Подготовка к сдаче ОГЭ (геометрический блок)

. Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования (далее – Стандарт) представляет

Требования к предметным результатам изучения геометрии

овладение геометрическим языком;
развитие умения использовать

ТЕОРИЯ ГЕОМЕТРИЯ (повторение)

С М Е Ж Н Ы Е У Г Л Ы

Свойство

Т Р Е У Г О Л Ь Н И К В

Т О Ч К А П Е Р Е С Е

Т Р Е У Г О Л Ь Н И К М

Т Р Е У Г О Л Ь Н И К Б

СЕРЕДИННЫЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯР

Свойство:
каждая точка серединного перпендикуляра
равноудалена от концов отрезка

Признак:
если точка

РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

Вершина треугольника

Свойства:
Углы при основании равны
2. Биссектриса, проведенная из вершины является

ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ

I. Признак
Треугольники равны по 2-ум сторонам и углу

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ

Свойства
(если прямые параллельны), то
1.накрест лежащие углы равны
2. соответственные углы равны
3.

СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА

В любом треугольнике сумма углов равна 1800

600

700

1300

Внешний угол треугольника

НЕРАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКА

5

7

10

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других

ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

катет

катет

гипотенуза

Свойства прямоугольного треугольника
1. Сумма двух острых углов равна 900
2.

Признаки равенства прямоугольных треугольников
По гипотенузе и катету
По двум катетам
По катету и

ОКРУЖНОСТЬ КРУГ

Окружность – это множество точек плоскости, равноудаленных от данной.
Эта точка

КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ

Касательная к окружности – это прямая, которая имеет с

Описанная окружность около треугольника
Около любого треугольника можно описать окружность
Окружность описанная, если

8 КЛАСС

ПАРАЛЛЕЛОГРАММ

Свойства параллелограмма
1.Противолежащие стороны равны
2. Противолежащие углы равны
3. Диагонали в точке пересечения

ПЛОЩАДЬ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА

а

а

b

h

d1

d2

α

α

ПРЯМОУГОЛЬНИК

Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые

Свойство
Диагонали прямоугольника равны

Признаки
1.

РОМБ

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны

Свойство
Диагонали ромба перпендикулярны

КВАДРАТ

Квадрат –это прямоугольник, у которого все стороны равны

Свойства
В квадрате диагонали:
1. в

СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА

Свойство средней линии треугольника
Средняя линия – параллельна основанию
2. и

ТРАПЕЦИЯ

Это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие –

РАВНОБЕДРЕННАЯ ТРАПЕЦИЯ СВОЙСТВА

a

b

A

B

C

D

N

ЦЕНТРАЛЬНЫЙ УГОЛ

ВПИСАННЫЙ УГОЛ

В 2 РАЗА МЕНЬШЕ ЦЕНТРАЛЬНОГО

Градусная мера дуги равна центральному

УГОЛ МЕЖДУ ХОРДАМИ

α

A

B

C

D

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ

α

A

B

C

D

СВОЙСТВО ХОРД ОКРУЖНОСТИ

a

b

c

d

a•b=c•d

ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК СУММА УГЛОВ В ЛЮБОМ ВЫПУКЛОМ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКЕ РАВНА 3600

Описанная окружность-
Это та окружность,

ТЕОРЕМА ФАЛЕСА

m1

m2

m3

a1

a2

a3

b1

b2

b3

m1 II m2 II m3

если a1=a2=a3, то b1=b2=b3

Теорема о пропорциональных

ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ

A

B

C

A1

B1

C1

Признаки подобия треугольников

(по 2-ум углам)
(по 2-ум сторонам и углу между

ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

a

b

ac

bc

c

h

h2=ac˙bc

a2=ac˙ c

b2=bc˙c

ТЕОРЕМА ПИФАГОРА

a

b

c

c2=a2+b2

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

B

A

C

a

b

c

НАЙТИ КАТЕТ ЧЕРЕЗ ГИПОТЕНУЗУ (гипотенузу •……..)

