Свойства определенного интеграла

Достаточное условие существования определенного интеграла

Если на отрезке [a,b] функция y=f(x)
непрерывна,

Свойства определенного интеграла

1

Постоянный множитель можно выносить
за знак определенного интеграла.

Доказательство:

Пусть фиксировано разбиение отрезка [a,b] и выбор точек

Рассмотрим интегральную сумму:

Переходим

Следовательно по определению:

2

Определенный интеграл от алгебраической
суммы (разности) двух функций равен
сумме (разности)

3

Если отрезок интегрирования разбит
на части, то интеграл на всем отрезке

Геометрически это означает, что если a

S

S

S

4

Если на [a,b], где a

то

Доказательство:

Пусть фиксировано разбиение отрезка [a,b] и выбор точек

то для интегральных

Следствие.

Пусть на [a,b], где a

где m и M некоторые числа.

Доказательство:

По свойству 4 имеем:

По свойству 1 и геометрическому смыслу определенного интеграла:

5

Если на [a,b], где a

Доказательство:

По свойству функции, непрерывной на отрезке, для произвольного значения

справедливо неравенство:

Где

Но функция, непрерывная на отрезке, принимает любое значение, заключенное между ее

Пусть

Тогда теорема о среднем утверждает, что найдется такая точка

что площадь под

Равенство

называется формулой среднего значения.

называется средним значением функции.