Расстояние от точки до плоскости. Теорема о трех перпендикулярах

Июль 24, 2022

Главная
Математика
Расстояние от точки до плоскости. Теорема о трех перпендикулярах

Содержание

2. План урока 1. Организационный момент. Постановка цели и задачи урока. 2.Актуализация знаний. Проверка домашнего задания. 3.
3. А С В D В домашней работе вы решали следующие задачи: Задача 1: Дано: ∠А =
4. M D C A B Задача 2: ABCD - параллелограмм, ВМ ⊥ (АВС), МС ⊥СD. Определите
5. Какое взаимное расположение прямых и плоскостей вы рассматривали в этих задачах? Перпендикулярность прямых. Перпендикулярность прямой и
6. А вот задачу следующего типа так просто не решить. Нужно познакомиться с новым понятием… ТРИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРА…
7. Задача№145
8. Актуализация опорных знаний. Проверка домашнего задания. Прежде, чем рассмотреть решение новой задачи, проверим решение домашних задач
9. А С В D Задача 1: Дано: ∠А = 300, ∠ АВС = 600 DВ ⊥(
10. А С В D α
11. M D C A B Задача 2: ABCD - параллелограмм, ВМ ⊥ (АВС), МС ⊥СD. Определите
12. M D C A B
13. 1. Угол между прямыми равен 90˚. Как называются такие прямые? Перпендикулярные. 2. Верно ли утверждение: «прямая
14. 4. Как определяется расстояние от точки до прямой на плоскости? Как длина перпендикуляра, проведенного из точки
15. АМ – наклонная, проведенная из точки А к плоскости α, М – основание наклонной. НМ –
16. Рассмотрим прямоугольный треугольник АМН: АН – катет; АМ – гипотенуза, Поэтому АН Вывод: Перпендикуляр, проведенный из
17. Расстояние от лампочки до земли…
18. Если прямая параллельна плоскости, то все точки прямой равноудалены от этой плоскости. (Доказательство приведено в задаче
19. Если две плоскости параллельны, то все точки одной плоскости равноудалены от другой плоскости. Расстоянием между параллельными
20. Если две прямые скрещивающиеся, то через каждую из них проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом
21. Назовите все наклонные к плоскости α. Назовите проекции этих наклонных на плоскость α. Какой отрезок на
22. α || β. Назовите цвет линии, определяющей расстояние между плоскостями. Закончите предложение. Расстоянием между прямой и
23. Назовите цвет линии, определяющей расстояние между скрещивающимися прямыми. α β
24. α A Теорема о трех перпендикулярах: H М Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно
25. α A H М а AM- наклонная, HM-проекция Дано:AH а⊥МH. Доказать: а⊥МА. Доказательство. 1. Так как
26. α A Теорема обратная к теореме о трех перпендикулярах: H М а Прямая, проведенная в плоскости
27. Применение знаний в стандартной ситуации A Решение задач. Задача №139 (устно). Из некоторой точки проведены две
28. B B1 H C А
29. Задача№145 A D B C
30. Задача№145
31. Решение задачи из ЕГЭ (типа С2). Все грани призмы ABCDA1B1C1D1-равные ромбы со стороной, равной 2. Углы
32. Решение задачи: Докажем, что DO- искомое расстояние. ABCDA1B1C1D1-параллелепипед (все грани-параллелограммы). Рассмотрим треугольники BAD, AA1D, AA1B. Они
33. 5. Длину DO находим из прямоугольного треугольника DOB, зная гипотенузу DB и катет BO. Находим ВО
34. (Работа с тестом) Отвечая на вопросы тестовых заданий (два варианта), установить истинность или ложность высказывания, поставив
35. Верно ли, что две прямые, параллельные одной плоскости, перпендикулярны (две прямые, перпендикулярные к одной плоскости, параллельны)?
36. 4. Могут ли две скрещивающиеся прямые быть перпендикулярными к одной плоскости (две пересекающиеся прямые быть перпендикулярными
37. Критерии оценок 5 правильных ответов – «5» 4 правильных ответа – «4» 3 правильных ответа –
38. Подведение итогов Дано: AD┴ (АВС) Каково взаимное расположение прямых СВ и BD ? Ответ обоснуйте. D
39. Домашнее задание № 143, 140 (№144, №153 решены в учебнике, самостоятельно разобрать). 2. Ответить на вопросы
41. Скачать презентацию

