Основи Теорії Ігор

Сентябрь 3, 2022

Главная
Алгебра
Основи Теорії Ігор

Содержание

2. Основи Теорії Ігор Теорія Прийняття рішень © ЄА. Лавров, 2014-2019 /30
3. Теорія Ігор Теорія Прийняття рішень © ЄА. Лавров, 2014-2019 /14
4. Лекція 7. Основні поняття Теорії ІГОР Зміст лекції: 1. Теорія ігор .Проблема Прийняття рішень в умовах
5. Теоретико-системные основы математического моделирования (с) Н.М. Светлов, 2006 /20 1.Теорія ігор .Проблема Прийняття рішень в умовах
6. Теорія ігор .Проблема Прийняття рішень в умовах конфлікту В теорії ігор розглядаються ситуації, пов'язані з прийняттям
7. Теорія ігор .Проблема Прийняття рішень в умовах конфлікту В ігровому конфлікті беруть участь два противника, іменовані
8. Теорія ігор .Проблема Прийняття рішень в умовах конфлікту При позначенні гравців через А і В з
9. Теоретико-системные основы математического моделирования (с) Н.М. Светлов, 2006 /20 2.Оптимальне рішення гри двох осіб з нульовою
10. 2. Оптимальне рішення гри двох осіб з нульовою сумою Оскільки гри беруть свій початок в конфлікті
11. 2. Оптимальне рішення гри двох осіб з нульовою сумою Приклад 1 . Дві компанії А і
12. 2. Оптимальне рішення гри двох осіб з нульовою сумою Приклад 1 продовження. Залежно від уміння й
13. 2. Оптимальне рішення гри двох осіб з нульовою сумою. Приклад 1. продовження Аналіз стратегій комп. А.
14. 2. Оптимальне рішення гри двох осіб з нульовою сумою. Приклад1.продовження Аналіз стратегій комп. B. Так як
15. 2. Оптимальне рішення гри двох осіб з нульовою сумою. Приклад1. продовження Оптимальним рішенням у грі є
16. 2. Оптимальне рішення гри двох осіб з нульовою сумою. Приклад 1. продовження Рішення, що відповідає сідловой
17. 2. Оптимальне рішення гри двох осіб з нульовою сумою. Приклад1. продовження Оптимальне рішення гри, що відповідає
18. 2. Оптимальне рішення гри двох осіб з нульовою сумою. Приклад2. Два гравці A і В грають
19. 2. Приклад2. Максиміна і мінімаксна величини (ціни) для цієї гри дорівнюють -1 дол. і 1 дол.
20. 2. Приклад2. Постійна спокуса кожного гравця перейти до іншої стратегії вказує на те, що рішення у
21. 2. Оптимальне рішення гри двох осіб з нульовою сумою Приклад 3 . Знайдіть рішення, яке визначається
22. 2. Оптимальне рішення гри двох осіб з нульовою сумою Приклад 3 . Знайдіть рішення, яке визначається
23. 2. Оптимальне рішення гри двох осіб з нульовою сумою Приклад 3 . Знайдіть рішення, яке визначається
24. 2. Оптимальне рішення гри двох осіб з нульовою сумою Приклад 4 . Вкажіть область, якій належить
25. 2. Оптимальне рішення гри двох осіб з нульовою сумою Приклад 4 . Вкажіть область, якій належить
26. 3.Рішення матричних ігор у змішаних стратегіях Теорія Прийняття рішень © ЄА. Лавров, 2014-2019 /14
27. 3Рішення матричних ігор у змішаних стратегіях Може бути знайдено графічно, або методами лінійного програмування. Графічний метод
28. 3Рішення матричних ігор у змішаних стратегіях. Постановка задачі Розглянемо гру 2 х n, в якій гравець
29. Теоретико-системные основы математического моделирования (с) Н.М. Светлов, 2006 /20 Рассмотрим следующую игру 2x4, в которой платежи
30. 3Рішення матричних ігор у змішаних стратегіях. Графічний метод рішення. Приклад. Рассмотрим следующую игру 2x4, в которой
31. 3Рішення матричних ігор у змішаних стратегіях. Графічний метод рішення. Приклад. Продовження 4 прямі лінії, відповідають чистим
32. 3Рішення матричних ігор у змішаних стратегіях. Графічний метод рішення. Приклад. Продовження Оптимальна змішана стратегія гравця В
33. 3Рішення матричних ігор у змішаних стратегіях. Графічний метод рішення. Приклад. Продовження Результат Рішення гри для гравця
34. 4. Рішення матричних ігор методами лінійного програмування Теорія Прийняття рішень © ЄА. Лавров, 2014-2019 /100
35. 4. Рішення матричних ігор методами лінійного програмування Теорія ігор знаходиться в тісному зв'язку з лінійним програмуванням,
36. 4. Рішення матричних ігор методами лінійного програмування Оптимальні значення ймовірностей xi, i = 1, 2, ...,
37. Довідка Джон фон Нейман . англ. John von Neumann), Нейман Янош Лайош (угор. Neumann János Lajos),
38. 4. Рішення матричних ігор методами лінійного програмування Оптимальні значення ймовірностей xi, i = 1, 2, ...,
39. 4. Рішення матричних ігор методами лінійного програмування Щоб сформулювати цю задачу у вигляді задачі лінійного програмування,
40. 4. Рішення матричних ігор методами лінійного програмування Щоб сформулювати цю задачу у вигляді задачі лінійного програмування,
41. 4. Рішення матричних ігор методами лінійного програмування Щоб сформулювати цю задачу у вигляді задачі лінійного програмування,
42. 4. Рішення матричних ігор методами лінійного програмування Відзначимо, що ціна гри v може бути як позитивною,
43. 4. Рішення матричних ігор методами лінійного програмування Дві отримані задачі оптимізують одну і ту ж (не
44. 5. Приклад рішення матричної гри методами лінійного програмування Теорія Прийняття рішень © ЄА. Лавров, 2014-2019 /100
45. 5. Приклад рішення матричної гри методами лінійного програмування Задача Значення ціни гри v знаходиться між -2
46. 5. Приклад рішення матричної гри методами лінійного програмування Задача Задача лінійного програмування и для гравця А
47. 5. Приклад рішення матричної гри методами лінійного програмування Задача Задача лінійного програмування и для гравця В
48. Теоретико-системные основы математического моделирования (с) Н.М. Светлов, 2006 /20
50. Скачать презентацию

Слайд 2

Основи
Теорії Ігор
Теорія Прийняття рішень
© ЄА. Лавров, 2014-2019
/30

Слайд 3

Теорія Ігор
Теорія Прийняття рішень
© ЄА. Лавров, 2014-2019
/14

Слайд 4

Лекція 7. Основні поняття Теорії ІГОР
Зміст лекції:
1. Теорія ігор .Проблема Прийняття

рішень в умовах конфлікту
2.Оптимальне рішення гри двох осіб з нульовою сумою.
3.Рішення матричних ігор у змішаних стратегіях
4. Рішення матричних ігор методами лінійного програмування
5. Приклад рішення матричної гри методами лінійного програмування

Теорія Прийняття рішень
© ЄА. Лавров, 2014-2019

/100

Слайд 5

Теоретико-системные основы математического моделирования (с) Н.М. Светлов, 2006
/20

1.Теорія ігор .Проблема Прийняття

рішень в умовах конфлікту

Слайд 6

Теорія ігор .Проблема Прийняття рішень в умовах конфлікту
В теорії ігор розглядаються

ситуації, пов'язані з прийняттям рішень, в яких :
два розумних противника
мають конфліктуючі цілі.
типові приклади
рекламування конкуруючих товарів
планування військових стратегій протиборчих армій.
Відмінність від попередніх ситуацій
Раніше природа не виступала в ролі противника (недоброзичливця)
яким відповідають платежі,
які залежать від випадкових станів
природи.

Теорія Прийняття рішень
© ЄА. Лавров, 2014-2019

/14

Слайд 7

Теорія ігор .Проблема Прийняття рішень в умовах конфлікту
В ігровому конфлікті беруть

участь два противника, іменовані гравцями,
кожен з яких має деяку множину (кінцеву або нескінчену) можливих виборів, які називаються стратегіями.
З кожною парою стратегій пов'язаний платіж, який один з гравців виплачує іншому.
Такі ігри відомі як ігри двох осіб з нульовою сумою, (виграш одного гравця дорівнює програшу іншого).
У такій грі достатньо задати
результати у вигляді платежів
для одного з гравців.

Теорія Прийняття рішень
© ЄА. Лавров, 2014-2019

/14

Слайд 8

Теорія ігор .Проблема Прийняття рішень в умовах конфлікту
При позначенні гравців через

А і В з числом стратегій
n і m відповідно гру зазвичай представляють у вигляді матриці платежів гравцеві А:
Таке представлення матричної гри означає, що
якщо гравець А використовує стратегію i,
а гравець В - стратегію j,
то платіж гравцеві А становить аij і, отже,
гравцеві В - (-аij ).

