Вычисление площадей плоских фигур. Вычисление объема тела вращения. Несобственный интеграл. Лекция 13

расположенной выше оси ОХ равна соответствующему определенному интегралу :

(1)

Если криволинейная трапеция расположена ниже оси ОХ, то ее площадь может быть найдена по формуле:

(2)

Формулы (1) и (2) можно объединить в одну для случая, когда функция f(x) сохраняет знак на [a; b]

прямыми x = a, x = b при условии
находится по формуле:

Если плоская фигура имеет «сложную» форму, то прямыми, параллельными оси OY, ее следует разбить на части так, чтобы можно было применить известные формулы.

S1

S2

S3

S4

Если криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной параметрически, прямыми x = a, x = b и осью OX:

форме:

то длина дуги кривой находится по формуле:

Если кривая AB задана в полярных координатах:

то длина дуги кривой находится по формуле:

точки

2

А

В

Найдем как изменяется параметр t при переходе от точки А к точке В:

непрерывной линией y = f(x) > 0, отрезком [a; b] и прямыми x = a, x = b. .

а

b

Полученная при вращении фигура называется телом вращения.

Объем полученного тела вычисляется по формуле:

Если криволинейная трапеция, ограниченная графиком функции x = q(y) > 0, прямыми y = c, y = d и осью OY, то объем тела, образованного вращением этой фигуры вокруг оси OY равен:

непрерывной функции, но с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл 1 рода)

где промежуток интегрирования

[a; b] конечный, а подынтегральная функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], называют еще собственным интегралом.

Определенный интеграл с конечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей на нем бесконечный разрыв (несобственный интеграл 2 рода)

называют несобственным интегралом первого рода и обозначают:

Если существует конечный предел

В этом случае говорят, что несобственный интеграл сходится.

Если указанный предел не существует или он бесконечен, то говорят, что несобственный интеграл расходится.

Аналогично определяется несобственный интеграл на промежутке

слева сходится лишь тогда, когда сходятся оба интеграла справа.

Если непрерывная функция на промежутке и
несобственный интеграл

сходится, то он выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции:

такой предел не существует

называют несобственным интегралом второго рода и обозначают:

Если существует конечный предел

Аналогично, если функция терпит бесконечный разрыв в точке x = a, то:

и имеет бесконечный разрыв при x = b

В этом случае говорят, что несобственный интеграл сходится.

Если указанный предел не существует или он бесконечен, то говорят, что несобственный интеграл расходится.

b] , то несобственный интеграл второго рода определяется формулой:

В этом случае интеграл слева сходится лишь тогда, когда сходятся оба интеграла справа.

В случае, когда f(x) > 0, и имеет бесконечный разрыв в точке b, то сходящийся несобственный интеграл 2 рода равен площади бесконечно высокой криволинейной трапеции: