Числа и векторы

Сентябрь 2, 2022

Главная
Алгебра
Числа и векторы

Содержание

2. Содержание лекции 1. ПО и программирование. Парадигмы программирования. Роль способа представления данных. 2. Методы компьютерного представления
3. Программное обеспечение Программное обеспечение принято по назначению подразделять на системноеПрограммное обеспечение принято по назначению подразделять на
4. Программное обеспечение Прикладное ПО
5. Программное обеспечение Прикладное ПО
6. Программное обеспечение Прикладное ПО
7. Программное обеспечение Прикладное ПО
8. Парадигмы программирования Агентно-ориентированная Компонентно-ориентированная Конкатенативная ДекларативнаяДекларативная (контрастирует с Императивной) Ограничениями Функциональная Потоком данных Таблично-ориентированная (электронные таблицы)
9. Парадигмы программирования Предметно-ориентированная Метапрограммирование Автоматизация процесса программирования Обобщённое программирование Рефлексивно-ориентированная Итерационная Параллельная Структурная Модульная Рекурсивная Объектно-ориентированная
10. Парадигмы программирования Декларативное программирование 1. Программа «декларативна», если она описывает каково́ нечто, а не как его
11. Парадигмы программирования Императивное программирование — это парадигма программирования — это парадигма программирования, которая, в отличие от
12. Парадигмы программирования Функциональное программирование — парадигма программирования — парадигма программирования, в которой процесс вычисления — парадигма
13. Парадигмы программирования Событийно-ориентированное программирование (англ. event-driven programming; СОП) — парадигма программирования; СОП) — парадигма программирования, в
14. Парадигмы программирования Процедурное (императивное) программирование является отражением архитектуры является отражением архитектуры традиционных ЭВМ является отражением архитектуры
15. Парадигмы программирования Объектно-ориентированное, или объектное, программирование (ООП) — парадигма программирования, программирование (ООП) — парадигма программирования, в
16. Парадигмы программирования
17. Парадигмы программирования Программы = Алгоритмы + структуры данных (Н. Вирт) Паскаль и Вирт
18. Парадигмы программирования Программы = Алгоритмы + структуры данных Что нужно помнить: Разные способы представления одних и
19. Парадигмы программирования Программы = Алгоритмы + структуры данных Пример-задача. Как оптимальным образом представить целое число, чтобы
20. Обработка информации как "прикладная математика"
21. Числа - базовый тип данных в прикладной математике Подробнее см. Определение: "Число" это такой математический объект,
22. Задачи и числа. Решение уравнений Октонионы Для решения арифметических уравнений вида x = a +b y
23. Задачи и числа. Решение уравнений Октонионы Для решения арифметических уравнений вида b = a + x
24. Задачи и числа. Решение уравнений Октонионы Для решения арифметических уравнений вида b = ax ⇒ x
25. Задачи и числа. Решение уравнений Октонионы Для решения алгебраических уравнений вида b = axn ⇒ x
26. Задачи и числа. Решение уравнений Октонионы Для решения любых алгебраических уравнений: c0 + c1x + c2x2
27. Дальнейшее расширение понятия "числа" Октонионы Подробнее см.
28. Комплексные числа и операции с точками на плоскости Действия над комплексными числами Сравнение a + bi
29. Комплексные числа и операции с точками на плоскости Геометрическая модель Геометрическое представление комплексного числа Модуль, аргумент,
30. Комплексные числа и операции с точками на плоскости Геометрическая модель Модуль комплексного числа z обозначается |
31. Кватернионы и операции с точками пространства Кватернион представляет собой паруКватернион представляет собой пару где — вектор
32. Кватернионы и операции с точками пространства Кватернионы можно определить как формальную сумму где — вещественные числа,
33. Октонионы и операции с точками пространства Октонион (октава, число Кэли) — это линейная комбинация элементов .
34. Других чисел нет!
35. произведение сумм четырёх квадратов является суммой четырёх квадратов. Других чисел нет! Тождество Эйлера о четырёх квадратах
36. Других чисел нет! Тождество восьми квадратов — математическая теорема о том, что
37. А другие пространства есть… Векторы и "Векторы" Вектор Векторное пространство Два вектора u, v и вектор
38. А другие пространства есть… Матрицы Матрица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы чисел, которая
39. Задачи и матрицы. Системы линейных уравнений Систему из m уравнений с n неизвестными можно представить в
40. В частном случае, когда рассматриваются линейные преобразования плоскости: x' = a11x + a12y y' = a21x
41. Представление чисел в компьютерных системах Подробнее см. Целочисленные Целочисленные: со знаком, то есть могут принимать как
42. Представление чисел и других данных в компьютерных системах Подробнее см. Контрольный вопрос по предыдущей лекции. Действительно
43. Натуральные двоичные числа Преобразование десятичных чисел в двоичные 19 /2 = 9 с остатком 1 9
44. Информативность натуральных двоичных чисел Вопрос: Число больше порога? Да – 1, Нет – 0. 0 255
45. Представление целых чисел в ЭВМ Дополнительный код (англ. two’s complement, иногда twos-complement) — наиболее распространённый способ
46. Представление дробных чисел в ЭВМ Число с фиксированной запятой — формат представления рационального или вещественного числа
47. Представление действительных чисел Плавающая запятая — форма представления действительных чисел, в которой число хранится в форме
48. Типы данных Подробнее см. Простые. Перечислимый тип. Может хранить только те значения, которые прямо указаны в
49. Типы данных Подробнее см. Составные (сложные). МассивМассив. Является индексированным набором элементов одного типа. Одномерный массивМассив. Является
50. Типы данных Подробнее см. Структурные типы данных Регулярные массивы Структуры (записи, кортежи) Динамические списки и массивы
51. Типы данных. Массив Индексный массив — именованный набор однотипных переменных, расположенных в памяти непосредственно друг за
52. Типы данных. Структура Структура — конструкция большинства языков программирования, позволяющая содержать в себе фиксированный набор переменных
53. Типы данных. Список Связный список — структура данных, состоящая из узлов — структура данных, состоящая из
54. Типы данных. Динамические списки типа "стек" и "очередь" Очередь — структура данных — структура данных с
55. Типы данных. Динамические списки типа "стек" и "очередь" Стек (англ. stack — стопка) — структура данных,
56. Типы данных. Графы (модели) Граф — это совокупность непустого множества вершин и множества пар вершин (связей
57. Типы данных. Графы (модели) Неориентированный граф G — это упорядоченная пара G: = (V,E), для которой
58. Типы данных. Графы (модели) Ориентированный граф (сокращённо орграф) G — это упорядоченная пара G: = (V,A),
59. Типы данных. Графы (модели) Граф называется: связным, если для любых вершин u,v есть путь из u
60. Типы данных. Графы: деревья Дерево — является связанным графом, не содержащим циклы. На дереве: Корневой узел
61. Типы данных. Графы: Деревья, Сети Подробнее см.
62. Типы данных. Таблицы. Базы данных Подробнее см. Кортежи. Таблицы. Реляционные базы данных. SQL. Копейкин М.В., Спиридонов
63. Типы данных. Кодирование данных Подробнее см. Структурные типы данных Регулярные массивы Динамические списки и массивы переменной
64. Типы данных. Цифровое изображение Лабораторная система обработки и анализа изображений Pisoft Image Framework Рассмотрим с ее
65. Компьютерное зрение как типовая область компьютерной обработки информации Специализированное зрение без "встроенных" алгоритмов. Требования к системам
66. Компьютерное зрение как обобщение школьной геометрии
67. Компьютерное зрение как школьная геометрия++ Отличия КЗ от классической геометрии: 1. Увеличение числа точек на порядки.
68. Метод общих геометрических мест Задача 1: Построение треугольника по 3 заданным отрезкам.
69. Метод общих геометрических мест Задача 1: Построение треугольника по 3 заданным отрезкам. гмт1
70. Метод общих геометрических мест Задача 1: Построение треугольника по 3 заданным отрезкам. гмт1 гмт2
71. Метод общих геометрических мест Задача 1: Построение треугольника по 3 заданным отрезкам. гмт1 гмт2 гмт1 ∩
72. Метод общих геометрических мест Задача 2: Построение окружности по 3 заданным точкам.
73. Метод общих геометрических мест Задача 2: Построение окружности по 3 заданным точкам. гмт1
74. Метод общих геометрических мест Задача 2: Построение окружности по 3 заданным точкам. гмт1 гмт2
75. Метод общих геометрических мест Задача 2: Построение окружности по 3 заданным точкам. гмт1 гмт2 гмт1 ∩
76. Метод общих геометрических мест Задача 2: Построение окружности по 3 заданным точкам. гмт1 гмт2 гмт1 ∩
77. Метод общих геометрических мест Задача 2: Построение окружности по 3 заданным точкам. гмт1 гмт2 гмт1 ∩
78. Метод общих геометрических мест Задача 3: Построение окружности по N заданным точкам
79. Метод общих геометрических мест Задача 3: Построение окружности по N заданным точкам
80. Метод общих геометрических мест Задача 3: Построение окружности по N заданным точкам гмт12 R
81. Метод общих геометрических мест Задача 3: Построение окружности по N заданным точкам гмт12 гмт23 ∩ гмт
82. Метод общих геометрических мест Задача 3: Построение окружности по N заданным точкам гмт12 гмт23 гмт lk
83. Метод общих геометрических мест Задача 3: Построение окружности по N заданным точкам гмт12 гмт23 гмт ij
84. Метод общих геометрических мест Задача 3: Построение окружности по N заданным точкам гмт12 гмт23 MAX ∩
85. Области применения и типовые примеры практических систем компьютерного и машинного зрения. Примеры приложений
86. Задачи и методы компьютерной обработки информации Содержание учебного курса
88. Скачать презентацию