Теорія Прийняття рішень
© ЄА. Лавров, 2014-2019

/14

Слайд 9

Теоретико-системные основы математического моделирования (с) Н.М. Светлов, 2006
/20

2.Оптимальне рішення гри двох

осіб з нульовою сумою.

Слайд 10

2. Оптимальне рішення гри двох осіб з нульовою сумою
Оскільки гри беруть

свій початок в конфлікті інтересів, оптимальним рішенням гри є
одна або декілька таких стратегій для кожного з гравців,
при цьому будь-яке відхилення від даних стратегій не покращує плату того чи іншого гравця.
Ці рішення можуть бути у вигляді
єдиної чистої стратегії
або декількох стратегій, які є змішаними ( відповідно з заданими вірогідностями).
Розглянуті нижче приклади демонструють перераховані ситуації.

Теорія Прийняття рішень
© ЄА. Лавров, 2014-2019

/14

Слайд 11

2. Оптимальне рішення гри двох осіб з нульовою сумою
Приклад 1 .

Дві компанії А і В продають два види ліків проти грипу.
Компанія А рекламує продукцію
на радіо (А1),
телебаченні (А2)
і в газетах (А3).
Компанія В, на додаток до використання радіо (B1), телебачення (B2) і газет (B3), розсилає також поштою брошури (B4).

Теорія Прийняття рішень
© ЄА. Лавров, 2014-2019

/14

Слайд 12

2. Оптимальне рішення гри двох осіб з нульовою сумою
Приклад 1 продовження.

Залежно від уміння й інтенсивності проведення рекламної кампанії, кожна з компаній може залучити на свою сторону частину клієнтів конкуруючої компанії.
Наведена матриця характеризує відсоток клієнтів, залучених або втрачених компанією A.

Теорія Прийняття рішень
© ЄА. Лавров, 2014-2019

/14

Слайд 13

2. Оптимальне рішення гри двох осіб з нульовою сумою. Приклад 1.

продовження

Аналіз стратегій комп. А.
Рішення гри засноване на забезпеченні найкращого результату з найгірших для кожного гравця. Якщо компанія A вибирає стратегію A1, то, незалежно від того, що вживає компанія В, найгіршим результатом є втрата компанією А 3% ринку на користь компанії В. Це визначається мінімумом елементів першого рядка матриці платежів. Аналогічно при виборі стратегії A2 найгіршим результатом для компанії А є збільшення ринку на 5% за рахунок компанії В. Нарешті, найгіршим результатом при виборі стратегії A3 є втрата компанією А 9% ринку на користь компанії В.
Ці результати містяться в стовпці "Мінімуми рядків"

Теорія Прийняття рішень
© ЄА. Лавров, 2014-2019

/14

Слайд 14

2. Оптимальне рішення гри двох осіб з нульовою сумою. Приклад1.продовження

Аналіз

стратегій комп. B.
Так як елементи матриці є платежами компанії А,
критерій найкращого результату з найгірших для компанії В відповідає вибору мінімаксного значення.
В результаті приходимо до висновку, що вибором компанії В є стратегія B2.

Теорія Прийняття рішень
© ЄА. Лавров, 2014-2019

/14

Слайд 15

2. Оптимальне рішення гри двох осіб з нульовою сумою. Приклад1. продовження

Оптимальним рішенням у грі є вибір стратегій A2 і B2,
тобто обом компаніям слід проводити рекламу на телебаченні.
При цьому виграш буде на користь компанії А,
так як її ринок збільшиться на 5%.
У цьому випадку говорять, що
ціна гри дорівнює 5% і що
компанії А і В використовують стратегії, відповідні седловій точці.

Теорія Прийняття рішень
© ЄА. Лавров, 2014-2019

/14

Слайд 16

2. Оптимальне рішення гри двох осіб з нульовою сумою. Приклад 1.

продовження

Рішення, що відповідає сідловой точці, гарантує, що жодної компанії немає сенсу намагатися вибрати іншу стратегію.
Дійсно, якщо компанія В переходить до іншої стратегії (B1, B3 або B4), то компанія А може зберегти свій вибір стратегії A2, що призведе до більшої втрати ринку компанією B (6 або 8%).
З тих же причин компанії А немає резону використовувати іншу стратегію, бо якщо вона застосує, наприклад, стратегію A3, то компанія В може використовувати свою стратегію B3 і збільшити свій ринок на 9%
.Аналогічні висновки мають місце, якщо компанія А буде використовувати стратегію A1.

