Тройной интеграл Лекция 9

Август 31, 2022

Главная
Математика
Тройной интеграл Лекция 9

Содержание

2. Трехмерная область Пусть в пространстве задана некоторая область V, ограниченная замкнутой поверхностью G. Пусть в области
3. Составление интегральных сумм Разобьём эту область V произвольным образом на элементарные ячейки с объёмами (i=1, 2,
4. Определение Назовём диаметром области максимальное расстояние между двумя точками области, лежащими на границе. Устремим максимальный диаметр
5. Определение Если существует конечный предел интегральных сумм при условии, что максимальный диаметр ячеек стремится к нулю,
6. Правильная трехмерная область Пусть пространственная область V, ограниченная замкнутой поверхностью G, удовлетворяет условиям: 1) всякая прямая,
7. Вычисление тройного интеграла Если область имеет вид как на рисунке, то тройной интеграл по такой области
8. Вычисление тройного интеграла Пример 1. Вычислить где V ограничена плоскостями x=0, y=0, z=0.
9. Решение.
11. Тройной интеграл в цилиндрических координатах При переходе от декартовых координат к цилиндрическим по формулам x=rcosφ, y=rsinφ,
12. Объем тела В декартовых координатах объем тела равен
13. Объем тела Общая формула для вычисления объема (независимо от системы координат) имеет вид
14. Объем тела Объём пространственной области V в цилиндрических координатах
15. Найти объем тела Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями
16. Решение Найдём линию пересечения плоскостей, ограничивающих тело сверху и снизу. Очевидно, это y=1.
18. Найти объем тела Вычислить объём тела, ограниченного сферой и параболоидом (внутри параболоида).
19. Решение Вычислим объём тела, переходя к цилиндрическим координатам. Для этого запишем уравнения поверхностей в цилиндрических координатах:
20. Подставляя z= в одно из уравнений системы, получим
22. Скачать презентацию

Слайд 2

Трехмерная область
Пусть в пространстве задана некоторая область V, ограниченная замкнутой

поверхностью G. Пусть в области V и на её границе определена некоторая непрерывная функция u=f(x,y,z), где (x,y,z) – прямоугольные декартовы координаты точки области. Например, если f(x,y,z)≥0, то эту функцию можно считать плотностью распределения некоторого вещества в области V.

Слайд 3

Составление интегральных сумм
Разобьём эту область V произвольным образом на элементарные

ячейки с объёмами (i=1, 2, …, n). В каждой такой ячейке выберем произвольную точку Mi, вычислим значения функции в этих точках и составим интегральную сумму
.

Слайд 4

Определение
Назовём диаметром области максимальное расстояние между двумя точками области, лежащими

на границе. Устремим максимальный диаметр ячеек к нулю и перейдём к пределу в интегральных суммах .

Слайд 5

Определение
Если существует конечный предел интегральных сумм при условии, что максимальный

диаметр ячеек стремится к нулю, не зависящий ни от разбиения области V на элементарные ячейки, ни от выбора точек Mi, то этот предел называется тройным интегралом по области V от функции f(x,y,z) и обозначается

Слайд 6

Правильная трехмерная область
Пусть пространственная область V, ограниченная замкнутой поверхностью G,

удовлетворяет условиям:
1) всякая прямая, параллельная оси Oz, проведённая через внутреннюю точку области V, пересекает поверхность G в двух точках;
2) вся область V проектируется на плоскость Oxy в правильную область D.
Тогда область V мы будем называть правильной трёхмерной областью.

Слайд 7

Вычисление тройного интеграла
Если область имеет вид как на рисунке, то

тройной интеграл по такой области вычисляют по формуле
=

Слайд 8

Вычисление тройного интеграла
Пример 1. Вычислить
где V ограничена плоскостями

x=0, y=0, z=0.

Слайд 9

Решение.

Слайд 10

Слайд 11

Тройной интеграл в цилиндрических координатах
При переходе от декартовых координат к

цилиндрическим по формулам x=rcosφ, y=rsinφ, z=z тройной интеграл по области V преобразуется к виду
где - это элемент объёма dv в цилиндрических координатах.

Слайд 12

Объем тела
В декартовых координатах объем тела равен

Слайд 13

Объем тела
Общая формула для вычисления объема (независимо от системы

координат) имеет вид

Слайд 14

Объем тела
Объём пространственной области V в цилиндрических координатах

Слайд 15

Найти объем тела
Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями

Слайд 16

Решение
Найдём линию пересечения плоскостей, ограничивающих тело сверху и снизу. Очевидно, это

y=1.

Слайд 17

Слайд 18

Найти объем тела
Вычислить объём тела, ограниченного сферой
и параболоидом

(внутри параболоида).

Слайд 19

Решение
Вычислим объём тела, переходя к цилиндрическим координатам. Для этого запишем

уравнения поверхностей в цилиндрических координатах:
. Очевидно, поверхности пересекаются при z= .
Вычислим теперь объём тела.

Слайд 20

Тройной интеграл Лекция 9

Содержание

Трехмерная область Пусть в пространстве задана некоторая область V, ограниченная замкнутой

Составление интегральных сумм Разобьём эту область V произвольным образом на элементарные

Определение Назовём диаметром области максимальное расстояние между двумя точками области, лежащими

Определение Если существует конечный предел интегральных сумм при условии, что максимальный

Правильная трехмерная область Пусть пространственная область V, ограниченная замкнутой поверхностью G,

Вычисление тройного интеграла Если область имеет вид как на рисунке, то

Вычисление тройного интеграла Пример 1. Вычислить где V ограничена плоскостями

Решение.

Тройной интеграл в цилиндрических координатах При переходе от декартовых координат к

Объем тела В декартовых координатах объем тела равен

Объем тела Общая формула для вычисления объема (независимо от системы

Объем тела Объём пространственной области V в цилиндрических координатах

Найти объем тела Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями

РешениеНайдём линию пересечения плоскостей, ограничивающих тело сверху и снизу. Очевидно, это

Найти объем тела Вычислить объём тела, ограниченного сферой и параболоидом

Решение Вычислим объём тела, переходя к цилиндрическим координатам. Для этого запишем

Подставляя z= в одно из уравнений системы, получим

Похожие презентации