Слайд 2

Содержание лекции
1. ПО и программирование. Парадигмы программирования. Роль способа представления

данных.
2. Методы компьютерного представления и передачи информации.
3. Цифровое изображение. Сжатие видеоинформации.
4. Компьютерное зрение. Области приложения и примеры систем.
5. Возможные темы курсовых работ.

Слайд 3

Программное обеспечение
Программное обеспечение принято по назначению подразделять на системноеПрограммное обеспечение

принято по назначению подразделять на системное, прикладноеПрограммное обеспечение принято по назначению подразделять на системное, прикладное и инструментальное.
Системное ПО

Инструментальное ПО

Слайд 4

Программное обеспечение
Прикладное ПО

Слайд 5

Программное обеспечение
Прикладное ПО

Слайд 6

Программное обеспечение
Прикладное ПО

Слайд 7

Программное обеспечение
Прикладное ПО

Слайд 8

Парадигмы программирования
Агентно-ориентированная
Компонентно-ориентированная
Конкатенативная
ДекларативнаяДекларативная (контрастирует с Императивной)
Ограничениями
Функциональная
Потоком данных
Таблично-ориентированная (электронные таблицы)
Реактивная
Логическая
Событийно-ориентированная
Сервис-ориентированная
Комбинаторная
ИмперативнаяИмперативная

(контрастирует с Декларативной)
Процедурная

Слайд 9

Парадигмы программирования
Предметно-ориентированная
Метапрограммирование
Автоматизация процесса программирования
Обобщённое программирование
Рефлексивно-ориентированная
Итерационная
Параллельная
Структурная
Модульная
Рекурсивная
Объектно-ориентированная
Автоматная
Разделение ответственности:
Аспектно-ориентированная
Субъектно-ориентированная

Прототип-ориентированная

Слайд 10

Парадигмы программирования
Декларативное программирование 1. Программа «декларативна», если она описывает каково́

нечто, а не как его создать. Например, веб-страницы на HTML декларативны, так как они описывают что должна содержать страница, а не как отображать страницу на экране. Этот подход отличается от языков императивного программирования, требующих от программиста указывать алгоритм для исполнения.
Декларативное программирование 2. Программа «декларативна», если она написана на исключительно функциональном Программа «декларативна», если она написана на исключительно функциональном, логическом Программа «декларативна», если она написана на исключительно функциональном, логическом или языке программирования с ограничениями Программа «декларативна», если она написана на исключительно функциональном, логическом или языке программирования с ограничениями. Выражение «декларативный язык» иногда употребляется для описания всех таких языков программирования как группы, чтобы подчеркнуть их отличие от императивных языков.

Слайд 11

Парадигмы программирования
Императивное программирование — это парадигма программирования — это парадигма программирования, которая,

в отличие от декларативного программирования — это парадигма программирования, которая, в отличие от декларативного программирования, описывает процесс вычисления в виде инструкций — это парадигма программирования, которая, в отличие от декларативного программирования, описывает процесс вычисления в виде инструкций, изменяющих состояние программы. Императивная программа очень похожа на приказы, выражаемые повелительным наклонением в естественных языках — это парадигма программирования, которая, в отличие от декларативного программирования, описывает процесс вычисления в виде инструкций, изменяющих состояние программы. Императивная программа очень похожа на приказы, выражаемые повелительным наклонением в естественных языках, то есть это последовательность команд, которые должен выполнить компьютер.
Императивные языки программирования противопоставляются функциональным противопоставляются функциональным и логическим противопоставляются функциональным и логическим языкам программирования. Функциональные языки, например, Haskell противопоставляются функциональным и логическим языкам программирования. Функциональные языки, например, Haskell, не представляют собой последовательность инструкций и не имеют глобального состояния. Логические языки программирования, такие как Prolog, обычно определяют что надо вычислить, а не как это надо делать.

Слайд 12

Парадигмы программирования
Функциональное программирование — парадигма программирования — парадигма программирования, в которой процесс

вычисления — парадигма программирования, в которой процесс вычисления трактуется как вычисление значений функций — парадигма программирования, в которой процесс вычисления трактуется как вычисление значений функций в математическом понимании последних (в отличие от функций как подпрограмм в процедурном программировании).
Противопоставляется парадигме императивного программированияПротивопоставляется парадигме императивного программирования, которая описывает процесс вычислений как последовательное изменение состоянийПротивопоставляется парадигме императивного программирования, которая описывает процесс вычислений как последовательное изменение состояний (в значении, подобном таковому в теории автоматовПротивопоставляется парадигме императивного программирования, которая описывает процесс вычислений как последовательное изменение состояний (в значении, подобном таковому в теории автоматов). Функциональное программирование предполагает обходиться вычислением результатов функций от исходных данных и результатов других функций, и не предполагает явного хранения состояния программы. Соответственно, не предполагает оно и изменяемость этого состояния (в отличие от императивногоПротивопоставляется парадигме императивного программирования, которая описывает процесс вычислений как последовательное изменение состояний (в значении, подобном таковому в теории автоматов). Функциональное программирование предполагает обходиться вычислением результатов функций от исходных данных и результатов других функций, и не предполагает явного хранения состояния программы. Соответственно, не предполагает оно и изменяемость этого состояния (в отличие от императивного, где одной из базовых концепций является переменнаяПротивопоставляется парадигме императивного программирования, которая описывает процесс вычислений как последовательное изменение состояний (в значении, подобном таковому в теории автоматов). Функциональное программирование предполагает обходиться вычислением результатов функций от исходных данных и результатов других функций, и не предполагает явного хранения состояния программы. Соответственно, не предполагает оно и изменяемость этого состояния (в отличие от императивного, где одной из базовых концепций является переменная, хранящая своё значение и позволяющая менять его по мере выполнения алгоритма).

