Элементы дисперсионного анализа

Сентябрь 2, 2022

Главная
Алгебра
Элементы дисперсионного анализа

Содержание

2. Дисперсионный анализ – это статистический метод анализа результатов наблюдений, зависящих от различных, одновременно действующих факторов, выбор
3. Сущность дисперсионного анализа состоит в установлении роли отдельных факторов в изменчивости признака. В зависимости от количества
4. Однофакторный дисперсионный анализ. Предположим, что имеется выборок с объемами , и наблюдения можно представить в виде
5. Подобная ситуация возникает, когда существует некий фактор, принимающий различные значения (называемые уровнями), и каждая группа объектов,
6. Основной гипотезой, нуждающейся в проверке, является гипотеза о равенстве групповых средних Иными словами, проверяют гипотезу о
7. 38,15 Рассмотрим группу экспериментальных животных, подвергнутых ультрафиолетовому облучению. В процессе эксперимента измерялась температура тела животных. Результаты
8. Физический фактор А (ультрафиолетовое излучение) имеет m=3 постоянных уровня (3 различных мощности облучения). На всех уровнях
9. Здесь n – число испытаний, – номер столбца, - номер строки, в которой расположено данное значение
10. Введем следующие понятия: Факторная сумма квадратов отклонений групповых средних от общей средней , которая характеризует рассеивание
11. Остаточная сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений группы от своей групповой средней , которая характеризует рассеивание «внутри
12. Общая сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений от общей средней : Можно доказать следующее равенство:
13. С помощью производится оценка общей, факторной и остаточной дисперсий:
14. В основе однофакторного дисперсионного анализа лежит тесная связь между различием в групповых средних и соотношением между
15. При этом при заданном уровне значимости проверяют нулевую гипотезу о равенстве факторной и остаточной дисперсии (изучаемый
16. Здесь . Если , нулевую гипотезу считают согласующейся с результатами наблюдений. Если , то эту гипотезу
18. Скачать презентацию

Слайд 2

Дисперсионный анализ – это статистический метод анализа результатов наблюдений, зависящих от

различных, одновременно действующих факторов, выбор наиболее важных факторов и оценка их влияния. Дисперсионный анализ находит применение в различных областях науки и техники.
Известно, что многие признаки и свойства живых организмов находятся под влиянием различных факторов: наследственности, условий среды, внутренних факторов организма, искусственного отбора. Степень и направленность воздействия различных факторов неодинаковы, поэтому важно определить долю влияния отдельных факторов на изменчивость признака. Для решения подобной задачи используют метод дисперсионного анализа, разработанный Р.Фишером.

Слайд 3

Сущность дисперсионного анализа состоит в установлении роли отдельных факторов в изменчивости

признака.
В зависимости от количества изучаемых факторов различают однофакторный и многофакторный дисперсионный анализ. Рассмотрим подробнее метод однофакторного дисперсионного анализа.

Слайд 4

Однофакторный дисперсионный анализ.
Предположим, что имеется выборок с объемами , и наблюдения

можно представить в виде
, где - номер наблюдения в выборке; - номер выборки; - групповые математические ожидания; - случайные ошибки с , о которых предполагается, что они независимы и одинаково расположены.

Слайд 5

Подобная ситуация возникает, когда существует некий фактор, принимающий различные значения (называемые

уровнями), и каждая группа объектов, чьи признаки мы измеряем, подвергается воздействию определенного уровня этого фактора. Методы математической статистики, изучающие воздействие одного фактора на объекты и их признаки, называют в совокупности однофакторным анализом.

Слайд 6

Основной гипотезой, нуждающейся в проверке, является гипотеза о равенстве групповых средних

Иными словами, проверяют гипотезу о том, что фактор вообще не влияет на наблюдения. В случае нормальных ошибок ее можно проверить, вычислив две разные оценки дисперсии.

Слайд 7

38,15
Рассмотрим группу экспериментальных животных, подвергнутых ультрафиолетовому облучению. В процессе эксперимента

измерялась температура тела животных. Результаты измерений были занесены в таблицу:

Слайд 8

Физический фактор А (ультрафиолетовое излучение) имеет m=3 постоянных уровня (3 различных

мощности облучения). На всех уровнях распределение случайной величины Х (температуры тела животного) предполагается нормальным, а дисперсии одинаковыми, хотя и неизвестными. В данном эксперименте число проведенных наблюдений при действии каждого из уровней фактора одинаково. Все значения величины Х, наблюдаемые при каждом фиксированном уровне фактора Аj, составляют группу, и в последней строке таблицы представлены соответствующие выборочные групповые средние, вычисленные по формуле

Слайд 9

Здесь n – число испытаний, – номер столбца, - номер строки,

в которой расположено данное значение случайной величины. Общая средняя арифметическая всех наблюдений находится как

Слайд 10

Введем следующие понятия:
Факторная сумма квадратов отклонений групповых средних от общей

средней , которая характеризует рассеивание «между группами» (т.е. рассеивание за счет исследуемого фактора):

Слайд 11

Остаточная сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений группы от своей групповой средней

, которая характеризует рассеивание «внутри групп» (за счет случайных причин):

Слайд 12

Общая сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений от общей средней :
Можно

доказать следующее равенство:

Слайд 13

С помощью
производится оценка общей, факторной и остаточной дисперсий:

Слайд 14

В основе однофакторного дисперсионного анализа лежит тесная связь между различием

в групповых средних и соотношением между двумя видами дисперсий – факторной, которая характеризует влияние фактора А на величину Х, и остаточной, которая характеризует влияние случайных причин. Сравнивая факторную дисперсию с остаточной по величине их отношения судят, насколько сильно проявляется влияние фактора.
Для сравнения двух дисперсий используют показатель критерия Фишера

Слайд 15

При этом при заданном уровне значимости проверяют нулевую гипотезу о равенстве

факторной и остаточной дисперсии (изучаемый фактор не вызывает изменчивости признака) при конкурирующей гипотезе об их неравенстве (изучаемый фактор вызывает изменчивость признака).
По таблице критических значений распределения Фишера – Снедекора при уровне значимости , равном половине заданного уровня
находят критическое значение

Слайд 16

Здесь . Если , нулевую гипотезу считают согласующейся с результатами наблюдений.

Если , то эту гипотезу отвергают в пользу конкурирующей.
Замечание. Если окажется, что , следует сделать вывод об отсутствии влияния фактора А на Х.
Если проверка покажет значимость различий между и ,следует сделать вывод о существенном влиянии фактора А на Х.