

совокупность сформирована из независимых значений СВ, используется статистика R, представляющая собой сумму серий из элементов a, ra и в rв (длина серий i при этом значения не имеет). Пример расчета ra и rв ясен из рисунка на след. слайде
Для случайных совокупностей статистика R = ra + rв имеет нормальное распределение с параметрами

Исходя из этого, задавшись уровнем значимости α, можно построить для R доверительный интервал

где t1-α – квантиль стандартного нормального распределения (по таблице)
Если значение R*, определенное по выборке, попадает в этот интервал, то гипотеза о случайности данной совокупности не опровергается.

получим

наибольшую длину серии из элементов a и в: K = imax.
Теоретически доказано, что для СВ значение K выражается формулой

где α – вероятность (в долях единицы), с которой в выборке объемом n можно встретить хотя бы одну серию из элементов a и в длиной K и более.
При проверке нулевой гипотезы о случайности выборки эмпирическое значение статистики K* сравнивается с теоретическим, рассчитанным по вышепоказанной формуле
при уровне значимости α. Гипотеза не опровергается, если K*< K.

х2, х3 ….хn.
Переход от xi-1 к xi, называется повышением и обозначается «+», если xi-1 < xi,
Переход от xi-1 к xi, называется понижением и обозначается « - «, если xi-1 > xi,
Для случайных последовательностей число повышений и понижений распределяется асимптотически нормально с параметрами

Задавшись уровнем значимости α и учитывая, что математические ожидание и дисперсии числа повышений и понижений равны, можно построить доверительный интервал

где k – число повышений (k+) или (k-) в исследуемой выборке; t’1- α – квантиль нормального стандартного распределения
Если эмпирические значения k*+ или k *-. попадают в доверительный интервал, гипотеза о случайности выборки не опровергается

m – t’1-α√D < k < m + t’1-α√D

….хn для которого выполняется одно из неравенств

Для выборок, представляющих собой последовательности независимых значений СВ, число экстремумов распределено асимптотически нормально с параметрами

Проверка гипотезы о случайности ряда производиться так же, как в предыдущем случае