Теорія Прйняття рішень
© ЄА. Лавров, 2014-2019

/14

Слайд 17

2. Оптимальне рішення гри двох осіб з нульовою сумою. Приклад1. продовження

Оптимальне рішення гри, що відповідає сідловой точці,
не обов'язково має характеризуватися чистими стратегіями.
Замість цього оптимальне рішення може вимагати змішування випадковим чином двох або більше стратегій
( як це зроблено в наступному прикладі)

Теорія Прйняття рішень
© ЄА. Лавров, 2014-2019

/14

Слайд 18

2. Оптимальне рішення гри двох осіб з нульовою сумою. Приклад2.

Два гравці A і В грають у гру на підкидання монети.
Гравці одночасно і незалежно один від одного вибирають герб (Г) або решку (Р).
Якщо результати двох підкидань монети збігаються (тобто ГГ або РР), то гравець А отримує один долар від гравця В .
Інакше гравець А платить один долар гравцеві В.
Матриця платежів гравцеві А показує величини мінімальних елементів рядків і максимальних елементів стовпців, відповідних стратегій обох гравців.

Теорія Прйняття рішень
© ЄА. Лавров, 2014-2019

/14

Слайд 19

2. Приклад2.

Максиміна і мінімаксна величини (ціни) для цієї гри

дорівнюють
-1 дол. і 1 дол. відповідно.
Так як ці величини не рівні між собою,
гра не має рішення в чистих стратегіях.
Зокрема, якщо гравець А використовує стратегію AГ, гравець В вибере стратегію BР, щоб отримати від гравця А один долар. Якщо це станеться, гравець А може перейти до стратегії AР, щоб змінити результат гри і отримати один долар від гравця В.

Теорія Прйняття рішень
© ЄА. Лавров, 2014-2019

/14

Слайд 20

2. Приклад2.

Постійна спокуса кожного гравця перейти до іншої стратегії

вказує на те, що рішення у вигляді чистої стратегії неприйнятне.
Замість цього обидва гравці повинні використовувати належну випадкову комбінацію своїх стратегій.
У розглянутому прикладі оптимальне значення ціни гри знаходиться десь між максімінною і мінімаксною цінами для цієї гри:
Максиміна(нижня)ціна≤ ціна гри ≤ мінімаксна (верхня) ціна.
В даному випадку ціна гри (в доларах) повинна лежати в інтервалі
[-1,1] .

Теорія Прйняття рішень
© ЄА. Лавров, 2014-2019

/14

Слайд 21

2. Оптимальне рішення гри двох осіб з нульовою сумою
Приклад 3 .

Знайдіть рішення, яке визначається сідловою точкою
відповідні чисті стратегії та ціну гри для гри (платежі задані для гравця А)

Теорія Прийняття рішень
© ЄА. Лавров, 2014-2019

/14

Слайд 22

2. Оптимальне рішення гри двох осіб з нульовою сумою
Приклад 3 .

Знайдіть рішення, яке визначається сідловою точкою
відповідні чисті стратегії та ціну гри для гри (платежі задані для гравця А)
Рішення
Ціна гри = 4.

Теорія Прийняття рішень
© ЄА. Лавров, 2014-2019

/14

Слайд 23

2. Оптимальне рішення гри двох осіб з нульовою сумою
Приклад 3 .

Теорія Прийняття рішень
© ЄА. Лавров, 2014-2019

/14

Слайд 24

2. Оптимальне рішення гри двох осіб з нульовою сумою
Приклад 4 .

Вкажіть область, якій належить ціна гри припускаючи, що платежі задані для гравця А.

Теорія Прийняття рішень
© ЄА. Лавров, 2014-2019

/14

Слайд 25

2. Оптимальне рішення гри двох осіб з нульовою сумою
Приклад 4 .

Вкажіть область, якій належить ціна гри припускаючи, що платежі задані для гравця А.
Рішення
Позначимо через v ціну гри.
Тоді 2 < v < 4.

Теорія Прийняття рішень
© ЄА. Лавров, 2014-2019

/14

Слайд 26

3.Рішення матричних ігор у змішаних стратегіях
Теорія Прийняття рішень
© ЄА.

Лавров, 2014-2019

/14

Слайд 27

3Рішення матричних ігор у змішаних стратегіях
Може бути знайдено
графічно,
або методами

лінійного програмування.
Графічний метод можна застосовувати для вирішення ігор, в яких хоч один гравець має дві чисті стратегії.
Цікавий в тому плані, що графічно пояснює поняття сідлової точки.
Методами лінійного програмування може бути вирішена будь-яка гра двох осіб з нульовою сумою.

