Замена переменных в интеграле по фигуре от скалярной функции

Замена переменных в двойном интеграле

Пусть в плоскости Оху задана область

V. Khudenko

Разобьем область прямыми ,
на прямоугольные площадки.
Тогда область (D)

Заменим приращения функций дифференциалами

V. Khudenko

Полученные выражения дают основание считать четырехугольник параллелограммом со сторонами

V. Khudenko

Введем обозначение
Определитель I называется функциональным определителем функций и или якобианом

Замечание

Переход к полярным координатам в двойном интеграле является частным случаем

Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах

Якобиан для случая трех переменных
Формула

В случае перехода к цилиндрическим координатам
связь между декартовыми и цилиндрическими

а формула замены переменных при переходе к цилиндрическим координатам примет

Таким образом интеграл, после расстановки пределов интегрирования запишется в виде

V. Khudenko

Пример

Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле
и вычислить его значение

Следовательно, область (V) задана неравенствами:
Тогда
С учетом того, что имеем

V.

Вычисление тройного интеграла в сферических координатах

Положим u=ρ, v=φ, w=θ. Зависимость

формула замены переменных применительно к сферическим координатам примет вид

V. Khudenko

Получаем формулу

V. Khudenko

Пример

Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле, если область (V) представляет

Уравнение сфер: ,тогда

V. Khudenko