Теорема Менелая

Слайд 3

Теорема Менелая

Слайд 4

Задача 1. Дан треугольник АВС. На продолжении стороны АС за точку

С взята точка N, причем АС = 2 СN. Точка М находится на стороне ВС, причем ВМ : МС = 1 : 3.
В каком отношении прямая MN делит сторону АВ?

1. Проведем прямую ВТ ││ AN.

2. Пусть CN = a, AC = 2a.

Δ TBM подобен Δ NCM по двум углам.
TB : NC = BM : MC = 1 : 3, .

3. Δ TBK подобен Δ NAK по двум углам.

ВК : KA = TB : NA = 1 : 9.

Теорема Менелая

Решение.

Слайд 5

Теорема Менелая. Пусть прямая пересекает стороны ВС, СА, АВ треугольника АВС

(или их продолжения) в точках А1, В1, С1, то справедливо соотношение

Теорема Менелая

Слайд 6

Доказательство.
внешние односторонние углы при параллельных
прямых АС1, СК и секущих АВ1

и С1В.

4. Значит

Теорема Менелая

1. Проведем через точку С, прямую параллельно АВ.

2. К – точка её пересечения с
прямой В1С1.

Слайд 7

Теорема доказана.
Доказательство.
Теорема Менелая
7. Из равенства находим, что
8. Получаем, что

Слайд 8

Теорема Менелая

Слайд 9

Задача 1. Дан треугольник АВС. На продолжении стороны АС за точку

Решение.

Теорема Менелая

Слайд 10

Задача 2. В трапеции АВСD основание АD в три раза больше,

чем ВС. Точка М делит сторону СD в отношении СМ : МD = 1 : 2. Определите в каком отношении отрезки АМ и BD делятся точкой их пересечения.

Решение.

Теорема Менелая

2) Применим теорему Менелая к треугольнику ВCD и прямой АР:

Слайд 11

Задача 3. В треугольнике АВС на стороне ВС выбрана точка D

так, что BD:DC =1:2. Медиана СЕ пересекает отрезок AD в точке F. Какую часть площади треугольника АВС составляет площадь треугольника AEF.

Решение.
Возьмем точку К на АВ так,
что DK ││ЕC.

Δ СЕВ подобен Δ DKB по двум углам.
СВ : DB = EB : BK = 3 : 1.
Тогда ВК = х, АЕ = ВЕ = 3х.

2) SABD : SABC = BD : CB = 1 : 3 (общая высота, проведенная из точки А).

3) SAKD : SABD = AK : AB = 5 : 6
(общая высота, проведенная из точки D).

Теорема Менелая

Слайд 12

Задача 3. В треугольнике АВС на стороне ВС выбрана точка D

Решение.

4) Δ AEF подобен Δ ADK
по двум углам.
SAEF : SAKD = 9 : 25;

Ответ: 0,1.

Теорема Менелая

Слайд 13

Задача 4. В треугольнике АВС, описанном около окружности, АВ = 8,

ВС = 5, АС = 4. А1 и С1 – точки касания, принадлежащие соответственно сторонам ВС и ВА. Р – точка пересечения отрезков АА1 и СС1. Точка Р лежит на биссектрисе ВВ1. Найти отношение АР : РА1.

5 – х

8 – х

Теорема Менелая

Решение.

1) Пусть ВС1 = ВА1 = х, А1С = = 5 – х, С1А = 8 – х.

АС1 + А1С = 4
(отрезки касательных)

Слайд 14