Векторы на плоскости. Понятие вектора. Равенство векторов

Сентябрь 12, 2022

Главная
Математика
Векторы на плоскости. Понятие вектора. Равенство векторов

Содержание

2. Векторы на плоскости Понятие вектора. Равенство векторов Векторные величины в отличие от скалярных имеют не только
3. Векторы называют равными, если они сонаправленны и их модули равны. А В C D AB =
4. Сложение и вычитание векторов 1) Сложение векторов по правилу треугольника. Пусть даны векторы а и b
5. Правило параллелограмма . Пусть даны векторы a и b . Отметим на плоскости точку А и
6. 2) Свойства сложения векторов: 1. Для любых двух векторов а и b верно равенство : a
7. 5) Пусть прямые a и b пересекаются в точке О. отложим данный вектор с от точки
8. Умножение вектора на число 1) Произведением вектора а ≠ 0 на число R называется вектор ,
9. 3) Свойства умножения числа на вектор: Для любых чисел α и β и любых векторов a
10. Угол между векторами. Скалярное произведение векторов Углом между векторами AB и АС называется угол BAC .
11. 2) Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между
12. Координаты вектора 1) Теорема о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам: Если ненулевые векторы а и
13. 2) Базисные векторы - выбранные на плоскости два неколлинеарных вектора, по которым производится разложение заданного вектора.
14. Различные способы задания прямой в прямоугольной системе координат 1) Направляющий вектор прямой - это любой ненулевой
16. Скачать презентацию

Слайд 2

Векторы на плоскости Понятие вектора. Равенство векторов
Векторные величины в отличие от

скалярных имеют не только числовое значение, но и направление в пространстве.
Вектор – это направленный отрезок. Обозначается вектор так: AB .
3) Если два вектора лежат на одной прямой или на параллельных прямых, то такие векторы называются коллинеарными.
Если коллинеарные векторы имеют одинаковые направления, то их называют сонаправленными.
Если коллинеарные векторы имеют разные направления, то их называют противоположно направленными.

Слайд 3

Векторы называют равными, если они сонаправленны и их модули равны.

А В
C D
AB = CD
Равные векторы можно совместить параллельным переносом, и, обратно, если векторы совмещаются параллельным переносом, то эти векторы равны.
Модуль- это расстояние на координатной прямой от начала отсчета (от точки О) , до точки на координатной прямой.
Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называют нулевым вектором. Он обозначается так: 0 .

Слайд 4

Сложение и вычитание векторов
1) Сложение векторов по правилу треугольника. Пусть даны

векторы а и b . Отметим на плоскости точку А и отложим от этой точки вектор AB , равный вектору а , а от точки В отложим вектор ВС , равный вектору b. Полученный вектор АС называют суммой векторов а и b и пишут: АС = а + b .

a + b

Слайд 5

Правило параллелограмма . Пусть даны векторы a и b . Отметим

на плоскости точку А и отложим от этой точки вектор AB , равный вектору а , и вектор AD, равный вектору b . Строим параллелограмм ABCD . Тогда вектор AС (диагональ параллелограмма ABCD) будет являться суммой векторов а и b .

a + b

Слайд 6

2) Свойства сложения векторов:
1. Для любых двух векторов а

и b верно равенство :
a + b = b + a (переместительный закон)
2. Для любых трёх векторов a , b и c верно равенство: (a + b) + c = a + (b + c) (сочетательный закон ).
3) Разностью векторов a и b называется вектор, который в сумме с вектором b равен вектору а . Разность векторов a и b обозначается так: а - b .
4) Противоположные векторы – векторы , которые равны по модулю, но направлены в противоположные стороны.

Слайд 7

5) Пусть прямые a и b пересекаются в точке О. отложим

данный вектор с от точки О: вектор ОС= вектору с. Тогда с помощью прямых а и b построим параллелограмм ОАСВ так, чтобы отрезок ОС был его диагональю. По правилу параллелограмма сложения векторов имеем : вектор ОС= =ОА + ОВ. Следовательно, векторы ОА и ОВ являются составляющими вектора с = вектору ОС, расположенных на прямых а и b соответственно. В этом случае вектор ОС не лежит на прямой а или b.

Слайд 8

Умножение вектора на число
1) Произведением вектора а ≠ 0 на число

R называется вектор , модуль которого равен числу │R│ · │a│ и сонаправлен с вектором а при R > 0 , противоположно направлен с вектором а при R < 0. Произведение числа R на вектор а записывают так: R · a .
Если R = 0 , то 0 · а = 0.
Чтобы умножить вектор а (неравный нулю) на число R (неравное нулю) , нужно умножить модуль вектора а на модуль числа R .

