Решение систем линейных уравнений

Август 1, 2022

Главная
Математика
Решение систем линейных уравнений

Содержание

2. Метод Крамера Метод Крамера—способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём
3. Метод Крамера Пусть нам требуется решить систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными: (1) в которой
4. Решите систему методом Крамера: Решение: Вычислим определитель системы: Так как определитель системы отличен от нуля, то
5. Матричный метод (с помощью обратной матрицы) Рассмотрим систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными: В матричной
6. Метод Гаусса Ранее рассмотренный метод можно применять при решении только тех систем, в которых число уравнений
7. Метод Гаусса Теперь из последнего уравнения исключим слагаемое, содержащее x2. Для этого третье уравнение разделим на
8. Метод Гаусса Метод Гаусса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений. Это метод последовательного исключения
9. Элементарные преобразования К элементарным преобразованиям системы отнесем следующее: перемена местами двух любых уравнений; умножение обеих частей
10. Общий случай Для простоты рассмотрим метод Гаусса для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными в
11. 2-ой шаг метода Гаусса На втором шаге исключим неизвестное х2 из третьего уравнения системы (3). Пусть
12. В результате преобразований система приняла вид: Система вида (5) называется треугольной. Процесс приведения системы (1) к
13. Если в ходе преобразований системы получается противоречивое уравнение вида 0 = b, где b ≠ 0,
14. Рассмотрим на примере Покажем последовательность решения системы из трех уравнений методом Гаусса Поделим первое уравнение на
15. Решите систему методом Гаусса: Решение: Первое уравнение оставим без изменения, а из 2-го и 3-го исключим
17. Скачать презентацию

Слайд 2

Метод Крамера
Метод Крамера—способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым

определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно). Создан Габриэлем Крамером в 1751 году.

Слайд 3

Метод Крамера
Пусть нам требуется решить систему трёх линейных уравнений с тремя

неизвестными:
(1)
в которой определитель системы (он составлен из коэффициентов при неизвестных) ∆≠0, а определители получаются из определителя системы ∆ посредством замены свободными членами элементов соответственно первого, второго и третьего столбцов.
Теорема (правило Крамера). Если определитель системы ∆≠0, то рассматриваемая система (1) имеет одно и только одно решение, причём

Слайд 4

Решите систему методом Крамера:
Решение:
Вычислим определитель системы:
Так как определитель системы отличен от

нуля, то система имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера.
Составим и вычислим необходимые определители :

Слайд 5

Матричный метод (с помощью обратной матрицы)
Рассмотрим систему трёх линейных уравнений с тремя

неизвестными:
В матричной форме записи эта система уравнений имеет вид , где
Пусть . Тогда существует обратная матрица . Если умножить обе части равенства на слева, то получим формулу для нахождения матрицы-столбца неизвестных переменных, т.е.
или .
Так мы получили решение системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными матричным методом.

Слайд 6

Метод Гаусса
Ранее рассмотренный метод можно применять при решении только тех систем,

в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, причём определитель системы должен быть отличен от нуля. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы.
Вновь рассмотрим систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными:
Первое уравнение оставим без изменения, а из 2-го и 3-го исключим слагаемые, содержащие x1. Для этого второе уравнение разделим на а21 и умножим на –а11, а затем сложим с 1-ым уравнением. Аналогично третье уравнение разделим на а31 и умножим на –а11, а затем сложим с первым. В результате исходная система примет вид:

Слайд 7

Метод Гаусса
Теперь из последнего уравнения исключим слагаемое, содержащее x2. Для этого

третье уравнение разделим на , умножим на и сложим со вторым. Тогда будем иметь систему уравнений:
Отсюда из последнего уравнения легко найти x3, затем из 2-го уравнения x2 и, наконец, из 1-го – x1.

Слайд 8

Метод Гаусса
Метод Гаусса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений.

Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.
Система т линейных уравнений с п неизвестными имеет вид:
x1 , x2, …, xn – неизвестные.
ai j - коэффициенты при неизвестных.
bi - свободные члены (или правые части)

Слайд 9

Элементарные преобразования
К элементарным преобразованиям системы отнесем следующее:
перемена местами двух любых уравнений;
умножение

обеих частей любого из уравнений на произвольное число, отличное от нуля;
прибавление к обеим частям одного из уравнений системы соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое действительное число.

