Урок-лекция «Применение производной к исследованию и построению графиков функций»

Сентябрь 10, 2022

Главная
Математика
Урок-лекция «Применение производной к исследованию и построению графиков функций»

Содержание

2. Цель урока: научиться применять таблицу производных при исследовании функций и построении графиков
3. Математический диктант Вариант 1. (Cu)’=… …=(u’v-v’u)/v² (cos x)’=… …=1/cos² x (ex)’=… Вариант 2. C’=… …=(u’v+v’u) (sin
4. Классная работа Одной из основных задач, возникающих при исследовании функции, является нахождение промежутков монотонности функции (промежутков
5. Функция y=f(x) называется возрастающей в некотором интервале, если в точках этого интервала большему значению аргумента соответствует
6. возрастающая убывающая убывающая убывающая возрастающая возрастающая и убывающая на интервалах возрастающая и убывающая на интервалах возрастающая
7. Если дифференцируемая функция y=f(x) возрастает (убывает) в данном интервале, то производная этой функции не отрицательна (не
8. Если производная функции y=f(x) положительна (отрицательна) на некотором интервале, то функция в этом интервале монотонно возрастает
9. Находим область определения функции f(x). Вычисляем производную f’(x) данной функции. Находим точки, в которых f’(x)=0 или
10. Область определения: R. Функция непрерывна. Вычисляем производную : y’=6x²-6x-36. Находим критические точки: y’=0. x²-x-6=0 Д=1-4*(-6)*1=1+24=25 Делим
11. Область определения: R. Функция непрерывна. Вычисляем производную : y’=3x²-6x. Находим критические точки: y’=0. x²-2x=0 x(x-2)=0 x1=0
12. Точку x=x0 называют точкой минимума функции y=f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек
13. Если функция y=f(x) имеет экстремум в точке x=x0, то в этой точке производная функции или равна
14. Если производная f’(x) при переходе через точку x0 меняет знак, то точка x0 является точкой экстремума
15. Область определения: R. Функция непрерывна. Вычисляем производную : y’=-6x²-6x+12. Находим критические точки: y’=0. -x²-x+2=0 Д=1-4*(-1)*2=1+8=9 x1=1;
16. Работа на уроке: № 564. Исследовать на экстремум функцию y=x2+2. Решение: Находим область определения функции: D(y)=R.
17. № 565. Исследовать на экстремум функцию y=1/3x3-2x2+3x+1. Решение: Находим область определения функции: D(y)=R. Находим производную: y’=(1/3x3-2x2+3x+1)’=x2-4x+3.
18. № 566. Исследовать на экстремум функцию y=x3+3x2+9x-6. Решение: Находим область определения функции: D(y)=R. Находим производную: y’=(x3+3x2+9x-6)’=3x2+6x+9.
19. № 571. Исследовать на экстремум функцию y=x2-x-6. Решение: Находим область определения функции: D(y)=R. Находим производную: y’=(x2-x-6)’=2x-1.
21. Скачать презентацию

Слайд 2

Цель урока:
научиться применять таблицу производных при исследовании функций и построении графиков

Слайд 3

Математический диктант
Вариант 1.
(Cu)’=…
…=(u’v-v’u)/v²
(cos x)’=…
…=1/cos² x
(ex)’=…
Вариант 2.
C’=…
…=(u’v+v’u)
(sin x)’=…
…=-1/sin² x
(xn)’=…
Вариант 1.
(Cu)’=Cu’
(u/v)=(u’v-v’u)/v²
(cos x)’=-sin x
tg

x=1/cos² x
(ex)’=ex
Вариант 2.
C’=0
(uv)’=(u’v+v’u)
(sin x)’=cos x
ctg x=-1/sin² x
(xn)’=n*xn-1

Слайд 4

Классная работа
Одной из основных задач, возникающих при исследовании функции, является нахождение

промежутков монотонности функции (промежутков возрастания и убывания). Такой анализ легко сделать с помощью производной.

Слайд 5

Функция y=f(x) называется возрастающей в некотором интервале, если в точках этого

интервала большему значению аргумента соответствует большее значение функции, и убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Слайд 6

возрастающая
убывающая
убывающая
убывающая
возрастающая
возрастающая и убывающая на интервалах
возрастающая и убывающая на интервалах
возрастающая и убывающая

на интервалах

Слайд 7

Если дифференцируемая функция y=f(x) возрастает (убывает) в данном интервале, то производная

этой функции не отрицательна (не положительна) в этом интервале.

Теорема 1.

Слайд 8

Если производная функции y=f(x) положительна (отрицательна) на некотором интервале, то функция

в этом интервале монотонно возрастает (монотонно убывает).

Теорема 2.

Слайд 9

Находим область определения функции f(x).
Вычисляем производную f’(x) данной функции.
Находим точки, в

которых f’(x)=0 или не существует. Эти точки называются критическими для функции f(x).
Делим область определения функции этими точками на интервалы. Они являются интервалами монотонности.
Исследуем знак f’(x) на каждом интервале. Если f’(x)›0, то на этом интервале f(x) возрастает; если f’(x)‹0, то на таком интервале функция f(x) убывает.

