Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

равны.

а

в

А

В

1

2

∠ 1 = ∠ 2

c

накрест лежащие углы 1 и 2 равны между собой.

Допустим, что ∠ 1 и ∠ 2 не равны.
Проведем через точку О прямую КF.
Тогда при точке О можно построить ∠ KON, накрест лежащий и равный ∠  2.

Но если ∠ KON = ∠ 2, то прямая КF будет параллельна СD.

Получили, что через точку О проведены две прямые АВ и КF, параллельные прямой СD. Но этого не может быть.

Мы пришли к противоречию, потому что допустили, что ∠ 1 и ∠ 2 не равны. Следовательно, наше допущение является неправильным и
∠ 1 должен быть равен ∠ 2, т. е. накрест лежащие углы равны.

F

= ∠ 2

лежащие ∠ 1 и ∠ 3 будут равны.
∠ 2 и ∠ 3 равны как вертикальные.
Из равенств ∠1 = ∠3 и ∠2 = ∠3 следует, что ∠1 = ∠2.
Теорема доказана

равна 180°.

а

в

А

В

3

1

∠ 1 + ∠ 3 = 180°

∠ 1 и ∠ 2 будут равны,
∠ 2 и ∠ 3 – смежные, поэтому ∠ 2 + ∠ 3 = 180°.
Из равенств ∠1 = ∠2 и ∠2 + ∠3 = 180° следует,
что ∠1 + ∠3 = 180°.
Теорема доказана.

2

а

в

А

В

3

1

= (Х+70°),
т.к. сумма углов 1 и 2 = 180°, в силу того, что они
смежные.
Составим уравнение:
Х+ (Х+70°) = 180°
2Х = 110 °
Х = 55° (Угол 2)
2. Найдем ∠ 1.
55° + 70° = 125°
3. ∠ 1 = ∠ 3, т.к. они вертикальные.
∠ 3 = ∠ 5, т.к. они накрест лежащие. 125°
∠ 5 = ∠ 7, т.к. они вертикальные.
∠ 2 = ∠ 4, т.к. они вертикальные.
∠ 4 = ∠ 6, т.к. они накрест лежащие. 55°
∠ 6 = ∠ 8, т.к. они вертикальные.

Задача №1:

A

B

C

4

3

5

8

7

2

1

6

Условие: найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных A и B секущей C, если один из углов на 70° больше другого.

∠2 =∠4(как соответственные)
2. ∠ 3 смежен с ∠ 4, поэтому ∠3+∠4=180°,
и из этого следует, что
∠3= 180° - 45°= 135°.
3. ∠ 1 = ∠ 3, т.к. они накрест лежащие.
∠ 1 = 135°.
Ответ: ∠ 1=135°; ∠ 2=45°; ∠ 3=135°.

Задача №2:

A

B

D

1

Условие: на рисунке прямые А II B и C II D, ∠ 4=45°. Найти углы 1, 2, 3.

C

3

2

4