Математический аппарат анализа и синтеза цифровых САУ

– так называемое относительное время: .
Тогда непрерывной функции с аргументом будет соответствовать решетчатая x[k] с аргументом kT/T=k. Так, для непрерывной функции x(t)=at соответствующей будет решетчатая функция x[k]=ak

Решетчатая функция с аргументом k

Понятие о решетчатой функции и её разности

По отношению к решетчатым функциям существует понятие конечной разности, которая является аналогом производной для непрерывной функции. Так, первая конечная разность решетчатой функции характеризует скорость её изменения:

или

при применении относительного времени

По аналогии, вторая разность, или разность второго порядка, равняется

или

(3)

(4)

(5)

(2)

функции

1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1

Обобщая, разность порядка k определяется выражением:

где

- число сочетаний из n элементов по i.

Для определения коэффициентов C удобно использовать так называемый «треугольник Паскаля», который составляется по итерационной формуле

и имеет вид:

Например, воспользовавшись 4-м рядом «треугольника», можно сразу записать формулу для конечной разности 4-го порядка:

(6)

(7)

(8)

исследования дискретных САР используются так называемые разностные уравнения, которые определяют взаимосвязь между решетчатой функцией и её разностями:

Оператор ∆ для дискретной функции является своеобразным аналогом оператора дифференцирования D=d/dt для непрерывной функции:

Это выражение можно использовать для нахождения аналога линейного ДУ в виде разностного.

Если в уравнение (9) подставить выражение для конечных разностей (6), то получим неоднородное линейное разностное уравнение, которое определяет зависимость между значениями решетчатой функции в разные дискретные моменты времени

Учитывая, что дискретный оператор z связан с непрерывным оператором Лапласа p выражением:

то для перехода от разностного уравнения в области времени в виде (11) к соответствующему уравнению в области оператора z изображения сигналов, которые опережают сигнал в текущий момент времени x[k] на i тактов, умножаются на zi, а изображения сигналов, которые запаздывают относительно этого сигнала на i тактов – умножаются на z-і, то есть

(9)

(10)

(11)

(13)

(14)

передаточная функция (ДПФ) импульсной системы в полиномиальной форме как отношение изображений выходного сигнала к входному при нулевых начальных условиях

условием физической реализации передаточной функции ДПФ является m≤n, т.е., степень полинома числителя не должна превышать степень полинома знаменателя. Если это условие не выполняется, это означает, что выходной сигнал опережает входной, что невозможно с диалектической точки зрения.

Разностные уравнения. Связь между разностными уравнениями и дискретными передаточными функциями

Полином Gn(z) в знаменателе ДПФ называется характеристическим полиномом (Denominator), ур-ние

– характеристическим уравнением, а его корни

– дискретными полюсами (Poles), или собственными числами (Eigen Value) системы.

Полином Hm(z) в числителе ДПФ называют полиномом воздействия (Numerator). Корни уравнения

называются дискретными нулями (Zeros):

(15)

(16)

устойчивой, если корни её характеристического уравнения, изображенные на комплексной z-плоскости, лежат внутри окружности единичного радиуса, или по модулю меньше единицы.

Карта полюсов устойчивой
дискретной САР

Разностные уравнения. Связь между разностными уравнениями и дискретными передаточными функциями

Свободное движение системы будет устойчивым при условии

поскольку только при таких условиях его решение будет сходится

Пример

Получить разностное уравнение и дискретную передаточную функцию из дифференциального уравнения непрерывного объекта:

сравнить переходные функции непрерывного и соответствующего дискретного объектов при разных периодах дискретизации, проанализировать устойчивость дискретной системы.

Решение.

