Векторный анализ. Лекция 4

Сентябрь 14, 2022

Главная
Математика
Векторный анализ. Лекция 4

Содержание

2. §4 Поверхности второго порядка Поверхности второго порядка описываются уравнениями второго порядка относительно переменных x, y, z.
3. Цилиндрическая поверхность Множество всех точек, лежащих на прямых (образующих), параллельных данной прямой (l) и пересекающих данную
4. Требуется составить уравнение этой цилиндрической поверхности Точка , где (l) – одна из образующих цилиндрической поверхности
5. Подставив в равенство (*) вместо хN и yN соответственно х и у, получим равенство F(x,y)=0, которое
6. Замечания Уравнение цилиндрической поверхности, подобной рассмотренной, совпадает с уравнением ее направляющей, расположенной в одной из координатных
7. Пример. - уравнение цилиндрической поверхности с образующей, параллельной оси Oz (в уравнении отсутствует переменная z), с
8. Поверхности второго порядка Общее уравнение поверхности 2-го порядка имеет вид: где .
9. Поверхности второго порядка Теорема. Общее уравнение поверхности 2-го порядка с помощью симметрии относительно плоскости, поворота оси
10. Эллипсоид
11. Однополостный гиперболоид
12. Двухполостный гиперболоид
13. Коническая поверхность второго порядка (конус)
14. Эллиптический параболоид
15. Гиперболический параболоид
16. 7. (a,b>0) – эллиптический цилиндр 8. - гиперболический цилиндр
17. Параболический цилиндр
18. 10. - пара пересекающихся плоскостей, 11. - пара параллельных плоскостей, 12. - пара совпадающих плоскостей, -
19. - точка (0, 0, 0) (мнимый конус), - ∅ (мнимый эллипсоид), 16. - ∅ (мнимый эллиптический
20. Метод сечений Пересечение исследуемой поверхности с плоскостью дает плоскую кривую. Ряд таких пересечений (называемых сечениями) позволяет
21. Метод сечений Из уравнения видно, что эллипсоид представляет собой ограниченную поверхность, заключенную в параллелепипеде Координатные плоскости
22. Эллипсоид Дальше исследуем форму эллипсоида по его сечениям плоскостями. Рассмотрим сечение эллипсоида координатной плоскостью Оху. В
23. Эллипсоид Аналогично устанавливается сечение данного эллипсоида с плоскостью Oxz - эллипс с полуосями a и с,
24. Эллипсоид Рассмотрим теперь сечение эллипсоида с плоскостями , параллельными плоскости Оху. Уравнения линий пересечения будут или
25. Эллипсоид Если положить , то уравнения запишутся в виде Отсюда видно, что полуоси и являются действительными
26. Эллипсоид При эллипсоид и плоскость пересекаются в одной точке (вырожденный эллипс). Если |h|>c, то эллипсоид и
27. Эллипсоид Таким образом, эллипсоид представляет собой ограниченную поверхность, линиями пересечения которой с координатными плоскостями и им
28. Гиперболоиды Каноническое уравнение однополостного гиперболоида. , (a>0,b>0,c>0). Из уравнения видно, что координатные плоскости прямоугольной системы координат
29. Гиперболоид Исследуем форму этого гиперболоида по его сечениям координатными и параллельными им плоскостями. Линия пересечения гиперболоида
30. Гиперболоид Эти уравнения определяют эллипс с полуосями а и b. Линиями пересечения данного гиперболоида с плоскостями
31. Гиперболоид Линией пересечения данного гиперболоида с плоскостью Oxz будет гипербола с действительной полуосью Ox и мнимой
32. Двуполостный гиперболоид , (a>0, b>0, c>0). Из этого уравнения видно, что координатные плоскости являются плоскостями симметрии,
33. Двуполостный гиперболоид В сечении данного гиперболоида с координатной плоскостью Оху получается мнимый эллипс: Это значит, что
34. Двуполостный гиперболоид Линии пересечения данного гиперболоида с плоскостями z=h представляют собой эллипсы, уравнения которых имеют вид:
35. Двуполостный гиперболоид Полуоси и являются действительными числами лишь при Это означает, что в пространстве между плоскостями
36. Двуполостный гиперболоид Линией пересечения двухполостного гиперболоида с плоскостью Oxz будет гипербола с действительной полуосью с и
37. Коническая поверхность второго порядка (a>0, b>0, c>0). Аналогичные исследования позволяют выявить строение этой поверхности.
38. Эллиптический параболоид (p>0,q>0). Из уравнения видно, что координатные плоскости Охz, Оуz являются плоскостями симметрии параболоида, а
40. Скачать презентацию

Слайд 2

§4 Поверхности второго порядка
Поверхности второго порядка описываются уравнениями второго порядка относительно

переменных x, y, z.
Среди поверхностей второго порядка выделим цилиндрические поверхности.