Слайд 10

Общий случай
Для простоты рассмотрим метод Гаусса для системы трех линейных уравнений

с тремя неизвестными в случае, когда существует единственное решение:
Дана система:
1-ый шаг метода Гаусса
На первом шаге исключим неизвестное х1 из всех уравнений системы (1), кроме первого. Пусть коэффициент . Назовем его ведущим элементом. Разделим первое уравнение системы (1) на а11. Получим уравнение:
где
Исключим х1 из второго и третьего уравнений системы (1). Для этого вычтем из них уравнение (2), умноженное на коэффициент при х1 (соответственно а21 и а31).
Система примет вид:
Верхний индекс (1) указывает, что речь идет о коэффициентах первой преобразованной системы.

(1)

(2)

(3)

Слайд 11

2-ой шаг метода Гаусса
На втором шаге исключим неизвестное х2 из третьего

уравнения системы (3). Пусть коэффициент . Выберем его за ведущий элемент и разделим на него второе уравнение системы (3), получим уравнение:
где
Из третьего уравнения системы (3) вычтем уравнение (4), умноженное на Получим уравнение:
Предполагая, что находим

(4)

Слайд 12

В результате преобразований система приняла вид:
Система вида (5) называется треугольной.
Процесс приведения

системы (1) к треугольному виду (5) (шаги 1 и 2) называют прямым ходом метода Гаусса.
Нахождение неизвестных из треугольной системы называют обратным ходом метода Гаусса.
Для этого найденное значение х3 подставляют во второе уравнение системы (5) и находят х2. Затем х2 и х3 подставляют в первое уравнение и находят х1.
(5)

Слайд 13

Если в ходе преобразований системы получается противоречивое уравнение вида 0 =

b, где b ≠ 0, то это означает, что система несовместна и решений не имеет.
В случае совместной системы после преобразований по методу Гаусса, составляющих прямой ход метода, система т линейных уравнений с п неизвестными будет приведена или к треугольному или к ступенчатому виду.
Треугольная система имеет вид:
Такая система имеет единственное
решение, которое находится в
результате проведения обратного хода метода Гаусса.
Ступенчатая система имеет вид:
Такая система имеет бесчисленное
множество решений.

Слайд 14

Рассмотрим на примере
Покажем последовательность решения системы из трех уравнений методом Гаусса
Поделим

первое уравнение на 2, затем вычтем его из второго (a21=1, поэтому домножение не требуется) и из третьего, умножив предварительно на a31=3
Поделим второе уравнение полученной системы на 2, а затем вычтем его из третьего, умножив предварительно на 4,5 (коэффициент при x2)
Тогда

x3=-42/(-14)=3;
x2=8-2x3=2
x1=8-0,5x2-2x3=1

Слайд 15

Решите систему методом Гаусса:
Решение:
Первое уравнение оставим без изменения, а из 2-го

и 3-го исключим слагаемые, содержащие x1. Для этого второе уравнение умножим на , а затем сложим с 1-ым уравнением.
Аналогично третье уравнение умножим на , а затем сложим с первым.
В результате исходная система примет вид:
Теперь из последнего уравнения исключим слагаемое, содержащее x2. Для этого третье уравнение умножим на , и сложим со вторым. Тогда будем иметь систему уравнений:

Решение систем линейных уравнений

Содержание

Метод КрамераМетод Крамера—способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым

Метод КрамераПусть нам требуется решить систему трёх линейных уравнений с тремя

Решите систему методом Крамера:Решение:Вычислим определитель системы:Так как определитель системы отличен от

Матричный метод (с помощью обратной матрицы) Рассмотрим систему трёх линейных уравнений с тремя

Метод Гаусса Ранее рассмотренный метод можно применять при решении только тех систем,

Метод ГауссаТеперь из последнего уравнения исключим слагаемое, содержащее x2. Для этого

Метод ГауссаМетод Гаусса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений.

Элементарные преобразованияК элементарным преобразованиям системы отнесем следующее:перемена местами двух любых уравнений;умножение

Общий случайДля простоты рассмотрим метод Гаусса для системы трех линейных уравнений

2-ой шаг метода ГауссаНа втором шаге исключим неизвестное х2 из третьего

В результате преобразований система приняла вид:Система вида (5) называется треугольной.Процесс приведения