Теорія Прийняття рішень
© ЄА. Лавров, 2014-2019

/14

Слайд 28

3Рішення матричних ігор у змішаних стратегіях. Постановка задачі
Розглянемо гру 2 х

n, в якій гравець А має дві стратегії.
Гра передбачає, що гравець А змішує стратегії А1 и А2 з відповідними вірогідностями x1 та 1 - x1, 0 < x1 < 1.
Гравець Б змішує стратегії B1, B2, ..., BN з вірогідностями y1, y2, ..., yn,
де yJ ≥ 0, j = 1, 2, ..., n, та y1 + y2 + ... + yn = 1.
У цьому випадку очікуваний виграш гравця А, що відповідає j-й чистій стратегії гравця Б, обчислюється в вигляді (a1j - a2j)x1 - a2j, j = 1, 2, ..., n.
Отже, гравець А шукає величину x1, яка максимізує мінімум очікуваних виграшів

Теорія Прийняття рішень
© ЄА. Лавров, 2014-2019

/14

Слайд 29

Теоретико-системные основы математического моделирования (с) Н.М. Светлов, 2006
/20
Рассмотрим следующую игру 2x4, в

которой платежи выплачиваются игроку A.
Игра не имеет решения в чистых стратегиях, и, следовательно, стратегии должны быть смешанными. Ожидаемые выигрыши игрока А, соответствующие чистым стратегиям игрока В, приведены в следующей таблице

Слайд 30

3Рішення матричних ігор у змішаних стратегіях. Графічний метод рішення. Приклад.
Рассмотрим следующую игру

2x4, в которой платежи выплачиваются игроку A.
Игра не имеет решения в чистых стратегиях, и, следовательно, стратегии должны быть смешанными. Ожидаемые выигрыши игрока А, соответствующие чистым стратегиям игрока В, приведены в следующей таблице

/14

Слайд 31

3Рішення матричних ігор у змішаних стратегіях. Графічний метод рішення. Приклад. Продовження
4

прямі лінії, відповідають чистим стратегіям гравця В.
Щоб визначити найкращий результат з найгірших, побудована нижня обвідна чотирьох прямих (зображена товстими сегментами), яка представляє мінімальний (найгірший) виграш для гравця А незалежно від того, що робить гравець В. Максимум нижньою обвідної відповідає Максиміну (в точці x1 = 0,5).
Ця точка визначається
перетином прямих 3 і 4.

/14

Оптимальним рішенням для гравця А є змішування стратегій A1 і A2 з імовірностями 0,5 і 0,5 відповідно.
Відповідна ціна гри v визначається підстановкою x1 = 0,5 в рівняння
прямої 3, або 4

Слайд 32

3Рішення матричних ігор у змішаних стратегіях. Графічний метод рішення. Приклад. Продовження
Оптимальна змішана

стратегія гравця В визначається двома стратегіями, які формують нижню огибаючу графіка.
Це означає, що гравець В може змішувати стратегії B3 і B4, в цьому випадку y1 = y2 = 0 и y4 = 1- y3. Отже, очікувані платежі гравця В, що відповідають чистим стратегіям гравця А, мають вигляд

/14

Найкраще рішення з найгірших для гравця В являє собою точку мінімуму верхньої обвідної заданих двох прямих (побудувати самостійно). Ця процедура еквівалентна рішенням рівняння 4y3 - 1 = -4y3 + 6
Рішеня y3 = 7/8,

Ціна гри v = 4 х (7/8) - 1 =5/2

Слайд 33

3Рішення матричних ігор у змішаних стратегіях. Графічний метод рішення. Приклад. Продовження
Результат

Рішення гри для гравця А -змішування стратегій A1 і A2 з рівними ймовірностями 0,5 і 0,5,
а для гравця В - змішування стратегій B3 і B4, з вірогідністю 7/8 і 1/8. (Насправді гра має альтернативне рішення для гравця В, так як Максиміна точка на рис. 1 визначається більш ніж двома прямими. Будь яка опукла лінійна комбінація цих альтернативних рішень також є рішенням задачі.)

/14

Для гри, в якій гравець А має m стратегій, а гравець В - тільки дві, рішення знаходиться аналогічно. Головна відмінність полягає в тому, що тут будуються графіки функцій, що представляють очікувані платежі другого гравця, відповідні чистим стратегіям гравця А.
В результаті ведеться пошук мінімаксної точки верхньої обвідної побудованих прямих.

Слайд 34

Лавров, 2014-2019

/100

Слайд 35

4. Рішення матричних ігор методами лінійного програмування
Теорія ігор знаходиться в тісному

зв'язку з лінійним програмуванням,
так як будь-яку кінцеву гру двох осіб з нульовою сумою можна представити у вигляді задачі лінійного програмування і навпаки.

/14

Дж. Данциг зазначає, що, коли
в 1947 році творець теорії ігор Дж. фон Нейман
вперше ознайомився з симплекс-методом, він відразу встановив цей взаємозв'язок і звернув особливу увагу на концепцію подвійності в лінійному програмуванні.

Слайд 36

4. Рішення матричних ігор методами лінійного програмування
Оптимальні значення ймовірностей
xi, i =

1, 2, ..., m,
гравця А можуть бути визначені шляхом вирішення
максимінної задачі.

/14

Слайд 37

Довідка Джон фон Нейман
.
англ. John von Neumann),
Нейман Янош Лайош

(угор. Neumann János Lajos), Йоганн фон Нойман (нім. Johann von Neumann) * 28 грудня 1903 — † 8 лютого 1957) — американський математик угорського походження, що зробив значний вклад у квантову фізику, функціональний аналіз, теорію множин, інформатику, економічні науки та в інші численні розділи знання.
Він став засновником теорії ігор разом із Оскаром Морґенштерном у 1944 році.
Розробив архітектуру (так звану «архітектуру фон Неймана»), яка використовується в усіх сучасних комп'ютерах

/14

Слайд 38

4. Рішення матричних ігор методами лінійного програмування
Оптимальні значення ймовірностей
xi, i =

1, 2, ..., m,
гравця А можуть бути визначені шляхом вирішення
максимінної задачі.

/14

Слайд 39

4. Рішення матричних ігор методами лінійного програмування
Щоб сформулювати цю задачу у

вигляді задачі лінійного програмування, припустимо
Звідси витікає , що

/14
Тоді задача гравця м.б. сформульована як

Слайд 40

4. Рішення матричних ігор методами лінійного програмування
Щоб сформулювати цю задачу у

вигляді задачі лінійного програмування, припустимо
Звідси витікає , що

/14
Тоді задача гравця м.б. сформульована як

Слайд 41

4. Рішення матричних ігор методами лінійного програмування
Щоб сформулювати цю задачу у

вигляді задачі лінійного програмування, припустимо
Звідси витікає , що

/14
Тоді задача гравця м.б. сформульована як

Слайд 42

4. Рішення матричних ігор методами лінійного програмування
Відзначимо, що ціна гри

v може бути як позитивною, так і негативною.
Оптимальні стратегії y1, y2, ...,yn гравця В визначаються шляхом рішення задачі
Використовуючи процедуру, аналогічну наведеній вище для гравця А, приходимо до висновку, що задача для гравця В зводиться до задачі

/14

Слайд 43

4. Рішення матричних ігор методами лінійного програмування
Дві отримані задачі оптимізують одну

і ту ж (не обмежену в знаці) змінну v, яка є ціною гри.
Причиною цього є те, що задача гравця В є двоїстою до задачі гравця А.

/14

Це означає, що оптимальне рішення однієї із задач автоматично визначає оптимальне рішення іншої

Слайд 44

ЄА. Лавров, 2014-2019

/100

Слайд 45

5. Приклад рішення матричної гри методами лінійного програмування
Задача
Значення ціни гри v

знаходиться між -2 та 2.
? Що необхідно знайти????

/100

Слайд 46

5. Приклад рішення матричної гри методами лінійного програмування
Задача
Задача лінійного програмування и

для гравця А
Максимізувати z = v v - 3x1 + 2x2 + 5x3 ≤ 0, v + x1 - 4x2 + 6x3 ≤ 0, v + 3x1 + x2 - 2x3 ≤ 0, x1 + x2 + x3 = 1, x1, x2, x3 ≥ 0, v не обмежена в знаці.
Оптимальне рішення x1 = 0,39, x2 = 0,31, x3 = 0,29
v = -0,91.

/100

Слайд 47

5. Приклад рішення матричної гри методами лінійного програмування
Задача
Задача лінійного програмування и

для гравця В
Мінімізувати z = v v - 3y1 + y2 + 3y3 ≥ 0, v + 2y1 - 4y2 + y3 ≥ 0, v + 5y1 + 6y2 - 2y3 ≥ 0, y1 + y2 + y3 = 1, y1, y2, y3 ≥ 0, v не обмежена в знаці.
Оптимальне рішення y1 = 0,32, y2 = 0,08, y3 = 0,60
v = -0,91.