Слайд 13

Парадигмы программирования
Событийно-ориентированное программирование (англ. event-driven programming; СОП) — парадигма программирования; СОП) — парадигма

программирования, в которой выполнение программы; СОП) — парадигма программирования, в которой выполнение программы определяется событиями; СОП) — парадигма программирования, в которой выполнение программы определяется событиями — действиями пользователя (клавиатура, мышь), сообщениями других программ и потоков, событиями операционной системы (например, поступлением сетевого пакета).
СОП можно также определить как способ построения компьютерной программы, при котором в коде (как правило, в головной функции программы) явным образом выделяется главный цикл приложения, тело которого состоит из двух частей: выборки события и обработки события.

Слайд 14

Парадигмы программирования
Процедурное (императивное) программирование является отражением архитектуры является отражением архитектуры

традиционных ЭВМ является отражением архитектуры традиционных ЭВМ, которая была предложена фон Нейманом является отражением архитектуры традиционных ЭВМ, которая была предложена фон Нейманом. Теоретической моделью процедурного программирования Машина Тьюринга. Выполнение программы сводится к последовательному выполнению операторов с целью преобразования исходного состояния памяти, то есть значений исходных данных, в заключительное, то есть в результаты. Таким образом, с точки зрения программиста имеются программа и память, причем первая последовательно обновляет содержимое последней.
Процедурный язык программирования предоставляет возможность программисту определять каждый шаг в процессе решения задачи. Используя процедурный язык, программист определяет языковые конструкции для выполнения последовательности алгоритмических шагов.

Слайд 15

Парадигмы программирования
Объектно-ориентированное, или объектное, программирование (ООП) — парадигма программирования, программирование (ООП) —

парадигма программирования, в которой основными концепциями, программирование (ООП) — парадигма программирования, в которой основными концепциями являются понятия объектов, программирование (ООП) — парадигма программирования, в которой основными концепциями являются понятия объектов и классов.
Объект — это сущность, которой можно посылать сообщения, и которая может на них реагировать, используя свои данные. Данные объекта скрыты от остальной программы. Сокрытие данных называется инкапсуляцией.
Класс описывает множество объектов одного типа. Новые классы (объекты) порождаются из прежних путем наследования описывает множество объектов одного типа. Новые классы (объекты) порождаются из прежних путем наследования их основных свойств. Полиморфизм классов дает возможность для объектов с одинаковой спецификацией иметь различную реализацию (классы-наследники изменяют одноименные свойства классов-предков).

Слайд 16

Парадигмы программирования

Слайд 17

Парадигмы программирования
Программы = Алгоритмы + структуры данных (Н. Вирт)
Паскаль и

Вирт

Слайд 18

Парадигмы программирования
Программы = Алгоритмы + структуры данных
Что нужно помнить:
Разные

способы представления одних и тех же данных связаны с разными способами их обработки (разными алгоритмами).
Для решения каждой конкретной задачи всегда найдется эффективный способ представления данных

Пример-задача. Как оптимальным образом представить целое число, чтобы компьютерная программа могла определить, делится оно нацело на 3? А на 9? А на 19? А на 21?
Подсказка: Пользоваться можно любыми элементарными функциями из школьной программы.
(Кнут Д.Э. Искусство программирования. В 3-х томах. М: Вильямс, 2007. 720 с., 832 с., 824 с.)

Слайд 19

Парадигмы программирования
Программы = Алгоритмы + структуры данных
Пример-задача. Как оптимальным

образом представить целое число, чтобы компьютерная программа могла определить, делится оно нацело на 3? А на 9? А на 19? А на 21?
Подсказка: Пользоваться можно любыми элементарными функциями из школьной программы.
Ответ. Число N делится нацело на число K, если
Cos(2πK/N) = 1
(Кнут Д.Э. Искусство программирования. В 3-х томах. М: Вильямс, 2007. 720 с., 832 с., 824 с.)

Слайд 20

Обработка информации как "прикладная математика"

Слайд 21

Числа - базовый тип данных в прикладной математике
Подробнее см.
Определение: "Число" это такой

математический объект, для которого определены 4 арифметических действия (+,-,×÷).
Основная идея: Разные типы чисел, как и все другие типы данных, появлялись в связи с необходимостью решать разные типы прикладных задач.

Слайд 22

Задачи и числа. Решение уравнений
Октонионы
Для решения арифметических уравнений вида
x = a +b
y

= ab

Слайд 23

Задачи и числа. Решение уравнений
Октонионы
Для решения арифметических уравнений вида
b = a +

x ⇒ x = b – a
y = ab

Слайд 24

Задачи и числа. Решение уравнений
Октонионы
Для решения арифметических уравнений вида
b = ax ⇒

x = b/a

Слайд 25

Задачи и числа. Решение уравнений
Октонионы
Для решения алгебраических уравнений вида
b = axn ⇒

x = n√ (b/a)

Слайд 26

Задачи и числа. Решение уравнений
Октонионы
Для решения любых алгебраических уравнений:
c0 + c1x +

c2x2 + c3x3 + …. = 0
⇒ x = a + ib, где i = √-1.

Слайд 27

Дальнейшее расширение понятия "числа"
Октонионы
Подробнее см.

Слайд 28

Комплексные числа и операции с точками на плоскости
Действия над комплексными числами
Сравнение

a + bi = c + di означает, что a = c и b = d (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части).
Сложение
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.
Вычитание
(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i.
Умножение
Деление

Слайд 29

Комплексные числа и операции с точками на плоскости
Геометрическая модель
Геометрическое представление
комплексного числа

Модуль, аргумент, вещественная и мнимая части

Слайд 30

Комплексные числа и операции с точками на плоскости
Геометрическая модель
Модуль комплексного числа

z обозначается
| z | и определяется выражением                   . Если z является вещественным числом, то | z | совпадает с абсолютной величиной этого вещественного числа.
Для любых имеют место следующие свойства модуля. :
1)         , причём тогда и только тогда, когда       ;;
2) (неравенство треугольника);
3)                       ;
4)                      .
Из третьего свойства следует                   , где        . Данное свойство модуля вместе с первыми двумя свойствами вводят на множестве комплексных чисел структуру двумерного нормированного пространства над полем   .

Слайд 31

Кватернионы и операции с точками пространства
Кватернион представляет собой паруКватернион представляет собой

пару где — вектор трёхмерного пространства, а — скаляр, то есть вещественное число. Операции сложения определены следующим образом:
Произведение определяется следующим образом:
где * обозначает скалярное произведение,
а — векторное произведение.

Слайд 32

Кватернионы и операции с точками пространства
Кватернионы можно определить как формальную сумму

где — вещественные числа, а — мнимые единицы со следующим свойством: i2 = j2 = k2 = ijk = − 1. Таким образом, таблица умножения базисных кватернионов — — выглядит так:

например, , a .

Так же, как и для комплексных чисел,
называется модулем .

Кватернионы и повороты пространства
Организация трёх степеней свободы, но окончательная свобода меньших колец зависит от положения больших колец

Слайд 33

Октонионы и операции с точками пространства
Октонион (октава, число Кэли) — это линейная

комбинация элементов .
Каждая октава x может быть записана в форме
с вещественными коэффициентами . Норма октониона
Таблица умножения
элементов октавы:

Слайд 34

Других чисел нет!

Слайд 35

произведение сумм четырёх квадратов является суммой четырёх квадратов.
Других чисел нет!
Тождество Эйлера

о четырёх квадратах — математическая теорема о том, что

Слайд 36

Других чисел нет!
Тождество восьми квадратов — математическая теорема о том, что

Слайд 37

А другие пространства есть… Векторы и "Векторы"

Вектор
Векторное пространство

Два вектора u,

v и вектор их суммы

Определение: "Вектор" это такой математический объект, для которого определены операции сложения векторов и умножения вектора на число.
Примечание: Как и "чисел", "векторов" в математике множество. Например, функции также образуют векторное пространство.

Слайд 38

А другие пространства есть… Матрицы
Матрица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы

чисел, которая представляет собой совокупность строк — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы чисел, которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов матрицы задают размер матрицы.

Сложение матриц A + B есть операция нахождения матрицы C,

Умножение матриц (обозначение: AB) — вычисление матрицы C,

Слайд 39

Задачи и матрицы. Системы линейных уравнений
Систему из m уравнений с n неизвестными
можно

представить в матричном виде
и тогда всю систему можно записать так:
AX = B.

Слайд 40

В частном случае, когда рассматриваются линейные преобразования плоскости:
x' = a11x +

a12y
y' = a21x + a22y

Задачи и матрицы. Линейные преобразования пространства

Слайд 41

Представление чисел в компьютерных системах
Подробнее см.
Целочисленные Целочисленные: со знаком,

то есть могут принимать как положительные, так и отрицательные значения; и без знака, то есть могут принимать только неотрицательные значения.
Вещественные Вещественные: с запятой Вещественные: с запятой (то есть хранятся знак и цифры целой и дробной частей) и с плавающей запятой (то есть число приводится к виду m*be, где m — мантисса, где m — мантисса, b — основание показательной функции, где m — мантисса, b — основание показательной функции, e — показатель степени (порядок, где m — мантисса, b — основание показательной функции, e — показатель степени (порядок) (в англоязычной литературе экспонента), причём в нормальной форме 0<=m Числа произвольной точности, обращение с которыми происходит посредством длинной арифметики Числа произвольной точности, обращение с которыми происходит посредством длинной арифметики. Примером языка с встроенной поддержкой таких типов является UBASIC Числа произвольной точности, обращение с которыми происходит посредством длинной арифметики. Примером языка с встроенной поддержкой таких типов является UBASIC, часто применяемый среди криптографов.

Слайд 42

Представление чисел и других данных в компьютерных системах
Подробнее см.
Контрольный вопрос

по предыдущей лекции. Действительно ли каждый бит натурального числа, записанного в компьютере в двоичной системе, имеет информативность 1 бит?
Подсказка: Все дело в разрядности и диапазоне значений.

Слайд 43

Натуральные двоичные числа
Преобразование десятичных чисел в двоичные
19 /2 = 9

с остатком 1
9 /2 = 4 c остатком 1
4 /2 = 2 без остатка 0
2 /2 = 1 без остатка 0
1 /2 = 0 с остатком 1
В результате получаем число 19 в двоичной записи: 10011.

Преобразование двоичных чисел в десятичные
Пусть дано двоичное число 110001. Для перевода в десятичное запишите его справа налево как сумму по разрядам следующим образом:
.

Слайд 44

Информативность натуральных двоичных чисел
Вопрос: Число больше порога? Да – 1,

Нет – 0.

255

0 0 1 0 0 1…

число

Числовой диапазон

порог каждый раз делит
оставшийся диапазон пополам,
поэтому априорная вероятность ответов ½,
и апостериорная информативность их – 1 бит.

Слайд 45

Представление целых чисел в ЭВМ
Дополнительный код (англ. two’s complement, иногда twos-complement)

— наиболее распространённый способ представления отрицательных целых чисел в компьютерах) — наиболее распространённый способ представления отрицательных целых чисел в компьютерах. Он позволяет заменить операцию вычитания на операцию сложения и сделать операции сложения и вычитания одинаковыми для знаковых и беззнаковых чисел. Дополнительный код отрицательного числа можно получить инвертированием модуля двоичного числа (первое дополнение) и прибавлением к инверсии единицы (второе дополнение). Либо вычитанием числа из нуля.
Двоичное 8-ми разрядное число со знаком в дополнительном коде может представлять любое целое в диапазоне от −128 до +127. .

Слайд 46

Представление дробных чисел в ЭВМ
Число с фиксированной запятой — формат представления

рационального или вещественного числа в памяти ЭВМ — формат представления рационального или вещественного числа в памяти ЭВМ в виде целого числа. При этом само число x и его целочисленное представление x′ связаны формулой ,
где z — цена (вес) младшего разряда.
Простейший пример арифметики с фиксированной запятой — перевод рублейПростейший пример арифметики с фиксированной запятой — перевод рублей в копейки. В таком случае, чтобы запомнить сумму 12 рублей 34 копейки, мы записываем в ячейку памяти число 1234.
Недостаток фиксированной запятой — очень узкий диапазон чисел, с угрозой переполненияНедостаток фиксированной запятой — очень узкий диапазон чисел, с угрозой переполнения на одном конце диапазона и потерей точностиНедостаток фиксированной запятой — очень узкий диапазон чисел, с угрозой переполнения на одном конце диапазона и потерей точности вычислений на другом. Эта проблема и привела к изобретению плавающей запятойНедостаток фиксированной запятой — очень узкий диапазон чисел, с угрозой переполнения на одном конце диапазона и потерей точности вычислений на другом. Эта проблема и привела к изобретению плавающей запятой. Например: если нужна точность в 3 значащих цифры, 4-байтовая фиксированная запятая даёт диапазон в 6 порядков (то есть, разница приблизительно 106 между самым большим и самым маленьким числом), 4-байтовое число одинарной точности — в 70 порядков.

Слайд 47

Представление действительных чисел
Плавающая запятая — форма представления действительных чисел, в которой

число хранится в форме мантиссы — форма представления действительных чисел, в которой число хранится в форме мантиссы и показателя степени — форма представления действительных чисел, в которой число хранится в форме мантиссы и показателя степени. При этом число с плавающей запятой имеет фиксированную относительную точность и изменяющуюся абсолютную. Например, число 1,528535047×10−25 в большинстве языков программирования высокого уровня записывается как 1.528535047E-25.
S — знак, E — показатель степени, I — целая часть, F — дробная часть
Так же, как и для целых, знаковый бит — старший.

