Временные ряды

Сентябрь 13, 2022

Главная
Математика
Временные ряды

Содержание

2. 1. Понятие временного ряда и его составляющих. Основная идея анализа ранее рассмо-тренных моделей заключается в том,
3. В реальности результирующая перемен-ная складывается под влиянием большого числа факторов, многие из которых не под-даются непосредственному
4. В этом случае мы имеем дело с другим видом статистических данных – временными рядами в отличие
5. Отдельные наблюдения этого показателя называются уровнями ряда и обозначаются символами , где число уровней ряда (число
6. факторы, формирующие основную тенденцию ряда (трендовая компонента); факторы, определяющие циклические колебания ряда (циклическая компонента); случайные факторы
7. В большинстве случаев фактический уровень временного ряда можно представить как сумму или как произведение трендовой, циклической
8. аддитивная модель ; мультипликативная модель В этих уравнениях: тренд, описывающий влияние долговременных факторов, т.е. длительную, "вековую"
9. Рис. 1 Рис. 2
10. циклическая компонента, отража-ющая повторяемость экономических процес-сов. Циклические колебания могут носить сезонный характер, и связаны они с
11. Рис. 3 Рис. 4
12. случайная компонента, отражающая влияние не поддающихся регистрации случа-йных факторов (рис. 4). 2. Стационарные временные ряды. Для
13. Поиск адекватной модели ряда обычно начинают в рамках класса стационарных временных рядов. Ряд называется строго стационар-ным,
14. Ряд называется слабо стационарным (стационарным в широком смысле), если для него выполняются следующие соотношения: 1. .
15. Другими словами ряд слабо стационарен, если математическое ожидание, дисперсия и автоковариация ряда не зависят от времени
16. Автоковариация имеет те же недостатки, что и ковариация: с трудом поддаётся непо-средственной интерпретации и зависит от
17. Число периодов , по которым рассчи-тывается коэффициент автокорреляции, на-зывается лагом. Если , то имеем коэффициент автокорреляции
18. Отметим две особенности . Во-первых, он изменяется в пределах Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную
19. Во-вторых, по знаку нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции уровней ряда. Бывает так, что
20. Рис. 5 Рис. 6
21. Рис. 7 Рис. 8
22. Анализ автокорреляционной функции и её графика помогает выявить структуру ряда. Если чередуются затухающие положи-тельные и отрицательные
23. Если наиболее высоким оказался коэффици-ент автокорреляции го порядка, то ряд содержит циклические колебания с пери-одичностью в
24. Статистическими оценками числовых характеристик слабо стационарного времен-ного ряда являются: выборочное среднее ; выборочная дисперсия
25. выборочный коэффициент автокор-реляции ( 1,2,3,…) Функцию переменной называют выборочной автокорреляционной функцией.
26. Наряду с рассматривают частные коэффициенты автокорреляции , которые характеризуют тесноту линейной связи уровней ряда и при
27. 3. Выравнивание временных рядов. Если при анализе структуры временного ряда обнаружена только тенденция и отсут-ствуют циклические
28. Для выявления основной тенденции в уровнях ряда, т.е. выравнивания ряда, ис-пользуются различные методы: механическое (алгоритмическое) выравнивание;
29. Если интервал содержит нечётное число уровней ряда, то среднее значе-ние ряда находится по формуле Чаще всего
30. Если выбранный интервал содержит чётное число уровней ряда, то вначале нахо-дятся скользящие средние для промежуточных уровней
31. Существуют и другие методы механического выравнивания ряда: метод взвешенных скользящих средних, метод экспоненциаль-ного сглаживания (метод Брауна),
32. Для этого можно использовать различ-ные виды функций: линейный тренд ; гиперболический тренд ; степенной тренд и
33. Параметры каждого из перечисленных трендов можно определять обычным МНК, используя в качестве независимой перемен-ной время ,
34. 4. Моделирование ряда при наличии циклических колебаний. Существует несколько подходов при моделировании рядов с циклическими коле-баниями.
35. Если амплитуда сезонных колебаний со временем не меняется, то применяют адди-тивную модель . В противном случае
36. в случае аддитивной модели сумма всех сезонных компонент за год должна быть равна нулю; для мультипликативной
37. 2. Расчет значений сезонной компоненты. Оценки сезонной компоненты находятся как разность между фактическими уровнями ряда и
38. В аддитивной модели сумма значений сезонной компоненты по всем сезонам должна быть равна нулю. Если это
39. Затем рассчитываются скорректированные значения сезонной компоненты как разность между ее средней оценкой и корректирующим коэффициентом :
40. Из каждого уровня исходного ряда вычитается скорректированное значение сезонной компоненты , в результате получается ряд, содержащий
41. 5. Расчет суммы значений трендовой и сезонной компонент К значениям выровненных уровней ряда прибавляются значения скорректированной
43. Скачать презентацию

Слайд 2

1. Понятие временного ряда и его составляющих.
Основная идея анализа ранее

рассмо-тренных моделей заключается в том, что изменение результирующей переменной объясняется за счёт изменения одной или нескольких других переменных.

Слайд 3

В реальности результирующая перемен-ная складывается под влиянием большого числа факторов,

многие из которых не под-даются непосредственному наблюдению и измерению.
Поэтому наилучшим источником инфор-мации служат значения самой исследуемой переменной в прошлые моменты времени.

Слайд 4

В этом случае мы имеем дело с другим видом статистических

данных – временными рядами в отличие от пространственной вы-борки, как это было ранее.
Под временным рядом в экономике под-разумевается совокупность наблюдений некоторого показателя , характеризующего один и тот же объект за несколько последо-вательных моментов или периодов времени.

Слайд 5

Отдельные наблюдения этого показателя называются уровнями ряда и обозначаются символами

, где число уровней ряда (число наблюдений).
Каждый уровень временного ряда формируется под воздействием большого числа факторов, которые условно можно разделить на три группы:

Слайд 6

факторы, формирующие основную тенденцию ряда (трендовая компонента);
факторы, определяющие циклические

колебания ряда (циклическая компонента);
случайные факторы (случайная компонента).

Слайд 7

В большинстве случаев фактический уровень временного ряда можно представить как

сумму или как произведение трендовой, циклической и случайных компонент.

Соответственно говорят об аддитивной или мультипликативной модели времен-ного ряда.
Математическая запись этих моделей имеет вид:

Слайд 8

аддитивная модель ;
мультипликативная модель
В этих уравнениях:
тренд, описывающий

влияние долговременных факторов, т.е. длительную, "вековую" тенденцию изменения признака , которая может быть либо возрастающей (рис. 1), либо убывающей (рис. 2);

Слайд 9

Рис. 1
Рис. 2

Слайд 10

циклическая компонента, отража-ющая повторяемость экономических процес-сов. Циклические колебания могут носить

сезонный характер, и связаны они с внутри-годовыми колебаниями временного ряда. При наличии данных за более длительные промежутки времени могут выявляться конъюнктурные циклические колебания, формирующиеся под влиянием долговре-менных циклов экономической, демографи-ческой и прочей природы (рис. 3);

Слайд 11

Рис. 3
Рис. 4

Слайд 12

случайная компонента, отражающая влияние не поддающихся регистрации случа-йных факторов (рис.

4).

2. Стационарные временные ряды.

Для того чтобы задача анализа временных рядов была практически реализуемой, необ-ходимо определенным образом ограничить класс рассматриваемых моделей с точки зре-ния структуры ряда и его вероятностных характеристик.

Слайд 13

Поиск адекватной модели ряда обычно начинают в рамках класса стационарных

временных рядов.
Ряд называется строго стационар-ным, если совместное распределение вероят-ностей наблюдений
такое же, как и для наблюдений
для любых .