/100

Слайд 48

Основи Теорії Ігор

Содержание

Основи Теорії ІгорТеорія Прийняття рішень © ЄА. Лавров, 2014-2019/30

Теорія ІгорТеорія Прийняття рішень © ЄА. Лавров, 2014-2019/14

Лекція 7. Основні поняття Теорії ІГОРЗміст лекції:1. Теорія ігор .Проблема Прийняття

Теоретико-системные основы математического моделирования (с) Н.М. Светлов, 2006/20 1.Теорія ігор .Проблема Прийняття

Теорія ігор .Проблема Прийняття рішень в умовах конфлікту В теорії ігор розглядаються

Теорія ігор .Проблема Прийняття рішень в умовах конфлікту В ігровому конфлікті беруть

Теорія ігор .Проблема Прийняття рішень в умовах конфлікту При позначенні гравців через

Теоретико-системные основы математического моделирования (с) Н.М. Светлов, 2006/20 2.Оптимальне рішення гри двох

2. Оптимальне рішення гри двох осіб з нульовою сумою Оскільки гри беруть

2. Оптимальне рішення гри двох осіб з нульовою сумою Приклад 1 .

2. Оптимальне рішення гри двох осіб з нульовою сумою Приклад 1 продовження.

2. Оптимальне рішення гри двох осіб з нульовою сумою. Приклад 1.

2. Оптимальне рішення гри двох осіб з нульовою сумою. Приклад1.продовження Аналіз

2. Оптимальне рішення гри двох осіб з нульовою сумою. Приклад1. продовження

2. Оптимальне рішення гри двох осіб з нульовою сумою. Приклад 1.

2. Оптимальне рішення гри двох осіб з нульовою сумою. Приклад1. продовження

2. Оптимальне рішення гри двох осіб з нульовою сумою. Приклад2.

2. Приклад2. Максиміна і мінімаксна величини (ціни) для цієї гри

2. Приклад2. Постійна спокуса кожного гравця перейти до іншої стратегії

2. Оптимальне рішення гри двох осіб з нульовою сумою Приклад 3 .

2. Оптимальне рішення гри двох осіб з нульовою сумою Приклад 3 .

2. Оптимальне рішення гри двох осіб з нульовою сумою Приклад 3 .

2. Оптимальне рішення гри двох осіб з нульовою сумою Приклад 4 .

2. Оптимальне рішення гри двох осіб з нульовою сумою Приклад 4 .

3.Рішення матричних ігор у змішаних стратегіяхТеорія Прийняття рішень © ЄА.

3Рішення матричних ігор у змішаних стратегіях Може бути знайдено графічно, або методами

3Рішення матричних ігор у змішаних стратегіях. Постановка задачі Розглянемо гру 2 х

Теоретико-системные основы математического моделирования (с) Н.М. Светлов, 2006/20Рассмотрим следующую игру 2x4, в

3Рішення матричних ігор у змішаних стратегіях. Графічний метод рішення. Приклад. Рассмотрим следующую игру

3Рішення матричних ігор у змішаних стратегіях. Графічний метод рішення. Приклад. Продовження 4

3Рішення матричних ігор у змішаних стратегіях. Графічний метод рішення. Приклад. Продовження Оптимальна змішана

3Рішення матричних ігор у змішаних стратегіях. Графічний метод рішення. Приклад. Продовження Результат

4. Рішення матричних ігор методами лінійного програмуванняТеорія Прийняття рішень © ЄА.

4. Рішення матричних ігор методами лінійного програмування Теорія ігор знаходиться в тісному

4. Рішення матричних ігор методами лінійного програмування Оптимальні значення ймовірностейxi, i =

Довідка Джон фон Нейман . англ. John von Neumann), Нейман Янош Лайош

4. Рішення матричних ігор методами лінійного програмування Оптимальні значення ймовірностейxi, i =

4. Рішення матричних ігор методами лінійного програмування Щоб сформулювати цю задачу у

4. Рішення матричних ігор методами лінійного програмування Щоб сформулювати цю задачу у

4. Рішення матричних ігор методами лінійного програмування Щоб сформулювати цю задачу у

4. Рішення матричних ігор методами лінійного програмування Відзначимо, що ціна гри

4. Рішення матричних ігор методами лінійного програмування Дві отримані задачі оптимізують одну

5. Приклад рішення матричної гри методами лінійного програмуванняТеорія Прийняття рішень ©

5. Приклад рішення матричної гри методами лінійного програмування ЗадачаЗначення ціни гри v

5. Приклад рішення матричної гри методами лінійного програмування ЗадачаЗадача лінійного програмування и