Слайд 2

План урока
1. Организационный момент. Постановка цели и задачи урока.
2.Актуализация знаний.

Проверка домашнего задания.
3. Изучение нового материала.
4. Применение знаний в стандартной ситуации.
5. Подведение итогов.
6. Домашнее задание.

Слайд 3

А
С
В
D
В домашней работе вы решали следующие задачи:
Задача 1:
Дано: ∠А =

300, ∠ АВС = 600,
DВ ⊥( АВС)
Доказать, что СD ⊥АС

Организационный момент. Постановка цели и задачи урока.

Слайд 4

M
D
C
A
B
Задача 2:
ABCD - параллелограмм, ВМ ⊥ (АВС), МС ⊥СD.
Определите

вид параллелограмма АВСD.

Слайд 5

Какое взаимное расположение прямых и плоскостей вы рассматривали в этих задачах?
Перпендикулярность

прямых.
Перпендикулярность прямой и плоскости.

Слайд 6

А вот задачу следующего типа так просто не решить. Нужно познакомиться

с новым понятием…

ТРИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРА…
ТРИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ…
Как их увидеть среди окружающей нас обстановки?
Нам поможет новая тема: «Расстояние от точки до плоскости. Теорема о трех перпендикулярах».

Слайд 7

Задача№145

Слайд 8

Актуализация опорных знаний. Проверка домашнего задания.
Прежде, чем рассмотреть решение новой задачи,

проверим решение домашних задач и ответим на важные вопросы.

Слайд 9

А
С
В
D
Задача 1:
Дано: ∠А = 300, ∠ АВС = 600

DВ ⊥( АВС)
Доказать, что СD ⊥АС.

Слайд 10

А
С
В
D

α

Слайд 11

M
D
C
A
B
Задача 2:
ABCD - параллелограмм, ВМ ⊥ (АВС), МС ⊥СD.
Определите

вид параллелограмма АВСD.

Слайд 12

M
D
C
A
B

Слайд 13

1. Угол между прямыми равен 90˚. Как называются такие прямые?
Перпендикулярные.
2. Верно ли

утверждение: «прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости»
Да.
3. Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Слайд 14

4. Как определяется расстояние от точки до прямой на плоскости?
Как длина

перпендикуляра, проведенного из точки к данной прямой.

5. Как называются отрезки АМ, АН?

АМ – наклонная к прямой а;
АН – перпендикуляр, проведенный из точки А к прямой а.

Слайд 15

АМ – наклонная, проведенная
из точки А к плоскости α,
М –

основание наклонной.

НМ – проекция наклонной на плоскость α.

Изучение нового материала.
Рассмотрим плоскость α и точку А, не принадлежащую ей.
АН – перпендикуляр, проведенный из точки А к плоскости α,
Н – основание перпендикуляра.

Слайд 16

Рассмотрим прямоугольный треугольник АМН:
АН – катет; АМ – гипотенуза,

Поэтому АН < АМ.
Вывод: Перпендикуляр,
проведенный из данной
точки к плоскости, меньше
любой наклонной, проведенной
из этой же точки
к этой плоскости.
Его длина будет называться расстоянием
от точки А до плоскости α.

Слайд 17

Расстояние от лампочки до земли…

Слайд 18

Если прямая параллельна плоскости, то все точки прямой равноудалены от этой

плоскости.

(Доказательство приведено в задаче
№ 144.
Изучить самостоятельно дома)

Расстояние от произвольной точки прямой до плоскости называется расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью.

Слайд 19

Если две плоскости параллельны, то все точки одной плоскости равноудалены от

другой плоскости.
Расстоянием между параллельными плоскостями называется расстояние от произвольной точки одной плоскости до другой плоскости.

АА1 и ММ1 – перпендикуляры из произвольных точек плоскости α к плоскости β

АА1 || ММ1 => АА1 = ММ1.

Слайд 20

Если две прямые скрещивающиеся, то через каждую из них проходит плоскость,

параллельная другой прямой, и притом только одна.

Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми, MN.

Слайд 21

Назовите все наклонные к плоскости α.
Назовите проекции этих наклонных на плоскость

α.

Какой отрезок на чертеже определяет расстояние от точки М до плоскости α?

Подведем итог:

Слайд 22

α || β.
Назовите цвет линии, определяющей расстояние между плоскостями.
Закончите

предложение.
Расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью называется …

Слайд 23

Назовите цвет линии, определяющей расстояние между скрещивающимися прямыми.
α
β

Слайд 24

α
A

Теорема о трех перпендикулярах:
H
М
Прямая, проведенная в плоскости через основание

наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

а МH АH

Слайд 25

α
A

H
М
а
AM- наклонная, HM-проекция
Дано:AH
а⊥МH. Доказать: а⊥МА.
Доказательство.
1. Так

как АН ⊥α, то АН ⊥а.
2. а⊥МН, МН пересекается с АН и они лежат в одной плоскости (АНМ).
3. Значит, а⊥(АНМ) и а⊥АМ,
АМ принадлежит
(АНМ) (по признаку
перпендикулярности
прямой и
плоскости).
О каких трех перпендикулярах идет речь в теореме?
а НМ АМ

⊥α

Слайд 26

α
A

Теорема обратная к теореме о трех перпендикулярах:
H
М
а
Прямая, проведенная в

плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к проекции наклонной на плоскость. (Доказательство разобрать самостоятельно дома: задача 153, стр.45).

а AH МH

Слайд 27

Применение знаний в стандартной ситуации A
Решение задач.
Задача №139 (устно).
Из некоторой

точки
проведены две наклонные.
Докажите, что:
а) если наклонные равны,
то равны и их проекции;
б) если проекции наклонных Bb
равны, то равны наклонные;
в) если наклонные не равны,
то большая наклонная имеет
большую проекцию.

Слайд 28

B
B1
H
C
А

Слайд 29

Задача№145

A
D
B
C

Слайд 30

Задача№145

Слайд 31

Решение задачи из ЕГЭ (типа С2).
Все грани призмы ABCDA1B1C1D1-равные ромбы со

стороной, равной 2. Углы BAD, BAA1, DAA1равны 60̊ каждый. Найдите расстояние от точки D до плоскости BCD1.
D1 C1
A1 B1
O
D C
A B

Слайд 32

Решение задачи:
Докажем, что DO- искомое расстояние. ABCDA1B1C1D1-параллелепипед (все грани-параллелограммы).
Рассмотрим треугольники BAD,

AA1D, AA1B. Они равносторонние. Значит,
BD=DA1=BA1=2.
BA1D1C1-параллелограмм (ВС|| A1D1, BC=A1D1). BD1 и A1C-диагонали, точкой О делятся пополам.
DO-медиана и высота в равнобедренных треугольниках CDA1 и BDD1. Значит DO ⊥A1C, BD1.

Слайд 33

5. Длину DO находим из прямоугольного треугольника DOB, зная гипотенузу DB

и катет BO. Находим ВО как радиус описанной окружности около квадрата BA1D1C : 2/√2 =√2 .
BA1D1C –квадрат, так как равны как проекции наклонных отрезки DB,DD1,
DA1,DC .
6. В треугольнике DOB DO= √2 .
Ответ: √2 .