Слайд 14

Ряд называется слабо стационарным (стационарным в широком смысле), если для

него выполняются следующие соотношения:
1. .
2. .
3. .

Слайд 15

Другими словами ряд слабо стационарен, если математическое ожидание, дисперсия и

автоковариация ряда не зависят от времени .
Автоковариация характе-ризует ковариационную зависимость между различными уровнями одного временного ряда , т.к. при наличии тренда и цикличе-ской компоненты значения последующих уровней ряда зависят от предыдущих значений.

Слайд 16

Автоковариация имеет те же недостатки, что и ковариация: с трудом

поддаётся непо-средственной интерпретации и зависит от единиц измерения .
Отсюда более удобным для практики является коэффициент автокорреляции:

Слайд 17

Число периодов , по которым рассчи-тывается коэффициент автокорреляции, на-зывается лагом.

Если , то имеем коэффициент автокорреляции 1-го порядка, при - коэффициент автокорреляции 2-го порядка и т.д.
С увеличением число пар значений, по которым рассчитывается , уменьшается и для обеспечения статистической достовер-ности лаг не должен превышать четверть объёма выборки ( ).

Слайд 18

Отметим две особенности .
Во-первых, он изменяется в пределах
Для

некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию, коэффи-циент .

и характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущих уровней ряда.

Слайд 19

Во-вторых, по знаку нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей

тенденции уровней ряда.
Бывает так, что , но ряд при этом имеет убывающую тенденцию.
Зависимость от величины назы-вают автокорреляционной функцией ряда, а её график – коррелограммой (рис. 5-8).

Слайд 20

Рис. 5
Рис. 6

Слайд 21

Рис. 7
Рис. 8

Слайд 22

Анализ автокорреляционной функции и её графика помогает выявить структуру ряда.
Если

чередуются затухающие положи-тельные и отрицательные значения
то это характерно для стационарного ряда.

Если наиболее большим по модулю оказалось значение , то исследуемый ряд содержит только тенденцию (рис. 5).

Слайд 23

Если наиболее высоким оказался коэффици-ент автокорреляции го порядка, то ряд содержит

циклические колебания с пери-одичностью в моментов времени (рис. 7 , , рис. 8, ).
Если ни одно из значений не является доминирующим (рис. 6), то либо ряд не содержит тренда и циклической составля-ющей и имеет только случайную компонен-ту, либо ряд имеет сильную нелинейную тенденцию.

Слайд 24

Статистическими оценками числовых характеристик слабо стационарного времен-ного ряда являются:
выборочное

среднее ;
выборочная дисперсия

Слайд 25

выборочный коэффициент автокор-реляции ( 1,2,3,…)
Функцию переменной называют выборочной автокорреляционной функцией.

Слайд 26

Наряду с рассматривают частные коэффициенты автокорреляции , которые характеризуют тесноту

линейной связи уровней ряда и при устранении влияния уровней , находя-щихся между ними. Например, частный коэффициент второго порядка оценивает тесноту связи и при элиминировании уровня .
Далее находится выборочная частная автокорреляционная функция:

Слайд 27

3. Выравнивание временных рядов.
Если при анализе структуры временного ряда обнаружена

только тенденция и отсут-ствуют циклические колебания, то можно приступить к моделированию тенденции ряда. Если же во временном ряде имеют место и циклические колебания, то, прежде всего, требуется исключить циклическую составляющую и лишь затем приступить к моделированию тенденции.

Слайд 28

Для выявления основной тенденции в уровнях ряда, т.е. выравнивания ряда,

ис-пользуются различные методы:
механическое (алгоритмическое) выравнивание;
аналитическое выравнивание.

Из методов первого типа рассмотрим метод скользящих средних. Он основан на переходе от исходных значений ряда к их средним значениям на некотором интервале времени, длина которого фиксирована и определена заранее.

