Три подхода к построению множества целых неотрицательных чисел. Часть 2

непосредственно следуют за одним и тем же числом n

Число а меньше числа b тогда и только тогда, когда (∃ с ∈ Ν) а + с = b

а < b ⇔ (∃ с ∈ Ν) а + с = b

Отношение «больше» определяется аналогично

= b, т. е. а и b – соответствующие этим множествам натуральные числа

Равными натуральными числами называют те и только те числа, которые характеризуют равномощные конечные множества:
а = b ⇔ А ~ В

Теоретико-множественный подход

и В равночисленны
- Множества А и В можно взаимно однозначно отобразить на один и тот же отрезок натурального ряда Nа
- Множества А и В можно взаимно однозначно отобразить друг на друга

А ~ В =

использоваться при ознакомлении учащихся со многими другими понятиями. Например, при введении понятия «равно»:

5 = 5

подмножество множества В
А ⊂ В, А ≠ В ⇒ а < b

4 < 6

Отношение «больше» определяется аналогично

5

А = {а, b, c}, n(A) = 3,
B = {а, b, c, m, n}, n (В) = 5

А ⊂ В, А ≠ В ⇒ n(А) < n(В)

3 < 5

N3 = {1, 2, 3}, n(N3) = 3,
N5 = {1, 2, 3, 4, 5}, n (N5) = 5

подмножеству множества В
А ~ В1, В1 ⊂ В, В1 ≠ В ⇒ а < b

5

А = {а, b, c}, n(A) = 3,
B = {m, n, p, q, s}, n (В) = 5

А ~ В1, В1 ⊂ В, В1 ≠ В
В1 = {m, n, p}, n(В1) = 3

3 < 5

понятие равночисленности, которое выражается словами «столько же»

3 < 5

3 меньше 5 на 2

n(В2) = 2

< b

В2 = B1′ = В \ В1, n(В2) = с ⇒
а меньше b на с

n(А) = а
n(В) = b

q (при одной и той же единице длины е), т. е. а = ре, b = qе, то
р = q ⇔ а = b
р < q ⇔ а < b
р > q ⇔ а > b

Натуральное число как результат измерения величин

⇒ b = а

3) транзитивность: а = b ∧ b = с ⇒ а = с

Отношение «равно» на множестве N является отношением эквивалентности, так как обладает свойствами рефлексивности, симметричности, транзитивности.

⇒ а < с

Отношение «меньше» на множестве N является отношением порядка, так как обладает свойствами антисимметричности и транзитивности.

из следующих отношений:
а = b
а < b
b < а

Во множестве натуральных чисел имеется наименьший элемент – единица (А 2)
Любое непустое подмножество множества натуральных чисел содержит наименьшее число

и тем же числом n
а < b, если
(∃ с ∈ Ν) а + с = b

а = b, если А ~ В
а < b, если А ⊂ В
а < b, если А ~ В1,
В1⊂ В, В1 ≠ В

р = q, если а = b
р < q, если а < b,
где а = ре, b=qе