Правило нахождения интервалов монотонности

Слайд 10

Область определения: R. Функция непрерывна.
Вычисляем производную : y’=6x²-6x-36.
Находим критические точки: y’=0.

x²-x-6=0
Д=1-4*(-6)*1=1+24=25
Делим область определения на интервалы:
Функция возрастает при xϵ(-∞;-2]υ[3;+∞), функция убывает при xϵ[-2;3].

Пример №1. Найти промежутки монотонности функции y=2x³-3x²-36x+5

Слайд 11

Область определения: R. Функция непрерывна.
Вычисляем производную : y’=3x²-6x.
Находим критические точки: y’=0.

x²-2x=0
x(x-2)=0
x1=0 и x2=2
Делим область определения на интервалы:
Функция возрастает при xϵ(-∞;0]υ[2;+∞), функция убывает при xϵ[0;2].

Пример №2. Найти промежутки монотонности функции y=x³-3x²

Слайд 12

Точку x=x0 называют точкой минимума функции y=f(x), если у этой точки

существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x)≥f(x0).
Точку x=x0 называют точкой максимума функции y=f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x)≤f(x0).

Слайд 13

Если функция y=f(x) имеет экстремум в точке x=x0, то в этой

точке производная функции или равна нулю, или не существует.

Теорема 3.

Слайд 14

Если производная f’(x) при переходе через точку x0 меняет знак, то

точка x0 является точкой экстремума функции f(x).
Если производная меняет знак с + на –, то точка будет являться точкой максимума, если с – на +, то точка будет точкой минимума

Теорема 4.

Слайд 15

Область определения: R. Функция непрерывна.
Вычисляем производную : y’=-6x²-6x+12.
Находим критические точки: y’=0.

-x²-x+2=0
Д=1-4*(-1)*2=1+8=9
x1=1; x2=-2
Делим область определения на интервалы:
x=-2 – точка минимума. Найдём минимум функции ymin=-24. x=1 – точка максимума. Найдём максимум функции: ymax=3.

Пример №3. Найти экстремумы функции y=-2x³-3x²+12x-4

Слайд 16

Работа на уроке:
№ 564. Исследовать на экстремум функцию y=x2+2.
Решение:
Находим область

определения функции: D(y)=R.
Находим производную: y’=(x2+2)’=2x.
Приравниваем её к нулю: 2x=0, откуда x=0 – критическая точка.
Делим область определения на интервалы и определяем знаки производной на каждом интервале:
x=0 – точка минимума. Найдём минимум функции ymin=2.

Слайд 17

№ 565. Исследовать на экстремум функцию y=1/3x3-2x2+3x+1.
Решение:
Находим область определения функции:

D(y)=R.
Находим производную: y’=(1/3x3-2x2+3x+1)’=x2-4x+3.
Приравниваем её к нулю: x2-4x+3=0, откуда x1=1, x2=3 – критические точки.
Делим область определения на интервалы и определяем знаки производной на каждом интервале:
x=1 – точка максимума. Найдём максимум функции ymax=7/3. x=3 – точка минимума. Найдём минимум функции: ymin=1.

Слайд 18

№ 566. Исследовать на экстремум функцию y=x3+3x2+9x-6.
Решение:
Находим область определения функции:

D(y)=R.
Находим производную: y’=(x3+3x2+9x-6)’=3x2+6x+9.
Приравниваем её к нулю: 3x2+6x+9=0, откуда D<0. То есть критических точек не существует.
Однако, функция возрастает на всей D(y), так как y’=3x2+6x+9 >0:

Слайд 19

№ 571. Исследовать на экстремум функцию y=x2-x-6.
Решение:
Находим область определения функции:

D(y)=R.
Находим производную: y’=(x2-x-6)’=2x-1.
Приравниваем её к нулю: 2x-1=0, откуда x=1/2 – критическая точка.
Делим область определения на интервалы и определяем знаки производной на каждом интервале:
x=1/2 – точка минимума. Найдём минимум функции: ymin=-6,25.

Урок-лекция «Применение производной к исследованию и построению графиков функций»

Содержание

Цель урока:научиться применять таблицу производных при исследовании функций и построении графиков

Математический диктантВариант 1.(Cu)’=……=(u’v-v’u)/v²(cos x)’=……=1/cos² x(ex)’=…Вариант 2.C’=……=(u’v+v’u)(sin x)’=……=-1/sin² x(xn)’=…Вариант 1.(Cu)’=Cu’(u/v)=(u’v-v’u)/v²(cos x)’=-sin xtg

Классная работаОдной из основных задач, возникающих при исследовании функции, является нахождение

Функция y=f(x) называется возрастающей в некотором интервале, если в точках этого

возрастающаяубывающаяубывающаяубывающаявозрастающаявозрастающая и убывающая на интервалахвозрастающая и убывающая на интервалахвозрастающая и убывающая

Если дифференцируемая функция y=f(x) возрастает (убывает) в данном интервале, то производная

Если производная функции y=f(x) положительна (отрицательна) на некотором интервале, то функция

Находим область определения функции f(x).Вычисляем производную f’(x) данной функции.Находим точки, в

Область определения: R. Функция непрерывна.Вычисляем производную : y’=6x²-6x-36.Находим критические точки: y’=0.

Область определения: R. Функция непрерывна.Вычисляем производную : y’=3x²-6x.Находим критические точки: y’=0.