Слайд 29

Если интервал содержит нечётное число
уровней ряда, то среднее значе-ние

ряда находится по формуле
Чаще всего . В итоге получается сглаженный ряд средних значений , но число уровней у него будет меньше, чем в исходном ряде. Например, при 3 в полу-ченном новом ряде теряется два уровня: и . В общем случае число уровней сгла-женного ряда уменьшается на значений.

Слайд 30

Если выбранный интервал содержит чётное число уровней ряда, то вначале нахо-дятся

скользящие средние
для промежуточных уровней ряда, а затем выполняется центрирование полученных скользящих средних
с целью приведения их к фактическим вре-менным периодам исходного ряда.

Слайд 31

Существуют и другие методы механического выравнивания ряда: метод взвешенных скользящих средних,

метод экспоненциаль-ного сглаживания (метод Брауна), метод по-следовательных разностей.
Однако в эконометрике основное внима-ние уделяется аналитическому выравнива-нию ряда. Данный метод заключается в пос-троении аналитической функции, характе-ризующей зависимость уровней ряда от времени, т.е. в построении парной регрессии

Слайд 32

Для этого можно использовать различ-ные виды функций:
линейный тренд ;
гиперболический

тренд ;
степенной тренд
и т.д.

Слайд 33

Параметры каждого из перечисленных трендов можно определять обычным МНК, используя

в качестве независимой перемен-ной время , а в качестве зависимой – уро-вни ряда .
Особенность заключается в том, что независимая переменная принимает цело-численные значения ( 1,2,3,…), что даже облегчает вычисления.
Для нелинейных трендов предварите-льно проводят стандартную процедуру их линеаризации.

Слайд 34

4. Моделирование ряда при наличии циклических колебаний.
Существует несколько подходов при

моделировании рядов с циклическими коле-баниями. Для определенности пусть они представляют сезонные изменения.
Наиболее простым методом является расчёт значений сезонной компоненты и построение аддитивной или мультиплика-тивной модели ряда.

Слайд 35

Если амплитуда сезонных колебаний со временем не меняется, то применяют

адди-тивную модель . В противном случае используют мультипликативную модель . Построение обеих моделей сводится к расчёту значений для каждого уровня.
Сезонные компоненты при этом должны удовлетворять следующим требованиям:

Слайд 36

в случае аддитивной модели сумма всех сезонных компонент за год

должна быть равна нулю;
для мультипликативной модели произведение всех сезонных компонент должна равняться единице.
Процесс построение аддитивной модели включает в себя следующие шаги.

1. Выравнивание временного ряда мето-дом скользящей средней.
В итоге получается выровненный ряд , который не содержит сезонной компоненты.

Слайд 37

2. Расчет значений сезонной компоненты.
Оценки сезонной компоненты находятся как разность

между фактическими уровнями ряда и скользящими средними
Далее вычисляются средние значения за каждый сезон оценки сезонной компоненты по всем годам, по которым имеются данные:

Слайд 38

В аддитивной модели сумма значений сезонной компоненты по всем сезонам

должна быть равна нулю. Если это не выпо-лняется, т.е.
где число сезонов в году, то вычисляется корректирующий коэффициент:

Слайд 39

Затем рассчитываются скорректированные значения сезонной компоненты как разность между ее средней

оценкой и корректирующим коэффициентом :
При этом должно выполняться равенство:
3. Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда.

Слайд 40

Из каждого уровня исходного ряда вычитается скорректированное значение сезонной компоненты

, в результате получается ряд, содержащий только тенденцию и случайную компоненту:
4. Аналитическое выравнивание уровней
Поскольку эти данные не содержат цик-лической компоненты можно выполнить мо-делирование тенденции ряда. Форму тренда выявляют либо визуально по полю корреля-ции, либо другими известными методами.

Слайд 41

5. Расчет суммы значений трендовой и сезонной компонент
К значениям выровненных

уровней ряда прибавляются значения скорректированной сезонной компоненты для соответству-ющих сезонов.
6. Расчет ошибок.
Расчет абсолютной ошибки производится по формуле: