Вписанная и описанная окружности

Июль 31, 2022

Главная
Математика
Вписанная и описанная окружности

Содержание

2. Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник - описанным
3. Центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис всех внутренних углов многоугольника. Радиус вписанной окружности вычисляется по
4. Не во всякий многоугольник можно вписать окружность.
5. В любом описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны. А В АВ + СД = ВС +
6. В любой треугольник можно вписать окружность. Центр окружности - точка пересечения биссектрис треугольника. А О В
7. Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник -
8. Центр описанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам многоугольника. Радиус вычисляется как
9. Около любого треугольника можно описать окружность. Центр окружности - точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
10. Около четырёхугольника не всегда можно описать окружность.
11. Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180°.
12. В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы.(гипотенуза является диаметром) Радиус вписанной окружности находится
13. Только около равнобокой трапеции можно описать окружность. В равнобедренную трапецию можно вписать окружность, если боковая сторона
14. Площадь треугольника равна 24, а радиус вписанной окружности равен 2. Найдите периметр этого треугольника. Решение. Из
15. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна 6. Решение. Радиус окружности, вписанной в
16. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен 6. Найдите высоту этого треугольника. Решение. значит, Ответ: 18.
17. Сторона правильного треугольника равна √3. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник. Решение. Радиус вписанной в
18. К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 6, 8, 10.
19. Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 2 + √2. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник. Решение.
20. Решение. Треугольник правильный, значит, все углы равны по 60°. Сторона правильного треугольника равна√3 . Найдите радиус
21. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 12. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника. Решение. Вписанный угол, опирающийся на
22. Сторона треугольника равна 1. Противолежащий ей угол равен 30°. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
23. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 40, основание равно 48. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника. Решение.
24. Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 3 и 5. Найдите среднюю линию трапеции. Решение. В
25. Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как 1:2:3. Найдите большую сторону этого
26. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 22, средняя линия равна 5. Найдите боковую сторону трапеции.
27. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен 60°, большее основание равно
28. Углы А, В и С четырехугольника АВСД относятся как1:2:3 . Найдите угол Д , если около
29. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 82° и 58° . Найдите больший из оставшихся углов.
30. Периметр правильного шестиугольника равен 72. Найдите диаметр описанной окружности. Решение. Рассмотрим треугольник АОВ. Он равносторонний, т.к.
31. Около окружности, радиус которой равен √3/2, описан правильный шестиугольник. Найдите радиус окружности, описанной около этого шестиугольника.
32. C4. В треугольнике АВС известны стороны: АВ=6, ВС=8, АС=9. Окружность, проходящая через точки А и С,
33. 2)Пусть точка K лежит на продолжении стороны AB. Углы AKL и ACL равны, поскольку опираются на
34. C 4.Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника, отсекает от него четырехугольник, в который можно вписать окружность. Найдите
35. Пусть прямая MN перпендикулярна АВ, касается окружности, пересекает АВ в точке М, а ВС в точке
37. Скачать презентацию

Слайд 2

Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в

многоугольник, а многоугольник - описанным около этой окружности.

Слайд 3

Центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис всех внутренних углов

многоугольника.
Радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:
r= S/p,
где S – площадь, а p – полупериметр многоугольника.

Слайд 4

Не во всякий многоугольник можно вписать окружность.

Слайд 5

В любом описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны.
А В

АВ + СД = ВС + АД
С
Д
Если суммы противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Слайд 6

В любой треугольник можно вписать окружность.
Центр окружности - точка пересечения

биссектрис треугольника.
А
О
В С

Слайд 7

Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной

около многоугольника, а многоугольник - вписанным в эту окружность.

Слайд 8

Центр описанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к

сторонам многоугольника.
Радиус вычисляется как радиус окружности, описанной около треугольника, определённого любыми тремя вершинами данного многоугольника.

Слайд 9

Около любого треугольника можно описать окружность.
Центр окружности - точка пересечения серединных

перпендикуляров к сторонам треугольника.
R= = =
R =

Слайд 10

Около четырёхугольника не всегда можно описать окружность.