Слайд 34

(Работа с тестом)
Отвечая на вопросы тестовых заданий (два варианта), установить истинность

или ложность высказывания, поставив в таблице соответственно знаки «+» или
«-».
После чего проверим ответы по ключу.

Слайд 35

Верно ли, что две прямые, параллельные одной плоскости, перпендикулярны (две прямые,

перпендикулярные к одной плоскости, параллельны)?
Может ли прямая, перпендикулярная к плоскости, быть скрещивающейся с прямой, лежащей в этой плоскости (прямая, перпендикулярная к плоскости, быть параллельна прямой, лежащей в этой плоскости)?
Верно ли, что прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к двум прямым этой плоскости (она перпендикулярна к двум прямым, параллельным этой плоскости)?

Слайд 36

4. Могут ли две скрещивающиеся прямые быть перпендикулярными к одной плоскости

(две пересекающиеся прямые быть перпендикулярными к одной плоскости)?
5. Верно ли, что любая из трех взаимно перпендикулярных прямых перпендикулярна к плоскости двух других прямых (две прямые в пространстве, перпендикулярные к третьей прямой, параллельны)?

Слайд 37

Критерии оценок 5 правильных ответов – «5» 4 правильных ответа – «4» 3 правильных

ответа – «3»

Слайд 38

Подведение итогов
Дано: AD┴ (АВС)
Каково взаимное расположение прямых СВ и BD

?
Ответ обоснуйте.

Слайд 39

Домашнее задание
№ 143, 140 (№144, №153 решены в учебнике, самостоятельно разобрать).
2.

Ответить на вопросы пп 19, 20. Найти в Интернете другие способы доказательства теоремы о трех перпендикулярах.
3. Дополнительная задача: (С2 из ЕГЭ 2014).
В кубе ABCD A1B1C1D1 найдите угол между плоскостями AB1C и CB1D1.

Расстояние от точки до плоскости. Теорема о трех перпендикулярах

Содержание

План урока1. Организационный момент. Постановка цели и задачи урока.2.Актуализация знаний.

АСВDВ домашней работе вы решали следующие задачи:Задача 1: Дано: ∠А =

MDCABЗадача 2: ABCD - параллелограмм, ВМ ⊥ (АВС), МС ⊥СD. Определите

Какое взаимное расположение прямых и плоскостей вы рассматривали в этих задачах?Перпендикулярность

А вот задачу следующего типа так просто не решить. Нужно познакомиться

Задача№145

Актуализация опорных знаний. Проверка домашнего задания.Прежде, чем рассмотреть решение новой задачи,

АСВDЗадача 1: Дано: ∠А = 300, ∠ АВС = 600

АСВD α

MDCABЗадача 2: ABCD - параллелограмм, ВМ ⊥ (АВС), МС ⊥СD. Определите

MDCAB

1. Угол между прямыми равен 90˚. Как называются такие прямые? Перпендикулярные.2. Верно ли

4. Как определяется расстояние от точки до прямой на плоскости?Как длина

АМ – наклонная, проведенная из точки А к плоскости α,М –

Рассмотрим прямоугольный треугольник АМН: АН – катет; АМ – гипотенуза,

Расстояние от лампочки до земли…

Если прямая параллельна плоскости, то все точки прямой равноудалены от этой

Если две плоскости параллельны, то все точки одной плоскости равноудалены от

Если две прямые скрещивающиеся, то через каждую из них проходит плоскость,

Назовите все наклонные к плоскости α.Назовите проекции этих наклонных на плоскость

α || β. Назовите цвет линии, определяющей расстояние между плоскостями.Закончите

Назовите цвет линии, определяющей расстояние между скрещивающимися прямыми.αβ

αA Теорема о трех перпендикулярах:HМПрямая, проведенная в плоскости через основание

αA HМаAM- наклонная, HM-проекцияДано:AH а⊥МH. Доказать: а⊥МА. Доказательство. 1. Так

αA Теорема обратная к теореме о трех перпендикулярах:HМаПрямая, проведенная в

Применение знаний в стандартной ситуации AРешение задач.Задача №139 (устно). Из некоторой

BB1HCА

Задача№145 ADBC

Задача№145

Решение задачи из ЕГЭ (типа С2).Все грани призмы ABCDA1B1C1D1-равные ромбы со

Решение задачи:Докажем, что DO- искомое расстояние. ABCDA1B1C1D1-параллелепипед (все грани-параллелограммы).Рассмотрим треугольники BAD,

5. Длину DO находим из прямоугольного треугольника DOB, зная гипотенузу DB

(Работа с тестом)Отвечая на вопросы тестовых заданий (два варианта), установить истинность

Верно ли, что две прямые, параллельные одной плоскости, перпендикулярны (две прямые,

4. Могут ли две скрещивающиеся прямые быть перпендикулярными к одной плоскости

Критерии оценок 5 правильных ответов – «5» 4 правильных ответа – «4» 3 правильных

Подведение итоговДано: AD┴ (АВС)Каково взаимное расположение прямых СВ и BD

Домашнее задание№ 143, 140 (№144, №153 решены в учебнике, самостоятельно разобрать).2.

Похожие презентации

План урока
1. Организационный момент. Постановка цели и задачи урока.
2.Актуализация знаний.

А
С
В
D
В домашней работе вы решали следующие задачи:
Задача 1:
Дано: ∠А =

M
D
C
A
B
Задача 2:
ABCD - параллелограмм, ВМ ⊥ (АВС), МС ⊥СD.
Определите

Какое взаимное расположение прямых и плоскостей вы рассматривали в этих задачах?
Перпендикулярность

Актуализация опорных знаний. Проверка домашнего задания.
Прежде, чем рассмотреть решение новой задачи,

А
С
В
D
Задача 1:
Дано: ∠А = 300, ∠ АВС = 600

А
С
В
D

α

M
D
C
A
B
Задача 2:
ABCD - параллелограмм, ВМ ⊥ (АВС), МС ⊥СD.
Определите

M
D
C
A
B

1. Угол между прямыми равен 90˚. Как называются такие прямые?
Перпендикулярные.
2. Верно ли

4. Как определяется расстояние от точки до прямой на плоскости?
Как длина

АМ – наклонная, проведенная
из точки А к плоскости α,
М –

Рассмотрим прямоугольный треугольник АМН:
АН – катет; АМ – гипотенуза,

Назовите все наклонные к плоскости α.
Назовите проекции этих наклонных на плоскость

α || β.
Назовите цвет линии, определяющей расстояние между плоскостями.
Закончите

Назовите цвет линии, определяющей расстояние между скрещивающимися прямыми.
α
β

α
A

Теорема о трех перпендикулярах:
H
М
Прямая, проведенная в плоскости через основание

α
A

H
М
а
AM- наклонная, HM-проекция
Дано:AH
а⊥МH. Доказать: а⊥МА.
Доказательство.
1. Так

α
A

Теорема обратная к теореме о трех перпендикулярах:
H
М
а
Прямая, проведенная в

Применение знаний в стандартной ситуации A
Решение задач.
Задача №139 (устно).
Из некоторой

B
B1
H
C
А

Задача№145

A
D
B
C

Решение задачи из ЕГЭ (типа С2).
Все грани призмы ABCDA1B1C1D1-равные ромбы со

Решение задачи:
Докажем, что DO- искомое расстояние. ABCDA1B1C1D1-параллелепипед (все грани-параллелограммы).
Рассмотрим треугольники BAD,

(Работа с тестом)
Отвечая на вопросы тестовых заданий (два варианта), установить истинность

Подведение итогов
Дано: AD┴ (АВС)
Каково взаимное расположение прямых СВ и BD

Домашнее задание
№ 143, 140 (№144, №153 решены в учебнике, самостоятельно разобрать).
2.