5. Приклад рішення матричної гри методами лінійного програмування ЗадачаЗадача лінійного програмування и

Теоретико-системные основы математического моделирования (с) Н.М. Светлов, 2006/20

Похожие презентации

Основи
Теорії Ігор
Теорія Прийняття рішень
© ЄА. Лавров, 2014-2019
/30

Теорія Ігор
Теорія Прийняття рішень
© ЄА. Лавров, 2014-2019
/14

Лекція 7. Основні поняття Теорії ІГОР
Зміст лекції:
1. Теорія ігор .Проблема Прийняття

Теоретико-системные основы математического моделирования (с) Н.М. Светлов, 2006
/20

1.Теорія ігор .Проблема Прийняття

Теорія ігор .Проблема Прийняття рішень в умовах конфлікту
В теорії ігор розглядаються

Теорія ігор .Проблема Прийняття рішень в умовах конфлікту
В ігровому конфлікті беруть

Теорія ігор .Проблема Прийняття рішень в умовах конфлікту
При позначенні гравців через

Теоретико-системные основы математического моделирования (с) Н.М. Светлов, 2006
/20

2.Оптимальне рішення гри двох

2. Оптимальне рішення гри двох осіб з нульовою сумою
Оскільки гри беруть

2. Оптимальне рішення гри двох осіб з нульовою сумою
Приклад 1 .

2. Оптимальне рішення гри двох осіб з нульовою сумою
Приклад 1 продовження.

2. Оптимальне рішення гри двох осіб з нульовою сумою. Приклад1.продовження

Аналіз

2. Приклад2.

Максиміна і мінімаксна величини (ціни) для цієї гри

2. Приклад2.

Постійна спокуса кожного гравця перейти до іншої стратегії

2. Оптимальне рішення гри двох осіб з нульовою сумою
Приклад 3 .

2. Оптимальне рішення гри двох осіб з нульовою сумою
Приклад 3 .

2. Оптимальне рішення гри двох осіб з нульовою сумою
Приклад 3 .

2. Оптимальне рішення гри двох осіб з нульовою сумою
Приклад 4 .

2. Оптимальне рішення гри двох осіб з нульовою сумою
Приклад 4 .

3.Рішення матричних ігор у змішаних стратегіях
Теорія Прийняття рішень
© ЄА.

3Рішення матричних ігор у змішаних стратегіях
Може бути знайдено
графічно,
або методами

3Рішення матричних ігор у змішаних стратегіях. Постановка задачі
Розглянемо гру 2 х

Теоретико-системные основы математического моделирования (с) Н.М. Светлов, 2006
/20
Рассмотрим следующую игру 2x4, в

3Рішення матричних ігор у змішаних стратегіях. Графічний метод рішення. Приклад.
Рассмотрим следующую игру

3Рішення матричних ігор у змішаних стратегіях. Графічний метод рішення. Приклад. Продовження
4

3Рішення матричних ігор у змішаних стратегіях. Графічний метод рішення. Приклад. Продовження
Оптимальна змішана

3Рішення матричних ігор у змішаних стратегіях. Графічний метод рішення. Приклад. Продовження
Результат

4. Рішення матричних ігор методами лінійного програмування
Теорія Прийняття рішень
© ЄА.

4. Рішення матричних ігор методами лінійного програмування
Теорія ігор знаходиться в тісному

4. Рішення матричних ігор методами лінійного програмування
Оптимальні значення ймовірностей
xi, i =

Довідка Джон фон Нейман
.
англ. John von Neumann),
Нейман Янош Лайош

4. Рішення матричних ігор методами лінійного програмування
Оптимальні значення ймовірностей
xi, i =

4. Рішення матричних ігор методами лінійного програмування
Щоб сформулювати цю задачу у

4. Рішення матричних ігор методами лінійного програмування
Щоб сформулювати цю задачу у

4. Рішення матричних ігор методами лінійного програмування
Щоб сформулювати цю задачу у

4. Рішення матричних ігор методами лінійного програмування
Відзначимо, що ціна гри

4. Рішення матричних ігор методами лінійного програмування
Дві отримані задачі оптимізують одну

5. Приклад рішення матричної гри методами лінійного програмування
Теорія Прийняття рішень
©

5. Приклад рішення матричної гри методами лінійного програмування
Задача
Значення ціни гри v

5. Приклад рішення матричної гри методами лінійного програмування
Задача
Задача лінійного програмування и

5. Приклад рішення матричної гри методами лінійного програмування
Задача
Задача лінійного програмування и

Теоретико-системные основы математического моделирования (с) Н.М. Светлов, 2006
/20