Теорема Пифагора Различные формулировки

Сентябрь 1, 2022

Главная
Математика
Теорема Пифагора Различные формулировки

Содержание

2. Как известно… Теорема Пифагора звучит так: «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов его катетов»,
3. Научное открытие В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают,
4. Доказательства теоремы Пифагора Простейшее Метод разложения Метод дополнения Другие…
5. Простейшее доказательство Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. В самом деле, достаточно
6. Доказательство методом дополнения От двух равных площадей нужно отнять равновеликие части так, чтобы в одном случае
7. Доказательство методом дополнения Поясним этот метод на примере. На рис. к обычной пифагоровой фигуре приставлены сверху
8. Доказательство методом дополнения Остается доказать, что наши шестиугольники равновелики. Заметим, что прямая DG делит верхний шестиугольник
9. Доказательство методом вычитания Знакомый нам чертеж теоремы Пифагора заключим в прямоугольную рамку, направления сторон которой совпадают
10. Доказательство методом вычитания треугольники 1, 2, 3, 4; прямоугольник 5; прямоугольник 6 и квадрат 8; прямоугольник
11. Доказательство методом вычитания Нам осталось лишь показать, что отнятые части равновелики. Это легко видеть в силу
12. Доказательство Хоукинсa Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C повернем на 90° так, чтобы он занял
13. Доказательство Хоукинсa SCAA'=b²/2, SCBB'=a²/2 SA'AB'B=(a²+b²)/2 Треугольники A'В'А и A'В'В имеют общее основание с и высоты DA
14. Векторное доказательство Пусть АВС - прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине С, построенный на векторах.
15. Доказательство Евклида Это доказательство было приведено Евклидом в его "Началах". По свидетельству Прокла (Византия), оно придумано
16. Доказательство Евклида FB = AB, BC = BD РFBC = d + РABC = РABD Но
17. Удивительный факт Вопрос о том, можно ли с помощью световых сигналов объясняться с этими гипотетическими существами,
19. Скачать презентацию

Слайд 2

Как известно…
Теорема Пифагора звучит так: «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен

сумме квадратов его катетов», но…
Как звучала эта теорема у Евклида: «В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол »
Как звучала у Аннаирици: «Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол»

Слайд 3

Научное открытие
В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта

Пифагором. Однако одни полагают, что Пифатор первым дал ее полноценное докзательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге. Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводит в первой книге своих "Начал". С другой стороны, Прокл утверждает, что доказательство в "Началах" принадлежит самому Евклиду. Как мы видим, история математики почти не сохранила достоверных данных о жизни Пифагора и его математической деятельности. Зато легенда сообщает даже ближайшие обстоятельства, сопровождавшие открытие теоремы. Многим известен сонет Шамиссо:

Слайд 4

Доказательства теоремы Пифагора
Простейшее
Метод разложения
Метод дополнения
Другие…

Слайд 5

Простейшее доказательство
Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника.

В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников , чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для треугольника ABC : квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах,- по два.
Теорема доказана.

Слайд 6

Доказательство методом дополнения
От двух равных площадей нужно отнять равновеликие части так,

чтобы в одном случае остались два квадрата, построенные на катетах, а в другом- квадрат, построенный на гипотенузе. Ведь если в равенствах: В-А=С и В1-А1=С1. Часть А равновелика части А1, а часть В равновелика В1, то части С и С1 также равновелики.

Слайд 7

Доказательство методом дополнения
Поясним этот метод на примере. На рис. к обычной

пифагоровой фигуре приставлены сверху и снизу треугольники 2 и 3, равные исходному треугольнику 1. Прямая DG обязательно пройдет через C. Заметим теперь (далее мы это докажем), что шестиугольники DABGFE и CAJKHB равновелики. Если мы от первого из них отнимем треугольники 1 и 2, то останутся квадраты, построенные на катетах, а если от второго шестиугольника отнимем равные треугольники 1 и 3, то останется квадрат, построенный на гипотенузе. Отсюда вытекает, что квадрат, построенный на гипотенузе, равновелик сумме квадратов,построенных на катетах.

Слайд 8

Доказательство методом дополнения
Остается доказать, что наши шестиугольники равновелики. Заметим, что прямая

DG делит верхний шестиугольник на равновеликие части; то же можно сказать о прямой CK и нижнем шестиугольнике. Повернем четырехугольник DABG, составляющий половину шестиугольника DABGFE, вокруг точки А по часовой стрелке на угол 90; тогда он совпадет с четырехугольником CAJK, составляющим половину шестиугольника CAJKHB. Поэтому шестиугольники DABGFE и CAJKHB равновелики.
Теорема доказана

Слайд 9

Доказательство методом вычитания
Знакомый нам чертеж теоремы Пифагора заключим в прямоугольную

рамку, направления сторон которой совпадают с направлениями катетов треугольника. Продолжим некоторые из отрезков фигуры так, как указано на рисунке, при этом прямоугольник распадается на несколько треугольников, прямоугольников и квадратов. Выбросим из прямоугольника сначала несколько частей так чтобы остался лишь квадрат, построенный на гипотенузе. Эти части следующие:

Слайд 10

Доказательство методом вычитания
треугольники 1, 2, 3, 4;
прямоугольник 5;
прямоугольник 6

и квадрат 8;
прямоугольник 7 и квадрат 9;
Затем выбросим из прямоугольника части так, чтобы остались только квадраты, построенные на катетах. Этими частями будут:
прямоугольники 6 и 7;
прямоугольник 5;
прямоугольник 1(заштрихован);
прямоугольник 2(заштрихован);

