Матрицы. Определители. Их свойства. Системы линейных уравнений с неизвестными. Однородные системы линейных уравнений

Литература

Бугров Е.С. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии / Е.С. Бугров,

Лекция 1

2. Системы m линейных уравнений с
n неизвестными.

4. Однородные

Определители

1.Определители второго порядка

ОглавлениеОглавление:

Определители

2.Определители третьего порядка

ОглавлениеОглавление:

Определители

3. Свойства определителей (доказать самостоятельно)

ОглавлениеОглавление:

Определители

ОглавлениеОглавление:

Определители

ОглавлениеОглавление:

Определители

ОглавлениеОглавление:

Определители

ОглавлениеОглавление:

Определители

ОглавлениеОглавление:

Еще одно свойство определителей (доказать самостоятельно)

Определители

ОглавлениеОглавление:

4.Определители n-ого порядка

Определители

ОглавлениеОглавление:

4. Алгебраическое дополнение.

Определители

5. Методы вычисления определителя n-ого порядка

.

ОглавлениеОглавление:

Определители и матрицы

1.1.Виды матриц
2.Операции над матрицами
3.Обратная матрица
4.Решение матричных уравнений
5.Ранг матрицы

Оглавление

Определители и матрицы

Оглавление

1. Виды матриц

Определители и матрицы

Оглавление

Частные виды матриц

Определители и матрицы

Оглавление

Определители и матрицы

Оглавление

Определители и матрицы

Оглавление

2. Операции над матрицами

Определители и матрицы

Оглавление

Определители и матрицы

Оглавление

Определители и матрицы

Оглавление

Определители и матрицы

Оглавление

Определители и матрицы

Оглавление

3. Обратная матрица

Определители и матрицы

Оглавление

Определители и матрицы

Оглавление

Определители и матрицы

Оглавление

Определители и матрицы

Оглавление

4. Решение матричных уравнений

Определители и матрицы

Оглавление

Определители и матрицы

Оглавление

5. Ранг матрицы

Определители и матрицы

Оглавление

Определители и матрицы

Оглавление

Определители и матрицы

Оглавление

Определители и матрицы

Оглавление

Определители и матрицы

Оглавление

Системы m линейных уравнений с
n неизвестными.

Рассмотрим

Обозначим

Терминология

Обозначение.

Определение .

Система называется совместной, если решение существует, и несовместной в противном

Линейная зависимость строк (столбцов) матрицы

или

Линейной комбинацией столбцов называется выражение

Столбцы матрицы наз.

Для того, чтобы система (*) была совместной,

необходимо и достаточно,

чтобы

Необходимость.

Выводы.

Если , то система не имеет решений;
Если , то возможны два

Доказательство.

2. Правило Крамера. Решения находят по формулам:

3. Метод Гаусса.

2. Элементарные преобразования матрицы не изменяют ее ранга.

Алгоритм метода Гаусса.

2. Элементарными преобразованиями строк приводят
ее к трапециевидной форме.

Возвращаясь

Однородная система всегда совместна!

- тривиальное (нулевое) решение ОС

Для того чтобы ОС (***) имела ненулевое

Необходимость.

- нулевое решение

Ч.т.д.

Доказательство.

Для того чтобы ОС (***) имела ненулевое решение,

необходимо и достаточно,

чтобы

Свойства решений однородной системы

1. Линейная комбинация решений системы (***) является

Составим укороченную систему

Присваиваются
произвольные значения

Значения вычисляются

Присвоим конкретные значения своб. неизв.

Вычислим значения базисных неизвестных

единственное решение укороченной

Ч.т.д.

Общим решением системы (***) называется

Общее решение системы (***) можно представить в виде линейной комбинации решений

Пример.

Решить систему

Решение.

Преобразуем основную матрицу

Ранг матрицы равен 2

базисный минор

Запишем преобразованную систему

Общее решение системы

Найдем частные ЛНЗ решения, полагая