Фильтр Калмана

Калмана.

Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 17.

Калмана предполагают, что полезный сигнал s(t) генерируется из белого шума с помощью так называемого формирующего фильтра в соответствии с алгоритмом

(1)

Где u(t) - белый шум, спектральная плотность которого равна Q(t) (шум формирования);
F(t)и G(t) - заданные коэффициенты.

Уравнение (1) называют уравнением формирующего фильтра.
Например, дифференциальное уравнение, описывающее формирующий фильтр, имеет вид

(2)

Введем обозначения

систему

Перепишем эту систему в векторной форме

Обозначим

,

,

выражение (1) в векторной форме

(3)

В процессе распространения сигнала от передатчика к приемнику он подвергается воздействию шума, поэтому принимаемый сигнал описывается соотношением

(4)

Где n(t) - белый шум, спектральная плотность которого равна R(t) (шум измерения);
C(t)- заданный коэффициент.

Также величины n(t) и R(t) могут быть вектором и матрицей соответственно. Уравнение (4) называют уравнением наблюдения.

можно из уравнения Винера-Хопфа в векторной форме. Опуская громоздкие выкладки, запишем это уравнение.

(5)

Здесь s*(t) - оптимальная оценка полезного сигнала, K(t) - коэффициент передачи (усиления) фильтра.

Коэффициента усиления K(t) фильтра

(6)

В этих уравнениях ε - матрица ошибок:

фильтра поступает напряжение u(t) в виде белого шума, спектральная плотность мощности которого постоянна и равна Q. С учетом этого, считая выходным сигналом напряжение на конденсаторе, имеем

(7)

где T=CR - постоянная времени цепи.
Сравнивая выражения (7) и (1), делаем вывод, что

Полагая в выражении (4) C=1, запишем уравнение наблюдения

(8)

где n(t) - белый шум, спектральная плотность мощности которого также постоянна и равна R.