После подстановки в последнее равенство выражений для конечных разностей (3)-(5), получаем:

или, после упрощения:

(18)

характеристическое уравнение полученной дискретной системы

и находим дискретные полюсы:

Определяем границу устойчивости дискретной системы, для чего записываем выражение для квадрата амплитуд комплексно-сопряженных полюсов и находим ограничения на величину период дискретности из условия устойчивости:

Годографы полюсов полученного дискретного динамического объекта при вариации периода дискретности

Разностные уравнения. Связь между разностными уравнениями и дискретными передаточными функциями

5-3*T+2*T^2],T)
step(sd)
end

Чтобы сравнить переходные характеристики выходной непрерывной системы и её дискретной аппроксимации воспользуемся Simulink-моделью

Без использования Simulink:

Разностные уравнения. Связь между разностными уравнениями и дискретными передаточными функциями

преобразовании Лапласа отображается в функцию комплексной переменной x(p):

(19)

– комплексная переменная

где

Для решетчатых функций таким же способом вводится понятие дискретного преобразования Лапласа:

где D – символ дискретного преобразования,
x*(p) – функция, которая получена в результате дискретного преобразования решетчатой функции x(kT).

Если ввести к рассмотрению относительное время, имеем:

(20)

или, при использовании новой безразмерной переменной q=pT:

(21)

(22)

Пример Найти дискретное преобразование Лапласа для единичной решетчатой функции x[k]=1[k].

Решение. В соответствии с выражением (20) находим:

Используя известную формулу для суммы элементов геометрической прогрессии, окончательно имеем

преобразование Лапласа определяет связь между функцией и её изображением только в моменты t=nT, то разным выходным функциям x(t), которые совпадают в эти моменты времени, будет соответствовать одна и та же функция x*(p). Итак, невозможно однозначно восстановить функцию x(t) из x*(p) для произвольного момента времени t.

2) легко доказать, что функция x*(p) является периодической вдоль мнимой оси jω комплексной плоскости, а её период составляет ωs=2π/T. Если принять, что i – произвольное целое число, то математически это свойство дискретного преобразования Лапласа можно записать так:

3) функция x*(p) является иррациональной относительно p, поскольку содержит множители типа e-pT. Это существенно отличает её от большинства непрерывных функций.

используется и так называемое Z- преобразование, которое следует из дискретного преобразования Лапласа при

Итак, по аналогии с дискретным преобразованием, можем записать:

Так, для задачи из примера Z- преобразование заданной единичной решетчатой функции будет

Обозначим некоторые свойства Z- преобразования:

1) условием существования функции x(z) есть определенность функции x(t) для всех моментов времени t=kT;
2) функция x(z) является рациональной относительно комплексной переменной z;
3) для какой-нибудь функции времени x(t), которая имеет дискретное преобразование Лапласа, существует и Z- преобразование;
4) одной функции x(z) соответствует множество функций времени x(t), которые совпадают только в моменты времени t=kT;
5) преобразование z=epT отображает всю левую полуплоскость комплексной плоскости p в круг единичного радиуса на комплексной плоскости z с центром в начале координат;

6) свойство суперпозиции:

7) свойство линейности:

(23)

(24)

его свойства

9) свертке оригиналов соответствует произведение изображений:

10) теорема о граничном значении:

11) дифференцирование изображения:

12) Z- преобразование функции не зависит от величины T. Действительно, поскольку время не входит в выражение (24), то выражение для x(z) не зависит от величины T.

x(t), а из его преобразования Лапласа, т.е. x(p). Рассмотрим пример такого вычисления Z- преобразования функции.

Z- преобразование и его свойства

Пример 3. Найти Z- преобразование функции

Решение. Как известно, преобразованием Лапласа заданной функции есть функция комплексной переменной

Одновременно, согласно (20),

Находим сумму этой геометрической прогрессии:

Поскольку

, окончательно получим:

Таким же способом можно получить дискретное преобразование Лапласа и Z- преобразование для других функций.

цифровых систем иногда также необходимо по заданной функции x(z) найти соответствующую последовательность x(nT). В таких случаях оперируют так называемым обратным Z- преобразованием, которое обозначают таким образом:

x );
X = combine ( X )

X =
(3*z^2–4*z)/(z^2–3*z+2)

упрощение

z-преобразование

= 1;
X = tf( n, d, T);
x = impulse(X, 4)

x = 3
5
9
17
33

конечное время