Вычислительная механика. Аппроксимация дифференциальных операторов

электрических цепей,
движение систем взаимодействующих
материальных точек
- и другие задачи физики, химии, техники

задачи математической физики,
гидродинамики,
акустики
и других областей знаний.

Решение дифференциальных уравнений

аналитические

численные

- точные – методы позволяют выразить решение дифференциальных уравнений через элементарные функции (в аналитическом виде);
- приближенные – методы, в которых решение получается как предел некоторой последовательности, члены которой выражаются через элементарные функции.

-численные методы не позволяют найти точное решение дифференциальных уравнений в аналитической форме. С их помощью получается таблица приближенных (иногда точных) значений искомого решения в некоторых точках рассматриваемой области решения, именуемых сеткой. В силу этого численные методы называют иначе разностными методами или методами сеток.

I×N точек (см. рис), что определит шаги по времени и пространству.
Сеткой определяются узлы, в которых будет осуществляться поиск решения.
Далее необходимо заменить дифференциальные уравнения в частных производных (уравнение диффузии, уравнение теплопроводности и др.) аппроксимирующими их уравнениями в конечных разностях, выписав соответствующие разностные уравнения для каждого (i,n)-гo узла сетки.

Понятие разностной схемы

Совокупность разностных уравнений, построенных на сетке и аппроксимирующих основное дифференциальное уравнение на V и краевые условия на Г, называется разностной схемой.

Таким образом, вместо поиска непрерывных зависимостей u(x) реализация разностной схемы позволяет отыскать значения функции в узлах сетки. Ее поведение в промежутках между узлами может быть получено при помощи построения какой-либо интерполяции.

конечные разности на сетке

данных соответствует малое изменение решения.
Если р.с. устойчива и аппроксимирует исходную краевую задачу с порядком n, то она сходиться, причем скорость сходимости равна порядку аппроксимации.