Слайд 48

Типы данных
Подробнее см.
Простые.
Перечислимый тип. Может хранить только те значения,

которые прямо указаны в его описании.
Числовые данные.
Символьный типСимвольный тип. Хранит один символСимвольный тип. Хранит один символ. Могут использоваться различные кодировки.
Логический типЛогический тип. Имеет два значения: истинаЛогический тип. Имеет два значения: истина и ложьЛогический тип. Имеет два значения: истина и ложь, при троичной логикеЛогический тип. Имеет два значения: истина и ложь, при троичной логике может иметь и третье значение — «не определено» (или «неизвестно»). Могут применяться логические операцииЛогический тип. Имеет два значения: истина и ложь, при троичной логике может иметь и третье значение — «не определено» (или «неизвестно»). Могут применяться логические операции. Используется в операторах ветвленияЛогический тип. Имеет два значения: истина и ложь, при троичной логике может иметь и третье значение — «не определено» (или «неизвестно»). Могут применяться логические операции. Используется в операторах ветвления и циклахЛогический тип. Имеет два значения: истина и ложь, при троичной логике может иметь и третье значение — «не определено» (или «неизвестно»). Могут применяться логические операции. Используется в операторах ветвления и циклах. В некоторых языках является подтипомЛогический тип. Имеет два значения: истина и ложь, при троичной логике может иметь и третье значение — «не определено» (или «неизвестно»). Могут применяться логические операции. Используется в операторах ветвления и циклах. В некоторых языках является подтипом числового типа, при этом ложь=0, истина=1.
МножествоМножество. В основном совпадает с обычным математическимМножество. В основном совпадает с обычным математическим понятием множестваМножество. В основном совпадает с обычным математическим понятием множества. Допустимы стандартные операции с множествами и проверка на принадлежность элемента множеству. В некоторых языках рассматривается как составной тип.

Слайд 49

Типы данных
Подробнее см.
Составные (сложные).
МассивМассив. Является индексированным набором элементов одного

типа. Одномерный массивМассив. Является индексированным набором элементов одного типа. Одномерный массив — векторМассив. Является индексированным набором элементов одного типа. Одномерный массив — вектор, двумерный массивМассив. Является индексированным набором элементов одного типа. Одномерный массив — вектор, двумерный массив — матрица.
Строковый типСтроковый тип. Хранит строкуСтроковый тип. Хранит строку символов. Аналогом сложения в строковой алгебре является конкатенацияСтроковый тип. Хранит строку символов. Аналогом сложения в строковой алгебре является конкатенация (прибавление одной строки в конец другой строки). В языках, близких к бинарному представлению данных, чаще рассматривается как массив символов, в языках более высокой абстракции зачастую выделяется в качестве простого.
Запись (структура). Набор различных элементов (полей записи), хранимый как единое целое. Возможен доступ к отдельным полям записи. Например, struct в C или record в Pascal.
Класс.
Файловый типФайловый тип. Хранит только однотипные значения, доступ к которым осуществляется только последовательно (файлФайловый тип. Хранит только однотипные значения, доступ к которым осуществляется только последовательно (файл с произвольным доступом, включённый в некоторые системы программированияФайловый тип. Хранит только однотипные значения, доступ к которым осуществляется только последовательно (файл с произвольным доступом, включённый в некоторые системы программирования, фактически является неявным массивом).
УказательУказатель. Хранит адресУказатель. Хранит адрес в памяти компьютераУказатель. Хранит адрес в памяти компьютера, указывающий на какую-либо информацию, как правило — указательУказатель. Хранит адрес в памяти компьютера, указывающий на какую-либо информацию, как правило — указатель на переменную.
Ссылка.

Слайд 50

Типы данных
Подробнее см.
Структурные типы данных
Регулярные массивы
Структуры (записи, кортежи)
Динамические списки

Слайд 51

Типы данных. Массив
Индексный массив — именованный набор однотипных переменных, расположенных

в памяти непосредственно друг за другом, доступ к которым осуществляется по индексу, расположенных в памяти непосредственно друг за другом, доступ к которым осуществляется по индексу (в отличие от списка).
Индекс массива — целое число, либо значение типа, приводимого к целому, указывающее на конкретный элемент массива.
Примеры:
int Array[10]; // Одномерный массив целых чисел размера 10
// Нумерация элементов от 0 до 9
double Array[12][15]; // Двумерный массив вещественных чисел двойной точности
// размера 12 на 15. Нумерация строк от 0 то 11, столбцов от 0 до 14
Достоинства массива как структуры данных
лёгкость вычисления адреса элемента по его индексу (поскольку элементы массива располагаются один за другим)
одинаковое время доступа ко всем элементам
экономия памяти - элементы состоят только из информационного поля
Недостатки
невозможность удаления или добавления элемента без сдвига других
при работе с массивом в стиле C (с указателями*) и при отсутствии дополнительных средств контроля — угроза выхода за границы массива и повреждения данных
*Указатель Хранит адрес Хранит адрес в памяти компьютера Хранит адрес в памяти компьютера, указывающий на какую-либо информацию, как правило — указатель Хранит адрес в памяти компьютера, указывающий на какую-либо информацию, как правило — указатель на переменную.

Слайд 52

Типы данных. Структура
Структура — конструкция большинства языков программирования, позволяющая содержать в

себе фиксированный набор переменных различных типов.
В языках семейства Pascal структуры традиционно называют записями (англ. record).
Пример объявления структуры на C:
struct str_name {
int member_1;
float member_2;
char member_3[256];
};
Пример объявления структуры на Pascal:
type str_name = record
begin
member_1 : integer;
member_2 : extended;
member_3 : string;
end;

Слайд 53

Типы данных. Список
Связный список — структура данных, состоящая из узлов — структура

данных, состоящая из узлов, каждый из которых содержит как собственно данные — структура данных, состоящая из узлов, каждый из которых содержит как собственно данные, так и одну или две ссылки («связки») на следующий и/или предыдущий узел списка.
Достоинства списка как структуры данных
лёгкость добавления и удаления элементов
размер ограничен только объёмом памяти и разрядностью указателей
Недостатки
сложность определения адреса элемента по его индексу (номеру) в списке
на поля-указатели (указатели на следующий и предыдущий элемент) расходуется дополнительная память
работа со списком медленнее, чем с массивами, так как к любому элементу списка можно обратиться, только пройдя все предшествующие ему элементы
элементы списка могут быть расположены в памяти разреженно, что окажет негативный эффект на кэширование процессора
над связными списками гораздо труднее (хотя и в принципе возможно) производить параллельные векторные операции, такие как вычисление суммы

Односвязный список Кольцевой связный список
Двусвязный список

Слайд 54

Типы данных. Динамические списки типа "стек" и "очередь"
Очередь — структура данных —

структура данных с дисциплиной доступа к элементам «первый пришёл — первый вышел» (FIFO, First In — First Out). Добавление элемента (принято обозначать словом enqueue — поставить в очередь) возможно лишь в конец очереди, выборка — только из начала очереди (что принято называть словом dequeue — убрать из очереди), при этом выбранный элемент из очереди удаляется.
Пример – очередь сообщений Windows.

Слайд 55

Типы данных. Динамические списки типа "стек" и "очередь"
Стек (англ. stack — стопка) —

структура данных, в которой доступ к элементам организован по принципу LIFO (англ. last in — first out, «последним пришёл — первым вышел»). Чаще всего принцип работы стека сравнивают со стопкой тарелок: чтобы взять вторую сверху, нужно снять верхнюю.
Добавление элемента, называемое также проталкиванием (push), возможно только в вершину стека (добавленный элемент становится первым сверху). Удаление элемента, называемое также выталкиванием (pop), тоже возможно только из вершины стека, при этом второй сверху элемент становится верхним. Пример – стек вызова подпрограмм (рекурсивый вызов функций).