Слайд 11

Доказательство методом вычитания
Нам осталось лишь показать, что отнятые части равновелики. Это

легко видеть в силу расположения фигур. Из рисунка ясно, что:
прямоугольник 5 равновелик самому себе;
четыре треугольника 1,2,3,4 равновелики двум прямоугольникам 6 и 7;
прямоугольник 6 и квадрат 8, взятые вместе, равновелики прямоугольнику 1 (заштрихован);;
прямоугольник 7 вместе с квадратом 9 равновелики прямоугольнику 2(заштрихован);
Доказательство закончено

Слайд 12

Доказательство Хоукинсa
Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C повернем на

90° так, чтобы он занял положение A'CB'. Продолжим гипотенузу A'В' за точку A' до пересечения с линией АВ в точке D. Отрезок В'D будет высотой треугольника В'АВ. Рассмотрим теперь заштрихованный четырехугольник A'АВ'В . Его можно разложить на два равнобедренных треугольника САA' и СВВ' (или на два треугольника A'В'А и A'В'В).

Слайд 13

Доказательство Хоукинсa
SCAA'=b²/2, SCBB'=a²/2
SA'AB'B=(a²+b²)/2
Треугольники A'В'А и A'В'В имеют общее основание с и

высоты DA
и DB, поэтому :
SA'AB'B=c*DA/2+ c*DB/2=c(DA+DB)/2=c²/2
Сравнивая два полученных выражения для площади, получим:
a²+b²=c²
Теорема доказана.

Слайд 14

Векторное доказательство
Пусть АВС - прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине

С, построенный на векторах. Тогда справедливо векторное равенство:b+c=a
откуда имеем
c = a - b
возводя обе части в квадрат, получим
c²=a²+b²-2ab
Так как a перпендикулярно b, то ab=0, откуда
c²=a²+b² или c²=a²+b²
Нами снова доказана теорема Пифагора.
Если треугольник АВС - произвольный, то та же формула дает т. н. теорему косинусов, обобщающую теорему Пифагора.

Слайд 15

Доказательство Евклида
Это доказательство было приведено Евклидом в его "Началах". По

свидетельству Прокла (Византия), оно придумано самим Евклидом. Доказательство Евклида приведено в предложении 47 первой книги "Начал".
На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника АВС строятся соответствующие квадраты и доказывается, что прямоугольник BJLD равновелик квадрату ABFH, а прямоугольник ICEL - квадрату АСКС. Тогда сумма квадратов на катетах будет равна квадрату на гипотенузе.
В самом деле, треугольники ABD и BFC равны по двум сторонам и углу между ними:

Слайд 16

Доказательство Евклида
FB = AB, BC = BD
РFBC = d + РABC = РABD
Но
SABD = 1/2 S BJLD,
так как у треугольника ABD и прямоугольника BJLD

общее основание BD и общая высота LD. Аналогично
SFBC=1\2S ABFH
(BF-общее основание, АВ-общая высота). Отсюда, учитывая, что
SABD=SFBC,
имеем
SBJLD=SABFH.
Аналогично, используя равенство треугольников ВСК и АСЕ, доказывается, что
SJCEL=SACKG.
Итак,
SABFH+SACKG= SBJLD+SJCEL= SBCED,
что и требовалось доказать.

Слайд 17

Удивительный факт
Вопрос о том, можно ли с помощью световых сигналов объясняться

с этими гипотетическими существами, вызвал оживленную дискуссию. Парижской академией наук была даже установлена премия в 100000 франков тому, кто первый установит связь с каким-нибудь обитателем другого небесного тела; эта премия все еще ждет счастливца. В шутку, хотя и не совсем безосновательно , было решено передать обитателям Марса сигнал в виде теоремы Пифагора.
Неизвестно, как это сделать; но для всех очевидно, что математический факт, выражаемый теоремой Пифагора имеет место всюду и поэтому похожие на нас обитатели другого мира должны понять такой сигнал.

Теорема Пифагора Различные формулировки

Содержание

Как известно…Теорема Пифагора звучит так: «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен

Научное открытиеВ настоящее время известно, что эта теорема не была открыта

Доказательства теоремы ПифагораПростейшееМетод разложенияМетод дополненияДругие…

Простейшее доказательствоПростейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника.

Доказательство методом дополненияОт двух равных площадей нужно отнять равновеликие части так,

Доказательство методом дополненияПоясним этот метод на примере. На рис. к обычной

Доказательство методом дополненияОстается доказать, что наши шестиугольники равновелики. Заметим, что прямая

Доказательство методом вычитания Знакомый нам чертеж теоремы Пифагора заключим в прямоугольную

Доказательство методом вычитаниятреугольники 1, 2, 3, 4; прямоугольник 5; прямоугольник 6

Доказательство методом вычитанияНам осталось лишь показать, что отнятые части равновелики. Это

Доказательство Хоукинсa Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C повернем на

Доказательство ХоукинсaSCAA'=b²/2, SCBB'=a²/2SA'AB'B=(a²+b²)/2Треугольники A'В'А и A'В'В имеют общее основание с и

Векторное доказательствоПусть АВС - прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине

Доказательство Евклида Это доказательство было приведено Евклидом в его "Началах". По

Доказательство ЕвклидаFB = AB, BC = BD РFBC = d + РABC = РABDНо SABD = 1/2 S BJLD,так как у треугольника ABD и прямоугольника BJLD

Удивительный фактВопрос о том, можно ли с помощью световых сигналов объясняться

Похожие презентации