Механические системы

и внутренние силы
Масса системы, центр масс, момент инерции относительно оси
Моменты инерции относительно параллельных осей
Момент инерции относительно произвольной оси
Заключение

План лекции

В качестве примера подробно познакомились с колебательным движением точки

движения

Цель лекции

тела и 3) конструкции, состоящие из 1) и 2)
Динамику точки мы изучили
Переходим к изучению механических систем:
Механическая система:
- система материальных точек
- твердое тело
- система твердых тел

Введение

маccа к –ого элемента конструкции, моделируемого материальной точкой

Введение

Разобьем её на n частей (n – большое число)
3 Заменим каждую k-ю часть системы на материальную точку с массой равной массе этого элемента
4 Получим систему из N материальных точек с массами

Введение

Ньютона для k-й точки

(1)

(2)

- равнодействующая всех сил
(активных и реакций связей)

- радиус-вектор

ДУ движения механической системы

ДУ движения механической системы

ДУ движения механической системы

блок. Пренебрегая силами трения, массой троса и блока, определить ускорение грузов и натяжение троса.

С учетом

Получим

Пример 1

ньютоновского притяжения. Составить ДУ их движения.

Пример 2 (задача двух тел)

всех сил
(силы реакции связей и силы взаимодействия элементов конструкции между собой, которые чаще всего заранее неизвестны)
2. Большое число уравнений (10, 100, 100 000 000 …)
Расчет требует применения мощных компьютеров, разработки численных методов решения ДУ и изучения свойств материалов самой конструкции

Другой путь: Вводят характеристики движения (меры движения) и по их поведению судят о движении системы в целом.
Примеры: работа военкомата, конкурс красавиц.

ДУ движения механической системы

системы

3 – момент количества движения
(момент импульса) системы

4 – кинетическая энергия системы

МЕРЫ ДВИЖЕНИЯ механической системы:

этих характеристик:
Теорема о движении центра масс
Теорема об изменении количества движения
Теорема об изменении момента количества движения
Теорема об изменении кинетической энергии

точки этой системы со стороны тел не входящих в нее.

В статике мы рассматривали равновесие систем тел
и уже разделяли силы на внешние и внутренние

e

Внутренними называются силы взаимодействия между точками
данной механической системы.

i

Пример: Солнечная система:
Внешние силы - силы притяжения звезд
Внутренние силы - силы взаимодействия между
отдельными ее планетами

e

i

Внешние и внутренние силы

Внешние и внутренние силы

силе соответствует другая внутренняя сила, равная ей по модулю и противоположная по направлению.

Из этого следуют два свойства внутренних сил

1. Главный вектор внутренних сил системы равен нулю

2. Главный момент внутренних сил системы
относительно любого центра равен нулю

(4)

(3)

Два свойства внутренних сил

Два свойства внутренних сил

уже не определяют полностью меру инерции системы.
Например, вращение фигуриста будет происходить с разной угловой скоростью, в зависимости от того, прижаты или расставлены у него руки.

Масса материальной точки полностью характеризует
меру инерции точки. Согласно 2-му закону
Ньютона, движение точки при заданной массе
полностью определяется заданными силами, действующими
на точку и ее начальными условиями.

То есть движение механической системы зависит еще и от
распределения масс, определяемое координатами ее
отдельных точек. Поэтому наряду с массой системы
еще вводят понятия центра масс и момента инерции
относительно оси.

Масса системы, центр масс

k-й точки системы

(5)

- координаты k-й точки системы

- масса системы

Центр масс

для которого,
вес любой точки пропорционален массе

Вместе с тем, в отличие от центра тяжести, понятие центра масс сохраняет смысл и для систем, находящихся в любом силовом поле.

Центр масс и центр тяжести

Центр масс

сумме произведений масс всех точек тела (системы) на квадраты их расстояний до этой оси

Осевой момент инерции для вращающегося тела играет такую же роль, что масса при его поступательном движении

- осевой момент инерции

- расстояние от точки до оси

(6)

Момент инерции относительно оси

Момент инерции относительно оси

относительно осей x,y,z

Моменты инерции относительно осей x,y,z

нужно сосредоточить всю массу тела (системы), чтобы момент инерции одной этой точки был равен моменту инерции всего тела (системы)

(9)

Разобъем тело на элементарные части, в пределе сумма обратится в интеграл

(8)

Момент инерции сплошного тела

Радиус инерции тела

ей параллельной и проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением его массы на квадрат расстояния между осями

(10)

d расстояние между осями

момент инерции относительно центра масс тела

момент инерции тела относительно произвольной

Теорема Гюйгенса

произвольной оси l:

соответствующей оси

В отличие от осевых, центробежные моменты инерции могут быть как положительные, так и отрицательные и, в частности, при определенном выборе осей обращаться в нули

Центробежные моменты инерции характеризуют несимметричность распределения масс тела относительно координатных осей или плоскостей

Осевые и центробежные моменты инерции

Осевые и центробежные моменты инерции

масс, количество движения, момент количества движения, кинетическая энергия
Определены внешние и внутренние силы, действующим на систему
Показано, что сумма внутренних сил и сумма их моментов равны нулю
Дано определение массы, центра масс и момента инерции относительно оси
Доказана Теорема Гюйгенса о связи между моментами инерции относительно параллельных осей

Заключение

механической системы (конструкции) приближенно сводится к задаче о движении конечного числа материальных точек?
2. Какие основные сложности решения системы ДУ движения

материальных точек, описывающих движение материальной системы? Какой другой путь приближенного описания движения механических систем?
3. Какие силы называются внутренними, а какие внешними для выбранной механической системы?
4. Какими свойствами обладают внутренние силы, действующие на элементы механической системы?
5. Что называют центром масс системы? Как определяются его координаты?
6. Какая связь между центром масс и центром тяжести системы?
7. Как определяется момент инерции относительно оси? Что такое радиус инерции?

будет наименьшим?
9. Какова зависимость между моментами инерции относительно двух параллельных осей?
10. Как определяются центробежные моменты инерции и что они характеризуют?
11. Как определить момент инерции относительно произвольной оси, проходящей через начало системы координат

количества движения системы