Теорія границь

нараховують річну процентну ставку i.

-на кінець другого інтервалу нарахувань

-на кінець n-го інтервалу нарахувань

- на кінець першого інтервалу нарахувань

Тоді майбутня величина грошових коштів FV становитиме:

грн. під 9% річних. В кінці першого року йому нарахують суму (у млн. грн):

Петро може забрати нараховані проценти, а може залишити ще на рік.Петро вибирає другий варіант.
В кінці другого року йому нараховують :

Приклад 1

Відповідно в кінці третього року:

Нарахування складних процентів

слідуюче:

- нарахування за простими процентами на початкову суму

-нарахування процента на процент.

Метод підрахунку майбутньої вартості, коли нарощену за кожний інтервал суму знову вкладають під простий процент, називають правилом складних процентів Результат нарахування - складними процентами .

Нарахування складних процентів

суму 1 млн.грн. і ставки i=9% річних

1рік 2 рік 3рік

щорічного нарахування. Яку суму він отримає через 3 роки?

Приклад 2 (Правило складних процентів)

за складними процентами

множник нарощування складних процентів

Для коректних обчислень величини i та n мають бути узгоджені.

Нарахування складних процентів

період

року складає

де i- річна процентна ставка

Нарахування складних процентів

(неперервне нарахування ) .
Приймемо також до уваги, що для виразу де змінна величина прямує до відомої границі прийнято використовувати символ lim.
Тоді формула нарахування складних процентів при неперервному нарахуванні процентів прийме вигляд:

Нарахування складних процентів

- сталі

Означення 1. Величину називають змінною, якщо вона набуває різних значень під час розв’язування задачі, в протилежному випадку
величина – стала.

Означення 2. Змінну х називають впорядкованою змінною або числовою послідовністю, якщо відома сукупність усіх її можливих значень і про кожне можна сказати, яке попереднє, а яке наступне, тобто значення змінної величини можна за певним правилом занумерувати.

Позначення : xn , yn , zn .

f (n).
Якщо із збільшенням номера n значення f (n) необмеженно наближаються до деякого числа а, то кажуть, що число а є границею числової
послідовності yn = f (n) і записують:

Приклади числових послідовностей

Числова послідовність. Границя числової послідовності

наперед заданого як завгодно малого числа ɛ >0, існує такий номер N, що для
всіх n >N виконується нерівність | хn - а | < ɛ

Геометричний зміст

а

а+ ɛ

а- ɛ

2ɛ

хn

х25 х26 …. xm… .

х4

х3

х2

х1

Числова послідовність. Границя числової послідовності.

=2+1/1, x2=2+ 1/2 , …. . xn = 2+ 1/n , …. має границю,
а = 2 .
Розвязок
Дійсно, | хn - 2 | = | (2 +1/n ) -2| =1 /n,
і для будь-якого ɛ можна вказати номер N =1/ɛ такий, що для всіх наступних n> N виконуватиметься нерівність
| хn - 2 | = 1 /n <1/1/ɛ = ɛ . Отже,

),визначену в деякому околі точки А, або в деяких точках цього околу.

Число А називають границею у =f (x ), в точці х0 , якщо для будь-якого як завгодно малого ɛ >0
знайдеться таке число δ >0 , що для усіх значень х ≠ х0 ,які задовольняють умову
|х- х0 | <δ , виконується нерівність
|f(x)- A | <ɛ
Позначення:

в т. х0

х0

х0

y

y

x

x

у =f (x )

у =f (x )

a

b

x0 +0

x0-0

коли х прямує до числа х0 , так що х< х0 , то записують

Якщо у =f (x ) прямує до границі А2 , коли х прямує до числа х0, так що х > х0 , то записують

Ці границі називають односторонніми, відповідно ліворуч і праворуч.
Для існування границі А в точці х0, необхідно і достатньо, щоб існували односторонні границі і виконувалась рівність А1 = А2 = А

х→х0 , або х →∞ , якщо

або

Позначення : Н.М.В. або О (нуль).

y=x2 коли х→ 0 ;
b) у =5/х коли х→ ∞ ;
c) y = 3/(x-4) коли х→ ∞.

Приклади Н.М.В.: