Решение заданий В11 (часть 1) по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике 2013 года

18.

1 способ

18.

2 способ

плоскостью, проходящей через середины двух ребер, выходящих из одной вершины и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины.

№2

Ответ: 1,5.

Площадь поверхности заданного многогранника равна разности площади поверхности прямоугольного параллелепипеда с ребрами
4, 3, 2 и двух площадей прямоугольников со сторонами 2, 1 (выделены цветом):

Ответ: 48.

Sпов. = 2(4·3 + 4·2 + 3·2 – 2·1) = 48

Площадь поверхности данного многогранника равна площади поверхности прямоугольного параллелепипеда
с ребрами 4, 5, 4:

Ответ: 112.

Sпов. = 2(4·5 + 4·4 + 4·5) = 112

поверхности заданного многогранника равна сумме площадей поверхности прямоугольного параллелепипеда с ребрами
6, 5, 1 и двух прямоугольников со сторонами 1 и 2, уменьшенной на площадь двух прямоугольников со сторонами 2 и 2:

Ответ: 78.

Sпов. = 2(6·5 + 6·1 + 5·1 + 1·2 – 2·2) = 78

поверхности заданного многогранника равна площади поверхности прямоугольного параллелепипеда с длиной ребер 2, 3, 2 минус площади двух прямоугольников с длинами сторон 2 и 5 – 2 = 3 уменьшенной на удвоенную площадь прямоугольника со сторонами 2, 3:

Ответ: 50.

Sпов. = 2(5·2 + 5·3 + 2·3 – 2·3) = 50

поверхности заданного многогранника равна сумме площадей большого и маленького параллелепипедов с ребрами 1, 4, 7 и 2, 1, 2, уменьшенной на 4 площади прямоугольника со сторонами 2, 2 — передней грани маленького параллелепипеда, излишне учтенной при расчете площадей поверхности параллелепипедов:

Ответ: 78.

Sпов. = 2(7·4 + 7·1 + 4·1 + 1·2 + 1·2 + 2·2 – 2·2·2) = 78

поверхности заданного многогранника равна сумме площадей большого и маленького параллелепипедов с ребрами 6, 6, 2 и 4, 4, 3, уменьшенной на 2 площади квадрата со сторонами 4, 4 — общей для обоих параллелепипедов, излишне учтенной при расчете площадей поверхности параллелепипедов:

Sпов. = 2(6·6 + 6·2 + 6·2 + 4·4 + 4·3 + 4·3 – 4·4) = 168

Ответ: 168.

3. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 262. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.

№9

Решение:
Площадь поверхности параллелепипеда равна
Sпов. = 2Sосн. + Sбок.
Sосн. = ab = 3 · 1 = 3
Sбок. = Росн. · h = 2·(3 + 1) · h = 8h
Имеем, 262 = 2 · 3 + 8h, откуда найдем третье ребро
8h = 262 – 6
8h = 256
h = 32

Ответ: 32.

4, а высота − 7.

№10

Решение:
Площадь боковой поверхности правильной призмы равна
Sбок. = Росн. · h
Sбок. = 6 · 4 · 7 = 168

Ответ: 168.

7

4

= 6а2
d2 = 3a2 – квадрат диагонали куба
d2 = Sкуба /2 = 1682/2 = 841
d = √841 = 29

Ответ: 29.

60. Площадь поверхности параллелепипеда равна 4800. Найдите его диагональ.

№12

Решение:
Площадь поверхности параллелепипеда равна
Sпов. = 2Sосн. + Sбок.
Sосн. = ab = 60 · 20 = 1200
Sбок. = Росн. · h = 2·(60 + 20) · h = 160h
Имеем, 4800 = 2 · 1200 + 160h, откуда найдем третье ребро
160h = 4800 – 2400
160h = 2400
h = 15
d2 = a2 + b2 + c2
d2 = 602 + 202 + 152 = 4225
d = 65 – диагональ параллелепипеда

Ответ: 65.

увеличится на 390. Найдите ребро куба.

№13

Решение:
Площадь поверхности куба равна
S1куба = 6а2
Если ребро увеличить на 5, то
S2куба = 6(а + 5)2, что на 390 больше.
Откуда имеем, 6(а + 5)2 − 6а2 = 390
Поделив на 6, получим:
(а + 5)2 − а2 = 65
(а + 5 − а)(а + 5 + а) = 65
5(2а + 5) = 65
2а + 5 = 13
а = 4

Ответ: 4.

диагоналями, равными 6 и 8, и боковым ребром, равным 10.

№14

Решение:
Площадь поверхности параллелепипеда равна
Sпов. = 2Sосн. + Sбок.
Sосн. = ½ d1· d2 = ½ · 6 · 8 = 24
Sбок. = Росн. · h = 4 · 5 · 10 = 200.
Где сторону основания нашли по теореме Пифагора, т.к. диагонали ромба перпендикулярны.
Sпов. = 2 · 24 + 200 = 248.

Ответ: 248.

18, а площадь поверхности равна 1368.

№15

Решение:
Площадь поверхности параллелепипеда равна
Sпов. = 2Sосн. + Sбок.
Sосн. = а2 = 182 = 324
Sбок. = Росн. · h = 4 · 18 · h = 72h.
1368 = 2 · 324 + 72h
Откуда, 72h = 1368 – 648
h = 10.

Ответ: 10.

98, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы.

№16

Решение:
Площадь боковых граней отсеченной призмы вдвое меньше соответствующих площадей боковых граней исходной призмы.
Поэтому площадь боковой поверхности отсеченной призмы вдвое меньше площади боковой поверхности исходной.
Sбок. = 98/2 = 49.

Ответ: 49.

Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

№15

Решение:
Площадь поверхности пирамиды равна
Sпов. = Sосн. + Sбок.
Sосн. = а2 = 142 = 196
Sбок. = ½ Росн. · l = ½ · 4 · 14 · l = 28 · l.
l – апофема (высота боковой грани SK),
которую найдем из п/у ∆SKC по теореме Пифагора
l2 = SK2 = SC2 – CK2 = 252 – (½ · 14)2
l2 = 576 ⟹ l = 24
Sпов. = 196 + 28 · 24 = 868.

Ответ: 868.

и боковым ребром 1. Найдите площадь поверхности оставшейся части куба.

№16

Решение:
Площадь поверхности получившегося многогранника равна сумме площадей боковых граней куба со стороной 1 и
призмы со сторонами 1; 0,6; 0,6 и
2 площади основания куба с вырезанными основаниями призмы:

Ответ: 7,68.

S = 4 · 1 · 1 + 4(0,6 · 1) +
+ 2(1 · 1 – 0,6 · 0,6) = 7,68

и 9. Найдите ребро равновеликого ему куба.

№17

Решение:
Равновеликие тела имеют равные объемы
Vпар-да = аbc = 9 · 12 · 16 = 1728
Vкуба = а3 = 1728
a = 12.

Ответ: 12.

в 12 раз?

№18

Решение:
Площадь поверхности куба равна
S1куба = 6а2
Если ребро увеличить в 12 раз, то
S2куба = 6(12 · а)2 = 6 · 144 · а2.
Откуда имеем,
S2куба / S1куба = (6 · 144 · а2)/(6 · а2)
S2куба / S1куба = 144.

Ответ: 144.

13 и отстоит от других боковых ребер на 12 и 5. Найдите площадь боковой поверхности этой призмы.

№19

Решение:
Площадь боковой поверхности призмы равна
Sбок. = Р⊥· l,
где l – длина бокового ребра,
а Р⊥ – площадь перпендикулярного сечения призмы (п/у ∆ со сторонами 15, 36 и 39)
Sбок. = (5 + 12 + 13)· 13 = 390.

Ответ: 390.

12

5

13

24. Площадь ее поверхности равна 1680. Найдите высоту призмы.

№20

Ответ: 24.

24

10

Решение:
Площадь поверхности призмы равна
Sпов. = 2Sосн. + Sбок.
Sосн. = ½ ab = ½ · 10 · 24 = 120
Sбок. = Росн. · h = (24 + 10 + 26) · h = 60h
Гипотенузу п/у ∆ находим по теореме Пифагора, она рана 26.
Имеем, 1680 = 2 · 120 + 60h, откуда найдем высоту призмы
60h = 1680 – 240
60h = 1440
h = 24.

26

единичных кубов.

№21

Ответ: 30.

Решение:
Площадь поверхности креста равна площади поверхности 6-ти кубов, у которых отсутствует одна из шести граней.
Имеем,
Sпов. = 6Sкуба – 6а2 = 6 · 6 · а2 – 6а2
Sпов. = 36 – 6 = 30.

его ребер.

№22

Решение:
Данное сечение – квадрат, т.к. каждая сторона является средней линией соответствующей грани, которая в 2 раза меньше параллельной ей стороны и равна поэтому ½ · 12 = 6. Стороны сечения перпендикулярны, т.к. они параллельны соответственно двум скрещивающимся перпендикулярным ребрам тетраэдра.
Тогда площадь сечения равна
Sсеч. = а2 = 62 = 36.

Ответ: 36.

являются середины ребер данного тетраэдра.

№23

Решение. Искомая поверхность состоит из 8 равносторонних треугольников со стороной, площадь которого в 4 раза меньше площади одной грани тетраэдра.
Поверхность исходного тетраэдра состоит из 16-ти таких треугольников, поэтому искомая площадь равна половине площади поверхности тетраэдра и равна 1,5.

Ответ: 1,5.