Интегрирование тригонометрических и иррациональных функций

которыми выполняются рациональные действия принято обозначать

сводится к вычислению интегралов от рациональной функции с помощью подстановки, которую называют универсальной:

Вычисление неопределенных интегралов типа:

Универсальная тригонометрическая подстановка

зависимости от вида подынтегральной функции

то применяется подстановка cos x = t.

Если функция нечетна относительно sin x, то есть:

Если функция нечетна относительно cos x, то есть:

то применяется подстановка sin x = t.

Если функция четна относительно cos x и sin x, то есть:

тогда:

sin x = t

Если m – целое положительное нечетное число: cos x = t

Если m и n - целые неотрицательные четные числа, то применяются формулы понижения степени:

Если m + n - отрицательное четное целое число, то применяется подстановка: tg x = t

В этих двух случаях можно также произвести «отщепление» одной из нечетных степеней с последующим внесением под знак дифференциала.

Интегралы типа:

подстановок приводятся к интегралам от рациональных функций новой переменной.

Интегралы вида:

Интегралы вида:

где a, b, c, d – постоянные, приводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки:

где N – наименьшее общее кратное m и n.

видам функций, для каждой, из которой применяется свой вид подстановки:

2)

подстановка:

3)

подстановка:

интегралам от рациональных функций в трех случаях;:

2)

подстановка:

3)

подстановка:

Знаменатель дроби p

Знаменатель дроби p