Математическая статистика

Математическая статистика - наука, выявляющая закономерности повторяющихся случайных явлений на основе

Основные задачи мат. статистики:
1. Разработка методов анализа наблюдаемых случайных данных (

Определения.
Генеральная совокупность – все множество имеющихся наблюдений или объектов, относящихся

Выборка – набор наблюдений или объектов, случайно отобранных из генеральной совокупности.
Объем

Виды выборки

Повторная – каждый отобранный объект перед выбором следующего возвращается

NB!
Выборка должна быть репрезентативной (представительной).

Пусть с.в. Х принимает в выборке значение х1 n1 раз, х2

Статистический
ряд

Пример.
При проведении 20 бросков игральной кости число выпадений очков оказалось равным

Определение.
Последовательность наблюдений, записанных в порядке возрастания или убывания
х(1), х(2),…, х(к):

Определение.
Наблюдения, образующие вариационный ряд
х(1), х(2),…, х(к),
называются
порядковыми статистиками,
а их

ВОПРОС 30:

Группированные данные

Статистический ряд
для непрерывной с.в.

Полигон частот:

ломаная, отрезки которой соединяют точки с координатами
(x1, p1*),

Выборочная функция распределения и гистограмма

ВОПРОС 31:

Определение.
Выборочной (эмпирической) функцией распределения называют функцию F*(x), определяющую для каждого

Свойства F*(x)
(совпадают со свойствами F(x)):

1. 0 ≤ F*(x) ≤ 1.
2.

Эмпирическая плотность
распределения

которая в интервале ( Xi-1, Xi ] постоянна и

Гистограмма

ВОПРОС 32:

Оценки параметра положения: выборочное среднее, оценки моды и медианы

ОПРЕДЕЛЕНИЯ.

Выборочное среднее:

Мода:

Медиана:

ВОПРОС 33:

Оценки параметра масштаба:
оценки дисперсии, начальных и центральных моментов

ОПРЕДЕЛЕНИЯ.

Выборочной дисперсией
называется

Центральный эмпирический момент:

Начальный эмпирический момент:

Пример 1.

Найти числовые характеристики выборки

ВОПРОС 34:

Свойства оценок

Схема: k выборок одного и того же объема n и вычислим

Определение. Оценка некоторого признака называется АСИМПТОТИЧЕСКИ НЕСМЕЩЕННОЙ, если для выборки х1,

Определение. Статистическая оценка называется ЭФФЕКТИВНОЙ, если она при заданном объеме выборки

Определение. СОСТОЯТЕЛЬНОЙ называется статистическая оценка, которая при

стремится по вероятности

Теорема.
Выборочное среднее представляет собой несмещенную оценку математического ожидания E(Х).
Доказать

Выборочное дисперсия представляет собой смещенную оценку дисперсии:

Исправленная
выборочная дисперсия:

Исправленное
среднее квадратическое
отклонение

Определение. Оценка некоторого признака называется асимптотически несмещенной, если для выборки х1,

СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ ОЦЕНОК

ВОПРОС 35:

Метод максимального правдоподобия

Модель. ] Х – дискретная с.в., которая в результате п испытаний

Определение. Назовем функцией правдоподобия дискретной случайной величины Х функцию аргумента Θ,

Определение. Оценкой наибольшего правдоподобия называется оценка

при котором функция правдоподобия

Алгоритм поиска ММП-оценки:

ММП-оценки состоятельны (хотя могут быть смещенными), распределены асимптотически

ВОПРОС 36:

Метод моментов

] известный вид п.р. f(x, Θ1, Θ2 ) определяется двумя неизвестными

ВОПРОС 37:

Метод
наименьших квадратов

…)

Пример: y=ax+b

ВОПРОС 38:

Байесовский подход
к получению оценок

](Y, X) – случайный вектор,
для которого известна плотность р(Y|x) .

Для

ДВУМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

ВОПРОС 39:

Двумерные
случайные величины

Определение.

Двумерной случайной величиной называют систему из двух случайных величин

для

Определение.

Функция двух переменных

определенная для любых x и y, называется

Пример

ДИСКРЕТНАЯ ДВУМЕРНАЯ
СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА

Определение.

Двумерная случайная величина

называется дискретной, если

Табличная форма задания
двумерной случайной величины.
Пример

/

Определение.

Две дискретные случайные величины

называются независимыми, если

Пример.

НЕПРЕРЫВНАЯ ДВУМЕРНАЯ
СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА

Определение.

Двумерная случайная величина

называется непрерывной, если

Определение.

Функция

называется плотностью
распределения вероятностей
системы двух величин

Пример:

Для независимых с.в.

Отсюда

Аналогично:

Пример

Определение.

Двумерная случайная величина распределена нормально, если плотность распределения системы имеет

Для независимых с.в.

ВОПРОС 40:

Числовые
характеристики
двумерных случайных
величин

Определение.

Начальным моментом порядка (k, s) двумерной случайной величины (Х, Y)

Определение.

Центральным моментом порядка (k, s) двумерной случайной величины (Х, Y)

При этом E(Х) = α1,0, E(Y) = α0,1,
D(X) =

ВОПРОС 41:

Корреляционный
момент и
коэффициент
корреляции

Определение.

Корреляционным моментом системы двух случайных величин называется второй смешанный центральный

Безразмерной характеристикой коррелированности двух случайных величин является коэффициент корреляции

Определение.

Для независимых Х и Y f(x =f1(x)f2(y), тогда

Теорема.

Доказательство

ВОПРОС 44:

Статистическое
описание и вычисление
характеристик
двумерного
случайного вектора

Двумерная выборка представляет собой набор значений случайного вектора:
(х1, у1), (х2,