Слайд 56

Типы данных. Графы (модели)
Граф — это совокупность непустого множества вершин и

множества пар вершин (связей между вершинами).
Объекты представляются как вершины, или узлы графа, а связи — как дуги, или рёбра. Для разных областей применения виды графов могут различаться направленностью, ограничениями на количество связей и дополнительными данными о вершинах или рёбрах.
Важно помнить: Большинство структур, представляющих практический интерес в математике и информатике, могут быть представлены графами (включая массивы, записи и списки). В некотором смысле вся информатика может быть описана в терминах получения, преобразования и анализа графов.
Модель: совокупность элементов и отношений между ними (т.е. граф).
Блок-схема алгоритма – граф, и т.д.

Неориентированный граф с шестью вершинами и семью рёбрами

Слайд 57

Типы данных. Графы (модели)
Неориентированный граф G — это упорядоченная пара G:

= (V,E), для которой выполнены следующие условия: V — это непустое множество вершин, или узлов, E — это множество пар (в случае неориентированного графа — неупорядоченных) вершин, называемых рёбрами.
Вершины и рёбра графа называются также элементами графа, число вершин в графе | V | — порядком, число рёбер | E | — размером графа.
Вершины u и v называются концевыми вершинами (или просто концами) ребра e = {u,v}. Ребро, в свою очередь, соединяет эти вершины. Две концевые вершины одного и того же ребра называются соседними.
Два ребра называются смежными, если они имеют общую концевую вершину.Два ребра называются кратными, если множества их концевых вершин совпадают. Ребро называется петлёй, если его концы совпадают, то есть e = {v,v}. Степенью deg V вершины V называют количество инцидентных ей рёбер(при этом петли считают дважды). Вершина называется изолированной, если она не является концом ни для одного ребра; висячей (или листом), если она является концом ровно одного ребра.

Слайд 58

Типы данных. Графы (модели)
Ориентированный граф (сокращённо орграф) G — это упорядоченная

пара G: = (V,A), для которой выполнены следующие условия:V — это непустое множество вершин или узлов, A — это множество (упорядоченных) пар различных вершин, называемых дугами или ориентированными рёбрами.
Дуга — это упорядоченная пара вершин (v,w), где вершину v называют началом, а w — концом дуги. Можно сказать, что дуга ведёт от вершины v к вершине w.
Путём (или цепью) в графе называют конечную последовательность вершин, в которой каждая вершина (кроме последней) соединена со следующей в последовательности вершин ребром.
Ориентированным путём в орграфе называют конечную последовательность вершин vi , для которой все пары (vi,vi + 1) являются (ориентированными) рёбрами.
Циклом называют путь, в котором первая и последняя вершины совпадают. При этом длиной пути (или цикла) называют число составляющих его рёбер.

Пример блок-схемы алгоритма вычисления факториала числа N

Слайд 59

Типы данных. Графы (модели)
Граф называется:
связным, если для любых вершин u,v

есть путь из u в v.
сильно связным или ориентированно связным, если он ориентированный, и из любой вершины в любую другую имеется ориентированный путь.
деревом, если он связный и не содержит простых циклов.
полным, если любые его две (различные, если не допускаются петли) вершины соединены ребром.
двудольным, если его вершины можно разбить на два непересекающихся подмножества V1 и V2 так, что всякое ребро соединяет вершину из V1 с вершиной из V2.
k-дольным, если его вершины можно разбить на k непересекающихся подмножества V1, V2, …, Vk так, что не будет рёбер, соединяющих вершины одного и того же подмножества.
полным двудольным, если каждая вершина одного подмножества соединена ребром с каждой вершиной другого подмножества.
планарным, если граф можно изобразить диаграммой на плоскости без пересечений рёбер.
взвешенным, если каждому ребру графа поставлено в соответствие некоторое число, называемое весом ребра.

Слайд 60

Типы данных. Графы: деревья
Дерево — является связанным графом, не содержащим циклы.

На дереве:
Корневой узел — самый верхний узел дерева.
Корень — одна из вершин, по желанию наблюдателя.
лист, листовой или терминальный узел — узел, не имеющий дочерних элементов.
Внутренний узел — любой узел дерева, имеющий потомков, и таким образом не являющийся листовым узлом.
Основные применения
управление иерархией данных;
упрощение поискаупрощение поиска информации (обход дерева);
управление сортированными списками данных;
синтактический разбор арифметических выражений (англ. parsing), оптимизация программ;
в качестве технологии компоновкив качестве технологии компоновки цифровых картинок для получения различных визуальных эффектов;
В задачах принятия многоэтапного решения.

Слайд 61

Типы данных. Графы: Деревья, Сети
Подробнее см.

Слайд 62

Типы данных. Таблицы. Базы данных
Подробнее см.
Кортежи. Таблицы. Реляционные базы данных.

SQL.
Копейкин М.В., Спиридонов В.В., Шумова Е.O. Базы данных. Основы SQL реляционных баз данных: Учебное пособие. - СПб.: СЗТУ, 2005. - 160 с.

Слайд 63

Типы данных. Кодирование данных
Подробнее см.
Структурные типы данных
Регулярные массивы
Динамические списки

и массивы переменной длинны
Ациклические графы (деревья)
Сетевые графы
Специализированные типы данных
Таблицы и базы данных
Текст (символы и символьные строки)
Аудиоданные
Векторная и растровая графика
Кодирование данных - преобразования, касающиеся не содержания, а формы представления данных:
Сжатие (хранение и передача данных)
Помехоустойчивое кодирование (передача данных)
Криптография (защита данных)

Слайд 64

Типы данных. Цифровое изображение
Лабораторная система обработки и анализа изображений Pisoft

Image Framework
Рассмотрим с ее помощью типы данных, связанные с изображением

Слайд 65

Компьютерное зрение как типовая область компьютерной обработки информации
Специализированное зрение

без "встроенных" алгоритмов.
Требования к системам и алгоритмам технического зрения: надежность, точность, быстродействие.
Основные задачи анализа изображений.
Компьютерное зрение = "геометрия сегодня"

Слайд 66

Компьютерное зрение как обобщение школьной геометрии

Слайд 67

Компьютерное зрение как школьная геометрия++
Отличия КЗ от классической геометрии:
1. Увеличение числа

точек на порядки.
2. Появление у точек атрибутов интенсивности, цвета и других характеристик.
3. Рассмотрение не только правильных фигур, но и фигур любых других форм.
4. Учет всякого рода неидеальностей, погрешностей, шумов, искажений, дискретностей, неполной наблюдаемости и т.п. реальных факторов, которые, впрочем, также имеют математическое выражение.

Слайд 68

Метод общих геометрических мест
Задача 1: Построение треугольника по 3 заданным отрезкам.

Слайд 69

Метод общих геометрических мест
Задача 1: Построение треугольника по 3 заданным отрезкам.
гмт1

Слайд 70

Метод общих геометрических мест
Задача 1: Построение треугольника по 3 заданным отрезкам.
гмт1
гмт2

Слайд 71

Метод общих геометрических мест
Задача 1: Построение треугольника по 3 заданным отрезкам.
гмт1
гмт2
гмт1

∩ гмт2

Слайд 72

Метод общих геометрических мест
Задача 2: Построение окружности по 3 заданным точкам.

Слайд 73

Метод общих геометрических мест
Задача 2: Построение окружности по 3 заданным точкам.
гмт1

Слайд 74

Метод общих геометрических мест
Задача 2: Построение окружности по 3 заданным точкам.
гмт1
гмт2

Слайд 75

Метод общих геометрических мест
Задача 2: Построение окружности по 3 заданным точкам.
гмт1
гмт2
гмт1

∩ гмт2

Слайд 76

Метод общих геометрических мест
Задача 2: Построение окружности по 3 заданным точкам.
гмт1
гмт2
гмт1

∩ гмт2

Слайд 77

Метод общих геометрических мест
Задача 2: Построение окружности по 3 заданным точкам.
гмт1
гмт2
гмт1

∩ гмт2

Слайд 78

Метод общих геометрических мест
Задача 3: Построение окружности по N заданным точкам

Слайд 79

Метод общих геометрических мест
Задача 3: Построение окружности по N заданным точкам

Слайд 80

Метод общих геометрических мест
Задача 3: Построение окружности по N заданным точкам
гмт12
R

Слайд 81

Метод общих геометрических мест
Задача 3: Построение окружности по N заданным точкам
гмт12
гмт23
∩

гмт

гмт ij

Слайд 82

Метод общих геометрических мест
Задача 3: Построение окружности по N заданным точкам
гмт12
гмт23
гмт

Слайд 83

Метод общих геометрических мест
Задача 3: Построение окружности по N заданным точкам
гмт12
гмт23
гмт

гмт lk

Больше голосов

Слайд 84

Метод общих геометрических мест
Задача 3: Построение окружности по N заданным точкам
гмт12
гмт23
MAX

∩ гмт

гмт ij

гмт lk

Слайд 85

Области применения и типовые примеры практических систем компьютерного и машинного зрения.

Примеры приложений

Слайд 86

Числа и векторы

Содержание

Содержание лекции 1. ПО и программирование. Парадигмы программирования. Роль способа представления

Программное обеспечение Программное обеспечение принято по назначению подразделять на системноеПрограммное обеспечение

Программное обеспечение Прикладное ПО

Программное обеспечение Прикладное ПО

Программное обеспечение Прикладное ПО

Программное обеспечение Прикладное ПО

Парадигмы программирования Декларативное программирование 1. Программа «декларативна», если она описывает каково́

Парадигмы программирования Императивное программирование — это парадигма программирования — это парадигма программирования, которая,

Парадигмы программирования Функциональное программирование — парадигма программирования — парадигма программирования, в которой процесс

Парадигмы программирования Событийно-ориентированное программирование (англ. event-driven programming; СОП) — парадигма программирования; СОП) — парадигма

Парадигмы программирования Процедурное (императивное) программирование является отражением архитектуры является отражением архитектуры

Парадигмы программирования Объектно-ориентированное, или объектное, программирование (ООП) — парадигма программирования, программирование (ООП) —

Парадигмы программирования

Парадигмы программирования Программы = Алгоритмы + структуры данных (Н. Вирт)Паскаль и

Парадигмы программирования Программы = Алгоритмы + структуры данных Что нужно помнить:Разные

Парадигмы программирования Программы = Алгоритмы + структуры данных Пример-задача. Как оптимальным

Обработка информации как "прикладная математика"

Числа - базовый тип данных в прикладной математикеПодробнее см.Определение: "Число" это такой

Задачи и числа. Решение уравненийОктонионыДля решения арифметических уравнений видаx = a +by

Задачи и числа. Решение уравненийОктонионыДля решения арифметических уравнений видаb = a +

Задачи и числа. Решение уравненийОктонионыДля решения арифметических уравнений видаb = ax ⇒

Задачи и числа. Решение уравненийОктонионыДля решения алгебраических уравнений видаb = axn ⇒

Задачи и числа. Решение уравненийОктонионыДля решения любых алгебраических уравнений:c0 + c1x +

Дальнейшее расширение понятия "числа"ОктонионыПодробнее см.

Комплексные числа и операции с точками на плоскости Действия над комплексными числамиСравнение

Комплексные числа и операции с точками на плоскости Геометрическая модельГеометрическое представлениекомплексного числа

Комплексные числа и операции с точками на плоскости Геометрическая модельМодуль комплексного числа

Кватернионы и операции с точками пространства Кватернион представляет собой паруКватернион представляет собой

Кватернионы и операции с точками пространства Кватернионы можно определить как формальную сумму

Октонионы и операции с точками пространства Октонион (октава, число Кэли) — это линейная

Других чисел нет!

произведение сумм четырёх квадратов является суммой четырёх квадратов.Других чисел нет!Тождество Эйлера

Других чисел нет!Тождество восьми квадратов — математическая теорема о том, что

А другие пространства есть… Векторы и "Векторы" ВекторВекторное пространство Два вектора u,

А другие пространства есть… МатрицыМатрица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы

Задачи и матрицы. Системы линейных уравненийСистему из m уравнений с n неизвестнымиможно

В частном случае, когда рассматриваются линейные преобразования плоскости:x' = a11x +

Представление чисел в компьютерных системах Подробнее см. Целочисленные Целочисленные: со знаком,

Представление чисел и других данных в компьютерных системах Подробнее см.Контрольный вопрос

Натуральные двоичные числа Преобразование десятичных чисел в двоичные19 /2 = 9

Информативность натуральных двоичных чисел Вопрос: Число больше порога? Да – 1,

Представление целых чисел в ЭВМ Дополнительный код (англ. two’s complement, иногда twos-complement)

Представление дробных чисел в ЭВМ Число с фиксированной запятой — формат представления

Представление действительных чисел Плавающая запятая — форма представления действительных чисел, в которой

Типы данных Подробнее см.Простые. Перечислимый тип. Может хранить только те значения,

Типы данных Подробнее см.Составные (сложные). МассивМассив. Является индексированным набором элементов одного

Типы данных Подробнее см.Структурные типы данных Регулярные массивыСтруктуры (записи, кортежи)Динамические списки

Типы данных. Массив Индексный массив — именованный набор однотипных переменных, расположенных

Типы данных. Структура Структура — конструкция большинства языков программирования, позволяющая содержать в

Типы данных. Список Связный список — структура данных, состоящая из узлов — структура

Типы данных. Динамические списки типа "стек" и "очередь" Очередь — структура данных —

Типы данных. Динамические списки типа "стек" и "очередь" Стек (англ. stack — стопка) —

Типы данных. Графы (модели) Граф — это совокупность непустого множества вершин и

Типы данных. Графы (модели) Неориентированный граф G — это упорядоченная пара G:

Типы данных. Графы (модели) Ориентированный граф (сокращённо орграф) G — это упорядоченная

Типы данных. Графы (модели) Граф называется:связным, если для любых вершин u,v

Типы данных. Графы: деревья Дерево — является связанным графом, не содержащим циклы.

Типы данных. Графы: Деревья, Сети Подробнее см.

Типы данных. Таблицы. Базы данных Подробнее см.Кортежи. Таблицы. Реляционные базы данных.

Типы данных. Кодирование данных Подробнее см.Структурные типы данных Регулярные массивыДинамические списки

Типы данных. Цифровое изображение Лабораторная система обработки и анализа изображений Pisoft

Компьютерное зрение как типовая область компьютерной обработки информации Специализированное зрение

Компьютерное зрение как обобщение школьной геометрии

Компьютерное зрение как школьная геометрия++ Отличия КЗ от классической геометрии:1. Увеличение числа

Метод общих геометрических мест Задача 1: Построение треугольника по 3 заданным отрезкам.

