Векторная алгебра (Тема 3)

План лекции:
1. Векторы. Линейные операции над векторами.
2. Линейная зависимость

1.Векторы. Линейные операции над векторами.
Определение 1. n-мерным вектором называется упорядоченный набор

Размерность вектора определяется числом его координат, например:
двумерный вектор,
трехмерный вектор.

Определение 2.Два вектора и называются равными, если они имеют одинаковую размерность

Определение 3. Суммой векторов
называется вектор

Определение 4. Произведением вектора
на действительное число называется вектор

Замечание.
Введенные операции над n - мерными векторами аналогичны операциям над

Линейные операции над любыми векторами удовлетворяют следующим свойствам.
1. х + у

5 х = - дистрибутивное относительно суммы числовых множителей свойство.
6.Существует нулевой

2.Линейная зависимость и независимость векторов n-мерного пространства.
Определение 1.
Совокупность всевозможных n-мерных

Определение 2. Линейной комбинацией
векторов называется сумма вида
,
где –

Если же все коэффициенты
,
то система векторов
называется линейно независимой.
На

Теорема 1. Для того, чтобы система векторов
была линейно зависимой, необходимо

Теорема 3.Если определитель, составленный из координат векторов, отличен от нуля, то

Пример 3. Дана система из трех векторов трехмерного пространства:
Установить, является ли

Решение: Составим определитель из координат векторов и вычислим его.
Так как определитель

Пример 4. Выяснить, являются ли векторы
линейно зависимыми.
Решение: Составим линейную комбинацию:
или

Эта система имеет бесконечное множество решений:
Значит векторы и линейно зависимы.

откуда
т.е. вектор линейно выражается
через векторы . .

Ранг и базис системы векторов.
Определение 1. Рангом системы векторов называется максимальное

Таким образом, чтобы установить, является ли данная система векторов линейно независимой

.
Для системы из n-векторов n-мерного пространства достаточно вычислить определитель,

Определение 2. Базисом системы векторов
называется совокупность линейно независимых векторов данной

Определение 4. Линейно независимые векторы
образуют базис рассматриваемого векторного пространства, если

В этом случае говорят, что вектор
разложен по данному базису,

Пример 1. Найти ранг системы векторов:
Решение: Составим определитель из координат векторов

Значит векторы
линейно зависимы. Поэтому ранг не равен 4.
Вычислим определитель третьего

Так как определитель не равен нулю значит 3 вектора линейно независимы,

Пример 3. Разложить вектор
по базису , где
Решение: Запишем разложение

Для нахождения координат подставим в равенство (1) координаты данных векторов:
Отсюда получаем

Сложим эти уравнения, получим решение:
Итак, разложение вектора по базису имеет вид: