Возрастание, убывание функций, необходимые и достаточные условия существования экстремума. (Лекция 13)
Содержание
- 2. § 1.Условия постоянства и монотонности функции. Теорема (критерий постоянства). Функция y = f(x) является постоянной на
- 3. Доказательство « ⇒ » Это известно из предыдущего. Пусть ∀ x ∈ (a ; b) (
- 4. На отрезке [x1 ; x2] функция удовлетворяет всем условиям теоремы Лагранжа. Действительно, она непрерывна на этом
- 5. Теорема (достаточные условия монотонности). Пусть ∀ x ∈ (a ; b) ( f ′(x) > 0)
- 6. Доказательство 1 часть. f ′(x) > 0 на интервале (a ; b) . (!) ∀ x1,
- 7. 2 часть. Возьмём произвольную пару точек x1, x2 ∈ (a ; b). На [x1 ; x2]
- 8. § 2. Полное исследование функций и построение графика . Задача исследования функции и построения графика одна
- 9. Алгоритм исследования функции: 1) О.Д.З. D( f ) – область определения функции. 2) Чётность и периодичность.
- 10. 6) Вычисление значений функции в некоторых характерных точках (точек пересечения графика с осями координат (если имеются),
- 11. Асимптоты x=x0 – вертикальная асимптота вертикальная асимптота
- 12. p – правая наклонная асимптота
- 13. p – левая наклонная асимптота
- 14. Нас интересуют асимптоты y = f (x). Определение. Прямая x=x0 называется вертикальной асимптотой функции y =
- 15. Очевидно, в этом случае x0 является точкой разрыва второго рода. Пример: x0 – точка разрыва второго
- 16. Замечание: Легко сделать вывод, что если функция непрерывна на всей числовой оси , то у неё
- 17. Наклонные асимптоты функции бывают правыми и левыми. При этом y = kx + b является правой
- 18. В этом случае, если k = 0, асимптота называется горизонтальной. Таким образом, чтобы найти наклонную асимптоты
- 19. Пример. Задача. Найти асимптоты функции . D(y) = R; Вертикальных асимптот нет, т.к. функция непрерывна на
- 20. y = x – правая наклонная асимптота
- 21. Найдём левую асимптоту:
- 22. y = – x – левая наклонная асимптота
- 24. Как известно, чтобы исследовать функцию на экстремум нужно: 1) Найти все критические точки функции 2) Каждую
- 25. Теорема (достаточное условие экстремума) Если x0 – критическая точка функции y = f(x) , то из
- 26. Внутренняя точка x0 области определения функции y = f (x) называется точкой максимума этой функции, если
- 27. Определение. Точки минимума и точки максимума обозначаются под общим названием точки экстремума. Замечание 1: Очень важным
- 28. Аналогично о наименьшем и минимальном значениях. Может случиться, что некоторое максимальное значение является меньше минимального. Теорема
- 29. Теорема (первое достаточное условие экстремума). Если при прохождении через критическую точку производная меняет знак, то данная
- 30. Теорема (об интервалах монотонности). Пусть x1 ,x2 , …xn – все критические точки функции y =
- 31. Выпуклость и вогнутость (Рис.1) ((Рис. 2)
- 32. На (рис. 1) изображена выпуклая кривая, на (рис. 2) –вогнутая кривая. Определение. Гладкая кривая L называется
- 33. Пример. – выпуклая функция – вогнутая функция Справедлива Th. Теорема (достаточное условие выпуклости – вогнутости). Если
- 34. Точки перегиба Точка M данной кривой L называется точкой перегиба этой кривой, если она отделяет выпуклый
- 35. Критические точки второго рода называются также точками, подозрительными на перегиб. Определение. Внутренняя точка x0 ∈ D(
- 36. Теорема (достаточное условие перегиба). Если при прохождении через критическую точку второго рода знак второй производной меняется,
- 37. Алгоритм исследования функции с помощью второй производной: 1) Находим все критические точки второго рода (находим f
- 39. Скачать презентацию