Метод общих геометрических мест Задача 1: Построение треугольника по 3 заданным отрезкам.гмт1

Метод общих геометрических мест Задача 1: Построение треугольника по 3 заданным отрезкам.гмт1гмт2

Метод общих геометрических мест Задача 1: Построение треугольника по 3 заданным отрезкам.гмт1гмт2гмт1

Метод общих геометрических мест Задача 2: Построение окружности по 3 заданным точкам.

Метод общих геометрических мест Задача 2: Построение окружности по 3 заданным точкам.гмт1

Метод общих геометрических мест Задача 2: Построение окружности по 3 заданным точкам.гмт1гмт2

Метод общих геометрических мест Задача 2: Построение окружности по 3 заданным точкам.гмт1гмт2гмт1

Содержание лекции
1. ПО и программирование. Парадигмы программирования. Роль способа представления

Программное обеспечение
Программное обеспечение принято по назначению подразделять на системноеПрограммное обеспечение

Программное обеспечение
Прикладное ПО

Программное обеспечение
Прикладное ПО

Программное обеспечение
Прикладное ПО

Программное обеспечение
Прикладное ПО

Парадигмы программирования
Декларативное программирование 1. Программа «декларативна», если она описывает каково́

Парадигмы программирования
Императивное программирование — это парадигма программирования — это парадигма программирования, которая,

Парадигмы программирования
Функциональное программирование — парадигма программирования — парадигма программирования, в которой процесс

Парадигмы программирования
Событийно-ориентированное программирование (англ. event-driven programming; СОП) — парадигма программирования; СОП) — парадигма

Парадигмы программирования
Процедурное (императивное) программирование является отражением архитектуры является отражением архитектуры

Парадигмы программирования
Объектно-ориентированное, или объектное, программирование (ООП) — парадигма программирования, программирование (ООП) —

Парадигмы программирования
Программы = Алгоритмы + структуры данных (Н. Вирт)
Паскаль и

Парадигмы программирования
Программы = Алгоритмы + структуры данных
Что нужно помнить:
Разные

Парадигмы программирования
Программы = Алгоритмы + структуры данных
Пример-задача. Как оптимальным

Числа - базовый тип данных в прикладной математике
Подробнее см.
Определение: "Число" это такой

Задачи и числа. Решение уравнений
Октонионы
Для решения арифметических уравнений вида
x = a +b
y

Задачи и числа. Решение уравнений
Октонионы
Для решения арифметических уравнений вида
b = a +

Задачи и числа. Решение уравнений
Октонионы
Для решения арифметических уравнений вида
b = ax ⇒

Задачи и числа. Решение уравнений
Октонионы
Для решения алгебраических уравнений вида
b = axn ⇒

Задачи и числа. Решение уравнений
Октонионы
Для решения любых алгебраических уравнений:
c0 + c1x +

Дальнейшее расширение понятия "числа"
Октонионы
Подробнее см.

Комплексные числа и операции с точками на плоскости
Действия над комплексными числами
Сравнение

Комплексные числа и операции с точками на плоскости
Геометрическая модель
Геометрическое представление
комплексного числа

Комплексные числа и операции с точками на плоскости
Геометрическая модель
Модуль комплексного числа

Кватернионы и операции с точками пространства
Кватернион представляет собой паруКватернион представляет собой

Кватернионы и операции с точками пространства
Кватернионы можно определить как формальную сумму

Октонионы и операции с точками пространства
Октонион (октава, число Кэли) — это линейная

произведение сумм четырёх квадратов является суммой четырёх квадратов.
Других чисел нет!
Тождество Эйлера

Других чисел нет!
Тождество восьми квадратов — математическая теорема о том, что

А другие пространства есть… Векторы и "Векторы"

Вектор
Векторное пространство

Два вектора u,

А другие пространства есть… Матрицы
Матрица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы

Задачи и матрицы. Системы линейных уравнений
Систему из m уравнений с n неизвестными
можно

В частном случае, когда рассматриваются линейные преобразования плоскости:
x' = a11x +

Представление чисел в компьютерных системах
Подробнее см.
Целочисленные Целочисленные: со знаком,

Представление чисел и других данных в компьютерных системах
Подробнее см.
Контрольный вопрос

Натуральные двоичные числа
Преобразование десятичных чисел в двоичные
19 /2 = 9

Информативность натуральных двоичных чисел
Вопрос: Число больше порога? Да – 1,

Представление целых чисел в ЭВМ
Дополнительный код (англ. two’s complement, иногда twos-complement)

Представление дробных чисел в ЭВМ
Число с фиксированной запятой — формат представления

Представление действительных чисел
Плавающая запятая — форма представления действительных чисел, в которой

Типы данных
Подробнее см.
Простые.
Перечислимый тип. Может хранить только те значения,

Типы данных
Подробнее см.
Составные (сложные).
МассивМассив. Является индексированным набором элементов одного

Типы данных
Подробнее см.
Структурные типы данных
Регулярные массивы
Структуры (записи, кортежи)
Динамические списки

Типы данных. Массив
Индексный массив — именованный набор однотипных переменных, расположенных

Типы данных. Структура
Структура — конструкция большинства языков программирования, позволяющая содержать в

Типы данных. Список
Связный список — структура данных, состоящая из узлов — структура

Типы данных. Динамические списки типа "стек" и "очередь"
Очередь — структура данных —

Типы данных. Динамические списки типа "стек" и "очередь"
Стек (англ. stack — стопка) —

Типы данных. Графы (модели)
Граф — это совокупность непустого множества вершин и

Типы данных. Графы (модели)
Неориентированный граф G — это упорядоченная пара G:

Типы данных. Графы (модели)
Ориентированный граф (сокращённо орграф) G — это упорядоченная

Типы данных. Графы (модели)
Граф называется:
связным, если для любых вершин u,v

Типы данных. Графы: деревья
Дерево — является связанным графом, не содержащим циклы.

Типы данных. Графы: Деревья, Сети
Подробнее см.

Типы данных. Таблицы. Базы данных
Подробнее см.
Кортежи. Таблицы. Реляционные базы данных.

Типы данных. Кодирование данных
Подробнее см.
Структурные типы данных
Регулярные массивы
Динамические списки

Типы данных. Цифровое изображение
Лабораторная система обработки и анализа изображений Pisoft

Компьютерное зрение как типовая область компьютерной обработки информации
Специализированное зрение

Компьютерное зрение как школьная геометрия++
Отличия КЗ от классической геометрии:
1. Увеличение числа

Метод общих геометрических мест
Задача 1: Построение треугольника по 3 заданным отрезкам.

Метод общих геометрических мест
Задача 1: Построение треугольника по 3 заданным отрезкам.
гмт1

Метод общих геометрических мест
Задача 1: Построение треугольника по 3 заданным отрезкам.
гмт1
гмт2

Метод общих геометрических мест
Задача 1: Построение треугольника по 3 заданным отрезкам.
гмт1
гмт2
гмт1

Метод общих геометрических мест
Задача 2: Построение окружности по 3 заданным точкам.

Метод общих геометрических мест
Задача 2: Построение окружности по 3 заданным точкам.
гмт1

Метод общих геометрических мест
Задача 2: Построение окружности по 3 заданным точкам.
гмт1
гмт2

Метод общих геометрических мест
Задача 2: Построение окружности по 3 заданным точкам.
гмт1
гмт2
гмт1