a

c

B

A

C

НАЙТИ ГИПОТЕНУЗУ ЧЕРЕЗ КАТЕТ
(катет ꞉

ТАБЛИЦА ЗНАЧЕНИЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ УГЛОВ 00, 300, 450, 600, 900,

9 класс

ТРЕУГОЛЬНИК

ПЛОЩАДИ ТРЕУГОЛЬНИКА

Правильные n-угольники

r В любой правильный n- угольник можно
вписать единственную

ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ

R

r

ɑ

ɑ

R

r

ɑ

R

r

R = ɑ

α

ОКРУЖНОСТЬ

КРУГ

R

R

R

Площадь круга S = πR2

α

R

Декартовы координаты РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ДВУМЯ ТОЧКАМИ С ЗАДАННЫМИ КООРДИНАТАМИ

Y

x

B

A

x1

x2

y1

y2

КООРДИНАТЫ СЕРЕДИНЫ ОТРЕЗКА

x

B

A

x1

x2

y1

y2

Y

x0

y0

M

Уравнение окружности с центром О (a;b) и радиусом R

ɑ

b

R

(x-ɑ)2+(y-b)2 = R2

3

x

y

-1

1

-3

x

x

y

x

y

y

x

y

-3

-2

1,5

x2+y2

УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ

x

x

x

1

1

y

y

y

2

3

2

-3

3

3

-1

ВЕКТОР (направленный отрезок) имеет: направление и длину

-------------------------------------------------------------------------------------------

Сонаправленные противоположно направленные

ДЕЙСТВИЯ С ВЕКТОРАМИ

Сложение
По правилу треугольника по правилу параллелограмма

•

Разность векторов

=

+

О

A

B

–

=

Умножение вектора

РАВНЫЕ ВЕКТОРЫ (это сонаправленные векторы, имеющие одинаковую длину)

x

y

1 2 3 4

Упражения

НАЙТИ ПЛОЩАДИ

7

8

600

1.
2.
3.
4.
10.
6.

5

6

300

4

10

6

9

10

M

N

5

MN=6 –

ПЛОЩАДИ

1 Найдите периметр участка земли прямоугольной формы, если площадь участка 2700м2,

ПЛОЩАДИ

1. Изображены две окружности с
общим центром. Площадь
внутреннего

Нахождение катета, гипотенузы.
1. Найдите гипотенузу
2.
Найдите катет
3.
Найдите катет

sin α; cos α; tg α. Основное тригонометрическое тождество

A

6

10

1

A

15

8

2

B

A

8

6

В

2

20

600

А

Е

D

Теорема синусов. Теорема косинусов. Радиусы описанной и вписанной окружности в треугольник

4

7

600

a

1.

ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ

A

B

C

D

A

СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА. СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРАПЕЦИИ

A

B

C

Теорема Пифагора. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике
1. Найдите: с
2. Найдите:

ВПИСАННЫЕ УГЛЫ. СВОЙСТВА КАСАТЕЛЬНОЙ. СВОЙСТВО ХОРД.

х

1300

900

1400

х

600

4

7

2

х

A

B

C

D

800

300

800

A

1

200

?

600

А

с

х

400

300

A

B

m

n

C

D

K

m

ВПИСАННЫЕ УГЛЫ

750

B

A

C

O

M

N

A

B

C

r

A

C

O

B

A

C

B

200

500

A

C

B

D

B

A

D

C

А

В

О

20

25

ВПИСАННЫЕ УГЛЫ. УГЛЫ.

A

B

M

N

A

B

C

O

B

C

A

D

O

A

B

c

D

O

A

B

C

D

B

c

A

D

O

A

B

O

C

A

B

c

O

ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ

3

2

1,6

х

А

В

С

D

E

2

3

9

A

ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ

1. Проектор полностью освещает экран А, высотой 240см
расположенный на

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УГЛОВ, СТОРОН

700

1

340

2

A

C

M

H

B

580

A

E

C

B

D

O

А

в

с

D

A

B

C

D

1350

А

В

С

D

РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ

А

В

о

В

А

С

А

В

С

D

400

750

А

В

С

D

O

А

В

С

M

N

12

20

h1

h2

4

8

A

B

C

B

C

A