Слайд 11

Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма

его противоположных углов равна 180°.

A + C = B + D=180°

Слайд 12

В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы.(гипотенуза является

диаметром)

Радиус вписанной окружности находится по формуле:
, где а и b – катеты, с – гипотенуза.
R = d/2

r =

Слайд 13

Только около равнобокой трапеции можно описать окружность. В равнобедренную трапецию

можно вписать окружность, если боковая сторона равна средней линии.

Слайд 14

Площадь треугольника равна 24, а радиус вписанной окружности равен 2. Найдите

периметр этого треугольника.

Решение.
Из формулы S=pr, где p - полупериметр, находим, что периметр описанного многоугольника равен отношению удвоенной площади к радиусу вписанной окружности:
Ответ: 24

Слайд 15

Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна 6.
Решение.
Радиус

окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен одной трети высоты. Поэтому он равен 2.
Ответ: 2.

Слайд 16

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен 6. Найдите высоту этого

треугольника.
Решение.

значит,

Ответ: 18.

Слайд 17

Сторона правильного треугольника равна √3. Найдите радиус окружности, вписанной в этот

треугольник.
Решение.
Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади к полупериметру:

Ответ: 0,5.

Слайд 18

К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных

треугольников равны 6, 8, 10. Найдите периметр данного треугольника.
Отрезки касательных, проведенных к окружности из точек K,H,O,F,N,M соответственно равны друг другу. Поэтому

Следовательно,

Ответ: 24.

Решение.

Слайд 19

Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 2 + √2. Найдите радиус окружности,

вписанной в этот треугольник.
Решение.

Ответ: 1.

Слайд 20

Решение.
Треугольник правильный, значит, все углы равны по 60°.
Сторона правильного треугольника равна√3

. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Ответ: 1.

Слайд 21

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 12. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.
Решение.
Вписанный

угол, опирающийся на диаметр окружности, является прямым, значит, гипотенуза является диаметром и
R = 12/2=6.
Ответ: 6.

Слайд 22

Сторона треугольника равна 1. Противолежащий ей угол равен 30°. Найдите радиус

окружности, описанной около этого треугольника.
Решение.
По теореме синусов имеем:
Ответ: 1.

Слайд 23

Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 40, основание равно 48. Найдите

радиус описанной окружности этого треугольника.
Решение.
Для нахождения площади треугольника, воспользуемся формулой Герона
S =
Ответ: 25

Слайд 24

Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 3 и 5. Найдите

среднюю линию трапеции.

Решение.
В выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда АВ + СД = ВС + АД
Ответ: 4.

Слайд 25

Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как

1:2:3. Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен 32.

Решение.
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда АВ+СД = АД+ВС.
Пусть меньшая сторона равна х, тогда х +3х=Р/2; 4х=16; х=4. Тогда большая сторона равна Р/2 – 4=16-4=12
Ответ: 12

Слайд 26

Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 22, средняя линия равна

5. Найдите боковую сторону трапеции.
Решение.
Трапеция – равнобедренная, т. к. вокруг неё описана окружность.
Ответ: 6.

Слайд 27

Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании

равен 60°, большее основание равно 12. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.
Решение.
Окружность, описанная вокруг трапеции, описана и вокруг треугольника ADC. Это треугольник равнобедренный, угол при вершине равен 120°, углы при основании равны 30°. Найдем его боковую сторону:
AD=DC=AB-2AH=AB-2ADcos 60°=12-AD, откуда AD=6
Ответ: 6.

Слайд 28

Углы А, В и С четырехугольника АВСД относятся как1:2:3 . Найдите

угол Д , если около данного четырехугольника можно описать окружность. Ответ дайте в градусах.
Решение.
Пусть угол А равен х°. Учитывая, что сумма противоположных углов во вписанном четырёхугольнике равна 180°, получим: х+3х=180; 4х=180; х=45. Угол В равен 2х=2·45=90. Тогда угол Д равен 180-90=90.
Ответ: 90.
Ответ: 90º

Слайд 29

Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 82° и 58° .

Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Решение.
Так как во вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°, то больший угол равен 180° - 58°= 122°
Ответ: 122.

Слайд 30

Периметр правильного шестиугольника равен 72. Найдите диаметр описанной окружности.
Решение.
Рассмотрим треугольник АОВ.

Он равносторонний, т.к. АО=ОВ=R и угол АОВ равен 60°, тогда D=2R=2АО= 2АВ=2·12=24
Ответ: 24.

Слайд 31

Около окружности, радиус которой равен √3/2, описан правильный шестиугольник. Найдите радиус

окружности, описанной около этого шестиугольника.
Решение.
Угол правильного шестиугольника равен 120° , тогда угол ОАH в прямоугольном треугольнике OAH равен 60°. Следовательно,
Ответ: 1.

Слайд 32

C4. В треугольнике АВС известны стороны: АВ=6, ВС=8, АС=9. Окружность,

проходящая через точки А и С, пересекает прямые ВА и ВС соответственно в точках K и L, отличных от вершин треугольника. Отрезок KL касается окружности, вписанной в треугольник ABC. Найдите длину отрезка KL.

Решение.
Обе точки K и L не могут лежать вне треугольника, поскольку в этом случае отрезок KL не может касаться вписанной окружности. Значит, по крайней мере одна из этих точек лежит на стороне треугольника.
1)Пусть обе точки K и L лежат на сторонах треугольника. Четырехугольник AKLC — вписанный, следовательно,
Значит, треугольник ABC подобен треугольнику LBK , так как угол ABC— общий. Пусть коэффициент подобия равен k, тогда BL=kAB, BK=kBC, KL=kAC. Суммы противоположных сторон описанного четырехугольника AKLC равны:
Подставляя известные значения сторон, находим
k = = KL=kAC=45/23

Слайд 33

2)Пусть точка K лежит на продолжении стороны AB. Углы AKL

и ACL равны, поскольку опираются на одну дугу. Значит, треугольник ABC подобен треугольнику LBK , так как угол ABC — общий. Более того, они описаны около одной и той же окружности. Следовательно, коэффициент подобия равен 1, то есть, треугольники LBK и ABC равны, поэтому KL=AC= 9. Заметим, что BK=BC>AB и точка K действительно лежит на продолжении стороны AB.
Если точка L лежит на продолжении стороны BC, то BL>BC, но, аналогично предыдущему случаю, получаем BL=ABОтвет:45/23; 9.

Слайд 34

C 4.Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника, отсекает от него четырехугольник, в

который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок этой прямой, заключённый внутри треугольника, равен 24, а отношение катетов треугольника равно 5/12.

Решение.
Обозначим треугольник АВС, отношение катетов равен 5/12, АС=5х-катет, ВС=12х-катет, АВ=13х— гипотенуза. Заметим, что окружность, о которой говорится в условии, — окружность, вписанная в треугольник ABC. Пусть О — её центр, а D и Е — точки касания с катетами АС и ВС соответственно. Тогда, так как ODCE — квадрат, радиус этой окружности.
OD=EC= = = 2x. Пусть прямая MN перпендикулярна АВ, касается окружности, пересекает АВ в точке М, а АС в точке N. Прямоугольный треугольник ANM подобен треугольнику ABC. В нём MN=24, AM=26, AN=10. У описанного четырёхугольника суммы противоположных сторон равны: ВС+MN=BM+CN; 12х+24=(13х-26)+(5х-10), откуда находим: х=10.
r=2x=20

Слайд 35

Пусть прямая MN перпендикулярна АВ, касается окружности, пересекает АВ в точке

М, а ВС в точке N. Прямоугольный треугольник NBM подобен треугольнику ABC. В нём MN=24, BM=57,6, BN=62,4. У описанного четырёхугольника суммы противоположных сторон равны:
MN+AC=CN+AM; 24+5x=(12x-62,4)+(13x-57,6), откуда находим: х=7,2.
r=2x=14,4
Ответ: 20 или 14,4.