Слайд 9

3) Свойства умножения числа на вектор:
Для любых чисел α и

β и любых векторов a , b верно равенство:
1. (α∙β) ā=α(β∙ā) (сочетательный закон) ;
2. (α+β)ā=āα+βā ( 1 распределительный закон) ;
3. α(a+b)=αa+αb ( 2 распределительный закон) .

Слайд 10

Угол между векторами. Скалярное произведение векторов
Углом между векторами AB и АС

называется угол BAC . Углом между ненулевыми векторами a и b называется угол, образованный при откладывании этих векторов от одной точки.
Угол между векторами а и b обозначают через ( а,˄ b )
O

( а, b )

Слайд 11

2) Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих

векторов на косинус угла между ними , т. е. скалярное произведение векторов равно числу │а│·│b│· cos ( a, b ) .
3) Свойства скалярного произведения :
1. Для любых векторов а и b верно равенство:
а · b = b · a .
2. Для любых векторов а и b и любого действительного числа α верно равенство:
(α а ) · b = α ( а · b ) .
3. Для любых векторов а , b и с верно равенство:
( а + b ) · c = a · c + b · c .
Векторы являются перпендикулярными , если их скалярное произведение равно нулю.

Слайд 12

Координаты вектора
1) Теорема о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам:

Если ненулевые векторы а и b не коллинеарны , то для любого вектора с найдутся числа x и y такие, что выполняется равенство:
с = x a + y b ,
причём коэффициенты разложения x и y определяются единственным образом.
Доказательство. На плоскости отложим от точки О векторы а , b и с . Концы полученных векторов соответственно обозначим через А, В и С. Тогда, по теореме о разложении вектора на составляющие по двум пересекающимся прямым, вдоль прямых ОА и ОВ найдутся единственные векторы ОА’ и ОB’ такие, что ОС=ОА’+OB’.
Так как вектор ОА││ОА’ и ОВ││ОВ’ , то по теореме о коллинеарных векторах существуют единственные действительные числа x и y, что ОА’=х · ОА= ха и вектор ОВ’ =y ·OB=y ·b. Поэтому из равенства ОС=ОА’+OB’ следует единственное представление вида с= ОС=ха + yb. Теорема доказана.

Слайд 13

2) Базисные векторы - выбранные на плоскости два неколлинеарных вектора, по

которым производится разложение заданного вектора.
Любые два неколлинеарных вектора можно принять в качестве базисных векторов и любой вектор этой плоскости однозначно разлагается по этим базисным векторам. В доказанной теореме а и b – базисные векторы. А действительные числа x и y называются координатами вектора с в базисе а , b.
4) Свойства координат вектора :
1. У равных векторов соответствующие координаты равны : если а = (x; y) , b = (u; v) и a = b , то x = u , y = v .
Обратно, векторы , у которых соответствующие координаты между собой : если а = (x; y) , b = (u; v) и x = u , y = v , то a = b .
2. При сложении векторов складываются их соответствующие координаты: если а = (x; y) , b = (u; v) , то a + b = (x + u ; y + v ) .
3. При умножении вектора на число его координаты умножаются на это же число, если а = (x; y) и λ – число , то λ · а = (λ·x; λ·y) .
5) Радиус-вектор - вектор , идущий из начала координат в заданную точку на плоскости.

Слайд 14

Различные способы задания прямой в прямоугольной системе координат
1) Направляющий вектор прямой -

это любой ненулевой вектор, лежащий на данной прямой или на параллельной ей прямой.
Уравнение прямой, проходящий через две заданные точки:
3) Вектор нормали - это вектор, который перпендикулярен данной плоскости .
Уравнение прямой по точке и вектору нормали :
а (x - x₀) + b (у - у₀) = 0
4) Формула, определяющая угол между прямыми:
5) Формула, определяющая расстояние от точки до прямой :

Векторы на плоскости. Понятие вектора. Равенство векторов

Содержание

Векторы на плоскости Понятие вектора. Равенство векторов Векторные величины в отличие от

Векторы называют равными, если они сонаправленны и их модули равны.

Сложение и вычитание векторов1) Сложение векторов по правилу треугольника. Пусть даны

Правило параллелограмма . Пусть даны векторы a и b . Отметим

2) Свойства сложения векторов: 1. Для любых двух векторов а

5) Пусть прямые a и b пересекаются в точке О. отложим

Умножение вектора на число1) Произведением вектора а ≠ 0 на число

3) Свойства умножения числа на вектор: Для любых чисел α и

Угол между векторами. Скалярное произведение векторов Углом между векторами AB и АС