Слайд 3

Цилиндрическая поверхность
Множество всех точек, лежащих на прямых (образующих), параллельных данной прямой

(l) и пересекающих данную линию (γ) (направляющую).
Пусть образующая цилиндрической поверхности (σ) параллельна одной из осей координат прямоугольной системы Охуz, например, Oz.
Ее направляющая (γ) ее лежит в
плоскости Оху и описывается
уравнениями

Слайд 4

Требуется составить уравнение этой цилиндрической поверхности
Точка , где (l) – одна

из
образующих цилиндрической поверхности (σ), которая
пересекает направляющую (γ) в точке .
Т.к. точка N∈ (γ), то . (*)
Точки М и N принадлежат одной и той же прямой (l),
параллельной оси Oz, и, следовательно, .

Слайд 5

Подставив в равенство (*) вместо хN и yN соответственно х и

у, получим равенство F(x,y)=0, которое является уравнением цилиндрической поверхности (σ).
Итак, F(x,y)=0 есть уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси Oz, и направляющей, расположенной в плоскости Оху.

Слайд 6

Замечания
Уравнение цилиндрической поверхности, подобной
рассмотренной, совпадает с уравнением ее направляющей, расположенной

в одной из координатных плоскостей прямоугольной системы Охуz.
2. Уравнение не содержит одной переменной, одноименной с осью, параллельной образующей цилиндрической поверхности.

Слайд 7

Пример. -
уравнение цилиндрической
поверхности с образующей, параллельной оси Oz
(в

уравнении отсутствует переменная z), с направляющей, расположенной в плоскости Оху и
представляющей параболу с тем же самым уравнением.

Слайд 8

Поверхности второго порядка
Общее уравнение поверхности 2-го порядка имеет вид:
где .

Слайд 9

Поверхности второго порядка
Теорема.
Общее уравнение поверхности 2-го порядка с помощью симметрии

относительно плоскости, поворота оси и параллельного переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к одному из следующих канонических уравнений:

Слайд 10

Эллипсоид

Слайд 11

Однополостный гиперболоид

Слайд 12

Двухполостный гиперболоид

Слайд 13

Коническая поверхность второго порядка (конус)

Слайд 14

Эллиптический параболоид

Слайд 15

Гиперболический параболоид

Слайд 16

7. (a,b>0) – эллиптический цилиндр
8. - гиперболический цилиндр

Слайд 17

Параболический цилиндр

Слайд 18

10. - пара пересекающихся плоскостей,
11. - пара параллельных плоскостей,
12. - пара

совпадающих плоскостей,
- прямая х=у=0 (пара мнимых пересекающихся плоскостей),

Слайд 19

- точка (0, 0, 0) (мнимый конус),
- ∅ (мнимый

эллипсоид),
16. - ∅ (мнимый эллиптический цилиндр),
17. - ∅ (пара мнимых параллельных плоскостей).
Указанное в теореме преобразование системы координат называется приведением к главным осям.

Слайд 20

Метод сечений
Пересечение исследуемой поверхности с плоскостью
дает плоскую кривую. Ряд таких

пересечений (называемых
сечениями) позволяет выяснить строение поверхности.
1. Эллипсоид.
Каноническое уравнение эллипсоида имеет вид:
(a>0,b>0,c>0).
Исследуем форму эллипсоида по его уравнению.

Слайд 21

Метод сечений
Из уравнения видно, что эллипсоид представляет собой ограниченную поверхность, заключенную

в параллелепипеде
Координатные плоскости являются плоскостями симметрии эллипсоида, оси координат – его осями симметрии (все оси эллипсоида вещественны, т.е. их эллипсоид пересекает), начало координат – центром симметрии эллипсоида.

Слайд 22

Эллипсоид
Дальше исследуем форму эллипсоида по его сечениям
плоскостями. Рассмотрим сечение эллипсоида

координатной
плоскостью Оху. В сечении получается линия:
Эта линия представляет собой
эллипс с полуосями a и b.

Слайд 23

Эллипсоид
Аналогично устанавливается сечение данного эллипсоида
с плоскостью Oxz
- эллипс

с полуосями a и с,
и с плоскостью Оуz
- эллипс с полуосями b и с.

Слайд 24

Эллипсоид
Рассмотрим теперь сечение эллипсоида с плоскостями
, параллельными плоскости Оху.
Уравнения

линий пересечения будут
или

Слайд 25

Эллипсоид
Если положить ,
то уравнения запишутся в виде
Отсюда видно,

что полуоси и являются
действительными числами лишь при и линия
пересечения эллипсоида с плоскостью z=h представляет
собой эллипс с полуосями и .

Слайд 26

Эллипсоид
При эллипсоид и плоскость пересекаются в
одной точке (вырожденный эллипс).
Если

|h|>c, то эллипсоид и плоскость не имеют общих
точек (пересекаются по мнимому эллипсу).
Аналогично находим, что в пересечении эллипсоида с
плоскостями, параллельными координатным плоскостям
Oxz и Oyz, получаются также эллипсы.

Слайд 27

Эллипсоид
Таким образом, эллипсоид представляет собой
ограниченную поверхность, линиями пересечения которой
с

координатными плоскостями и им параллельными
являются эллипсы. Числа a,b,c называются полуосями
эллипсоида. Если все они различны, то эллипсоид
называется трехосным. Если a=b=c, то эллипсоид
превращается в сферу.
Замечание. Эллипсоид может быть получен равномерным
сжатием сферы относительно двух перпендикулярных его
плоскостей симметрии.

Слайд 28

Гиперболоиды
Каноническое уравнение однополостного гиперболоида.
, (a>0,b>0,c>0).
Из уравнения видно, что координатные
плоскости

прямоугольной системы
координат Охуz являются плоскостями
симметрии, оси координат – осями
симметрии (две оси – вещественные,
одна - мнимая), начало координат –
– центром симметрии однополостного
гиперболоида.

Слайд 29

Гиперболоид
Исследуем форму этого гиперболоида по его сечениям
координатными и параллельными им

плоскостями.
Линия пересечения гиперболоида с плоскостью Оху имеет
уравнения:

Слайд 30

Гиперболоид
Эти уравнения определяют эллипс с полуосями а и b.
Линиями пересечения

данного гиперболоида с плоскостями
z=h (h∈R), параллельными координатной плоскости Оху,
будут эллипсы
или
с полуосями
Полуоси и неограниченно увеличиваются с увеличением |h|.

Слайд 31

Гиперболоид
Линией пересечения данного гиперболоида с плоскостью
Oxz будет гипербола
с действительной полуосью

Ox и мнимой осью Oz, а и с – полуоси гиперболы, с плоскостью Оуz - гипербола
с полуосями b и с.
Числа a,b,c называются полуосями однополостного гиперболоида.

Слайд 32

Двуполостный гиперболоид
, (a>0, b>0, c>0).
Из этого уравнения видно, что

координатные плоскости являются
плоскостями симметрии, оси
координат – осями симметрии
(одна ось – вещественная, две оси –
– мнимые), а начало координат –
– центром симметрии двухполостного
гиперболоида.

Слайд 33

Двуполостный гиперболоид
В сечении данного гиперболоида с координатной
плоскостью Оху получается мнимый

эллипс:
Это значит, что плоскость z=0 не пересекает гиперболоид.

Слайд 34

Двуполостный гиперболоид
Линии пересечения данного гиперболоида с
плоскостями z=h представляют собой эллипсы,

уравнения
которых имеют вид:
или
где

Слайд 35

Двуполостный гиперболоид
Полуоси и являются действительными числами
лишь при Это означает, что

в пространстве между
плоскостями z=с и z= – с не содержится точек рассматриваемой поверхности.
Эта поверхность состоит из двух полостей, расположенных так, как показано на рисунке.

Слайд 36

Двуполостный гиперболоид
Линией пересечения двухполостного гиперболоида с плоскостью Oxz будет гипербола
с действительной

полуосью с и мнимой полуосью а, с плоскостью Оуz - гипербола
с действительной полуосью с и мнимой полуосью b.
Числа a, b, c называются полуосями двухполостного гиперболоида.

Слайд 37

Коническая поверхность второго порядка

(a>0, b>0, c>0).
Аналогичные исследования
позволяют

выявить
строение этой поверхности.

Слайд 38

Эллиптический параболоид
(p>0,q>0).
Из уравнения видно, что координатные
плоскости Охz, Оуz

являются
плоскостями симметрии параболоида,
а Oz – ось симметрии его. Начало
координат О – вершина параболоида.

Векторный анализ. Лекция 4

Содержание

§4 Поверхности второго порядкаПоверхности второго порядка описываются уравнениями второго порядка относительно

Цилиндрическая поверхностьМножество всех точек, лежащих на прямых (образующих), параллельных данной прямой

Требуется составить уравнение этой цилиндрической поверхности Точка , где (l) – одна

Подставив в равенство (*) вместо хN и yN соответственно х и

ЗамечанияУравнение цилиндрической поверхности, подобной рассмотренной, совпадает с уравнением ее направляющей, расположенной

Пример. - уравнение цилиндрической поверхности с образующей, параллельной оси Oz (в

Поверхности второго порядка Общее уравнение поверхности 2-го порядка имеет вид:где .

Поверхности второго порядка Теорема. Общее уравнение поверхности 2-го порядка с помощью симметрии

Эллипсоид

Однополостный гиперболоид

Двухполостный гиперболоид

Коническая поверхность второго порядка (конус)

Эллиптический параболоид

Гиперболический параболоид

7. (a,b>0) – эллиптический цилиндр8. - гиперболический цилиндр

Параболический цилиндр

10. - пара пересекающихся плоскостей,11. - пара параллельных плоскостей,12. - пара

- точка (0, 0, 0) (мнимый конус), - ∅ (мнимый

Метод сечений Пересечение исследуемой поверхности с плоскостью дает плоскую кривую. Ряд таких

Метод сечений Из уравнения видно, что эллипсоид представляет собой ограниченную поверхность, заключенную

ЭллипсоидДальше исследуем форму эллипсоида по его сечениям плоскостями. Рассмотрим сечение эллипсоида

Эллипсоид Аналогично устанавливается сечение данного эллипсоида с плоскостью Oxz - эллипс

Эллипсоид Рассмотрим теперь сечение эллипсоида с плоскостями , параллельными плоскости Оху.Уравнения

Эллипсоид Если положить , то уравнения запишутся в виде Отсюда видно,

Эллипсоид При эллипсоид и плоскость пересекаются в одной точке (вырожденный эллипс). Если

Эллипсоид Таким образом, эллипсоид представляет собой ограниченную поверхность, линиями пересечения которой с

Гиперболоиды Каноническое уравнение однополостного гиперболоида., (a>0,b>0,c>0). Из уравнения видно, что координатные плоскости

Гиперболоид Исследуем форму этого гиперболоида по его сечениям координатными и параллельными им

Гиперболоид Эти уравнения определяют эллипс с полуосями а и b. Линиями пересечения

Гиперболоид Линией пересечения данного гиперболоида с плоскостью Oxz будет гиперболас действительной полуосью

Двуполостный гиперболоид , (a>0, b>0, c>0). Из этого уравнения видно, что

Двуполостный гиперболоид В сечении данного гиперболоида с координатной плоскостью Оху получается мнимый

Двуполостный гиперболоид Линии пересечения данного гиперболоида с плоскостями z=h представляют собой эллипсы,

Двуполостный гиперболоидПолуоси и являются действительными числами лишь при Это означает, что

Двуполостный гиперболоид Линией пересечения двухполостного гиперболоида с плоскостью Oxz будет гиперболас действительной

Коническая поверхность второго порядка (a>0, b>0, c>0).Аналогичные исследования позволяют

Эллиптический параболоид (p>0,q>0). Из уравнения видно, что координатные плоскости Охz, Оуz

Похожие презентации