Системи лінійних алгебраїчних рівнянь

Системи лінійних алгебраїчних рівнянь

Систему алгебраїчних рівнянь називають лінійною, якщо вона може

- розширена матриця С.Л.А.Р..

стовпець вільних членів

стовпець невідомих;

- основна матриця С.Л.А.Р

Системи лінійних

Системи лінійних алгебраїчних рівнянь

Розв’язком системи називають множину дійсних чисел с1, с2,

Переваги застосування метода Гаусса:
1) дозволяє дослідити систему на сумісність;
2) у випадку

.

(Е.П.) матриці називають перетворення слідуючого вигляду:
відкидання нульового рядка (стовпця);
множення

Мінором k-го порядку матриці називають визначник порядку k, який отримують викресленням

Мінор матриці

Приклад 1 (продовження )

Рангом матриці А називають найвищий порядок її ненульового мінора.

Позначення: rang(A), r(A)

Властивості

Приклад 2

Обчислити ранг матриці А за допомогою Е.П.

Ранг матриці

А

Ранг матриці

Розв’язок

Система m лінійних рівнянь з n невідомими сумісна тоді і тільки

метод Гаусса

Суть метода Гаусса полягає в тому , що шляхом елементарних

Приклад 3
Дослідити систему рівнянь на сумісність і у випадку сумісності знайти

метод Гаусса

Приклад 3 (продовження )

~

0 = -16

Отже, початкова система несумісна.

б)

r(A)

метод Гаусса

Приклад 3 (продовження )

Розв’язок

~

~

~

~

~

~

.

r(A) = r(A) = 3

Система

метод Гаусса

Приклад 3 (продовження )

в)

Розв’язок

~

~

метод Гаусса

Приклад 3 (продовження )

r(A) = r(A) = 3

Система сумісна

Системи n лінійних рівнянь з n невідомими

Якщо

то

Цей визначник отримано шляхом послідовної заміни j-го стовпця визначника ∆ стовпцем

Приклад 4

Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь за формулами Крамера:

Розв’язок

∆

Приклад 4 (продовження)

За формулами Крамера:

Відповідь:

Метод оберненої матриці.

то С.Л.А. Р., згідно з правилом множення матриць та

Приклад 5

Розв’язати C.Л.А.Р. методом оберненої матриці

Запишемо систему рівнянь

Приклад 5 (продовження )

Визначник матриці А не дорівнює

Приклад 5 (продовження)

Записуємо обернену матрицю до матриці А

Приклад 5 (продовження)

Відповідь:

.