ЗАДАЧИ НА ДЕЛИМОСТЬ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ (по материалам ЕГЭ) Кретова Д.Н. МОУ «Лицей №47» г.Саратов

Сентябрь 1, 2022

Главная
Математика
ЗАДАЧИ НА ДЕЛИМОСТЬ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ (по материалам ЕГЭ) Кретова Д.Н. МОУ «Лицей №47» г.Саратов

Содержание

2. Задача 1. Найдите все натуральные числа, которые делятся на 42 и имеют ровно 42 различных натуральных
3. Для решения используем формулу нахождения числа (количества) делителей какого-либо числа : где y - количество делителей
4. 1) Разложим число 42 на простые множители: 42 = 2 · 3 · 7 2) Пусть
5. 4) Заменим 42 на его разложение на простые множители: 5) Т.к. 42 раскладывается на 3 простых
6. 6) Найдем показатели степеней в разложении числа A:
7. 7) Решив системы, получим, что
8. ЗАДАЧА 2. НАЙДУТСЯ ЛИ ХОТЯ БЫ ТРИ ДЕСЯТИЗНАЧНЫХ ЧИСЛА, ДЕЛЯЩИЕСЯ НА 11, В ЗАПИСИ КАЖДОГО ИЗ
9. РЕШЕНИЕ Число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность между суммами его цифр, стоящих
10. 1) Запишем все цифры подряд: 9876543210. В написанном числе указанная разность сумм равна 5. 9+7+3+1=25 ,
11. ЗАДАЧА 3. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА УДОВЛЕТВОРЯЮТ УСЛОВИЮ AB=CD. МОЖЕТ ЛИ ЧИСЛО A+B+C+D БЫТЬ ПРОСТЫМ?
12. Решение. Выразим переменную а через остальные переменные из равенства : . Подставим этот результат в выражение
13. Заметим, что последняя дробь является целым числом (т.к. исходно мы преобразовали целое число a+b+c+d). Следовательно, числитель
14. В этом случае можно утверждать, что ( , аналогично – c n). Следовательно, число a+b+c+d=mn, где
15. ЗАДАЧА 4. НАЙДИТЕ ВСЕ ПАРЫ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ, НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ КОТОРЫХ РАВНО 78, А НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ
16. Решение. 1. Пусть a и b натуральные числа, тогда по свойству НОК(a,b)∙НОД(а,b)=а∙b имеем 13∙78=a∙b. 2. Разложим
17. ЗАДАЧА 5. НАЙДИТЕ ВСЕ НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА, ПОСЛЕДНЯЯ ДЕСЯТИЧНАЯ ЦИФРА КОТОРЫХ 0 И КОТОРЫЕ ИМЕЮТ РОВНО 15
18. Решение 1. Пусть p натуральное число, удовлетворяющие условию задачи. Если натуральное число p имеет 15 различных
19. 2. По условию задачи должны быть по меньшей мере 2 простых делителя – 2 и 5.
20. ЗАДАЧА 6. НАЙДИТЕ ВСЕ ПАРЫ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ, РАЗНОСТЬ КВАДРАТОВ КОТОРЫХ РАВНА 55.
22. Скачать презентацию

Слайд 2

Задача 1. Найдите все натуральные числа, которые делятся на 42 и

имеют ровно 42 различных натуральных делителя (включая единицу и само число).

Слайд 3

Для решения используем формулу нахождения числа (количества) делителей какого-либо числа

:
где y - количество делителей
- показатель степени в разложении на простые
множители-

Слайд 4

1) Разложим число 42 на простые множители:
42 = 2 · 3

· 7
2) Пусть А - некоторое число. Раз 42 – делитель числа А, то число А делится на 2, 3 и 7, значит разложение числа А на множители можно записать в виде:
где Q - некоторое число
3) Применим формулу нахождения количества делителей какого-либо числа:
где у = 42
Получим:

Слайд 5

4) Заменим 42 на его разложение на простые множители:
5) Т.к. 42

раскладывается на 3 простых множителя, значит k = 3
5) Т.к. левая и правая части состоят из произведения одинакового числа простых множителей, тогда сами множители равны с точностью до порядка.

Слайд 6

6) Найдем показатели степеней в разложении
числа A:

Слайд 7

7) Решив системы, получим, что

Слайд 8

ЗАДАЧА 2.
НАЙДУТСЯ ЛИ ХОТЯ БЫ ТРИ ДЕСЯТИЗНАЧНЫХ ЧИСЛА, ДЕЛЯЩИЕСЯ НА

11, В ЗАПИСИ КАЖДОГО ИЗ КОТОРЫХ ИСПОЛЬЗОВАНЫ ВСЕ ЦИФРЫ ОТ 0 ДО 9?

Слайд 9

РЕШЕНИЕ
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда

разность между суммами его цифр, стоящих на нечётных и на чётных местах, делится на 11.

Слайд 10

1) Запишем все цифры подряд: 9876543210. В написанном числе указанная разность

сумм равна 5.
9+7+3+1=25 , 8+6+4+2+0=20 , 25-20=5
2) Меняя местами, например, 5 и 8, мы одну сумму увеличиваем на 3, а другую уменьшаем на 3. Значит, разность между суммами его цифр, стоящих на нечётных и на чётных местах, становится равной 11. Меняя местами, например, 4 и 1, или 3 и 6, получаем требуемые примеры.
Ответ: Да.

Слайд 11

ЗАДАЧА 3.
НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА УДОВЛЕТВОРЯЮТ УСЛОВИЮ AB=CD. МОЖЕТ ЛИ ЧИСЛО A+B+C+D

БЫТЬ ПРОСТЫМ?

Слайд 12

Решение.
Выразим переменную а через остальные
переменные из равенства :

.
Подставим этот результат в выражение

Слайд 13

Заметим, что последняя дробь является целым числом (т.к. исходно мы преобразовали

целое число a+b+c+d). Следовательно, числитель должен нацело делиться на знаменатель, или, иначе говоря, данную дробь можно сократить так, чтобы в знаменателе осталась единица. При сокращении этой дроби, часть делителей числа b (имеются в виду делители, присутствующие в каноническом представлении числа b) сократится с первой скобкой, оставшаяся часть – со второй. Предположим, что после сокращения от первой скобки осталось натуральное число m от второй натуральное число n.

Слайд 14

В этом случае можно утверждать, что
( , аналогично – c

n).
Следовательно, число a+b+c+d=mn, где m,n>1.
Значит, это число не простое.
Ответ: это число не может быть простым.

Слайд 15

ЗАДАЧА 4.
НАЙДИТЕ ВСЕ ПАРЫ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ, НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ КОТОРЫХ

РАВНО 78, А НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ РАВЕН 13.

Слайд 16

Решение.
1. Пусть a и b натуральные числа, тогда по свойству НОК(a,b)∙НОД(а,b)=а∙b

имеем 13∙78=a∙b.
2. Разложим левую часть равенства на простые множители 13∙13∙2∙3=а∙b
3. Подбором находим искомые пары чисел a=13∙3=39 b=13∙2=26 или a=13∙3∙2=78 b=13
Ответ: 39 и 26, 78 и 13.

Слайд 17