Понятие определенного интеграла

Сентябрь 3, 2022

Главная
Алгебра
Понятие определенного интеграла

Содержание

2. Актуализация опорных знаний Вопросы 1) Что называется первообразной? 2) Что называется неопределённым интегралом? 3) Сформулировать свойства
3. Актуализация опорных знаний
4. Актуализация опорных знаний
5. Актуализация опорных знаний Вопросы: 4) Назовите действие обратное интегрированию. 5) Назовите методы интегрирования. 5) Правильность интегрирования
6. Содержание Задача о площади криволинейной трапеции Понятие интегральной суммы Геометрический смысл интегральной суммы Понятие определенного интеграла
7. Задача о площади криволинейной трапеции Пусть на отрезке [a, b] задана неотрицательная функция у=f(х). Требуется найти
8. Понятие интегральной суммы
9. Геометрический смысл интегральной суммы Sл= S1 + S2 +...+ Sn
10. Понятие определенного интеграла
11. Геометрический смысл определенного интеграла
12. Рассмотрим значения некоторых интегралов, используя известные планиметрические формулы для площадей плоских фигур. Например,
13. Экономический смысл интеграла
14. Экономический смысл интеграла
15. Условие существования определенного интеграла Теорема. Если функция у =f (x) непрерывна на отрезке [а, b], то
16. Пример нахождения определенного интеграла на основании определения Вычислить
17. Известно, что сумма квадратов чисел натурального ряда равна Пример нахождения определенного интеграла на основании определения Непосредственное
18. Интересно отметить, что впервые задачу этого рода решил Архимед. При помощи рассуждений, которые отдаленно напоминают современный
19. 1. Свойства определенного интеграла Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю Доказательство
20. 2. Свойства определенного интеграла При перемене местами верхнего и нижнего пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой
21. 3. Свойства определенного интеграла Доказательство
22. 4. Свойства определенного интеграла Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. Доказательство
23. 5. Свойства определенного интеграла Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от
24. 6. Свойства определенного интеграла По свойству 5 получаем т.е. обе части неравенства можно почленно интегрировать. Если
25. 7. Свойства определенного интеграла Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен
26. 8. Свойства определенного интеграла Если M – наибольшее значение функции f(x) на отрезке [a;b], а m
27. a) Интеграл от нечетной функции по симметричному отрезку равен нулю 9. Свойства определенного интеграла b) Интеграл
28. 9. Свойства определенного интеграла Доказательство
29. Теорема. Если функция непрерывна на [а, b], то существует такая точка, что Теорема о среднем Доказательство
30. Интеграл с переменным верхним пределом
31. Формула Ньютона - Лейбница Теорема. Если F(x)есть некоторая первообразная от непрерывной функции f(x), то справедлива формула
32. Формула Ньютона - Лейбница
33. Пример
34. Пример Вычислить:
35. Решение
36. Решение Используя формулу получим
37. Пример Вычислить:
38. Решение
40. Скачать презентацию

Слайд 2

Актуализация опорных знаний
Вопросы
1) Что называется первообразной?
2) Что называется неопределённым интегралом?
3) Сформулировать

свойства неопределённого интеграла

«Математика есть способ называть
разные вещи одним именем»
Анри Пуанкаре

Слайд 3

Актуализация опорных знаний

Слайд 4

Актуализация опорных знаний

Слайд 5

Актуализация опорных знаний
Вопросы:
4) Назовите действие обратное интегрированию.
5) Назовите методы интегрирования.
5) Правильность

интегрирования можно проверить…
6) Дописать продолжение формул

Слайд 6

Содержание
Задача о площади криволинейной трапеции
Понятие интегральной суммы
Геометрический смысл интегральной суммы
Понятие определенного

интеграла
Геометрический смысл определенного интеграла
Экономический смысл интеграла
Условие существования определенного интеграла
Пример нахождения определенного интеграла на основании определения
Свойства определенного интеграла
Теорема о среднем
Интеграл с переменным верхним пределом
Формула Ньютона - Лейбница

Слайд 7

Задача о площади криволинейной трапеции
Пусть на отрезке [a, b] задана неотрицательная

функция у=f(х). Требуется найти площадь S криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x), прямыми х = а, х =b и осью
абсцисс у =0

S ~ Sл

За искомую площадь S возьмем предел площади Sл под ломаной в предположении неограниченного приближения ломаной к заданной кривой.

Слайд 8

Понятие интегральной суммы

Слайд 9

Геометрический смысл интегральной суммы

Sл= S1 + S2 +...+ Sn

Слайд 10

Понятие определенного интеграла

Слайд 11

Геометрический смысл определенного интеграла

Слайд 12

Рассмотрим значения некоторых интегралов, используя известные планиметрические формулы для площадей

плоских фигур. Например,

Слайд 13

Экономический смысл интеграла

Слайд 14

Экономический смысл интеграла

Слайд 15

Условие существования определенного интеграла
Теорема. Если функция у =f (x) непрерывна
на отрезке

[а, b], то она интегрируема на этом отрезке.

Слайд 16

Пример нахождения определенного интеграла на основании определения
Вычислить

Слайд 17

Известно, что сумма квадратов чисел натурального ряда равна

Пример нахождения определенного интеграла

на основании определения

Непосредственное вычисление определенного интеграла связано с трудностями – интегральные суммы сколько-нибудь сложных функций имеют громоздкий вид и зачастую нелегко преобразовать их к виду, удобному для вычисления пределов.

Слайд 18

Интересно отметить, что впервые задачу этого рода решил Архимед. При помощи

рассуждений, которые отдаленно напоминают современный метод пределов, он вычислил площадь сегмента параболы. В дальнейшем на протяжении веков многие математики решали задачи на вычисление площади фигур и объемов тел. Все же еще в XVII веке постановка таких задач и методы их решения носили сугубо частный характер. Существенный сдвиг в этом вопросе внесли Ньютон и Лейбниц, указавшие общий метод решения таких задач. Они показали, что вычисление определенного интеграла от функции может быть сведено к отысканию ее первообразной.

Слайд 19

1. Свойства определенного интеграла
Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен

нулю

Доказательство

Слайд 20

2. Свойства определенного интеграла
При перемене местами верхнего и нижнего пределов

интегрирования определенный интеграл меняет свой знак.

Доказательство

Слайд 21

3. Свойства определенного интеграла
Доказательство

Слайд 22

4. Свойства определенного интеграла
Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла,

т.е.

Доказательство

Слайд 23

5. Свойства определенного интеграла
Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен

такой же сумме интегралов от этих функций, т.е.

Доказательство

Слайд 24

6. Свойства определенного интеграла
По свойству 5 получаем
т.е. обе части неравенства

можно почленно интегрировать.

Если на [а, b]

, то

Доказательство

Слайд 25

7. Свойства определенного интеграла
Если отрезок интегрирования разбит на части, то

интеграл
на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших
частей, т.е. при любых а, b, с:

Доказательство

Слайд 26

8. Свойства определенного интеграла
Если M – наибольшее значение функции f(x)

на отрезке [a;b], а m – наименьшее значение функции f(x) на отрезке [a;b], то:

Доказательство

Слайд 27

a) Интеграл от нечетной функции по симметричному отрезку равен нулю
9. Свойства

определенного интеграла

b) Интеграл от четной функции по симметричному отрезку равен удвоенному
интегралу по половине отрезка

Слайд 28

9. Свойства определенного интеграла

Доказательство

Слайд 29

Теорема. Если функция непрерывна на [а, b], то существует такая точка,

что

Теорема о среднем

Доказательство

Слайд 30

Интеграл с переменным верхним пределом

Слайд 31

Формула Ньютона - Лейбница
Теорема. Если F(x)есть некоторая первообразная от непрерывной функции

f(x), то справедлива формула
Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница.

Слайд 32

Формула Ньютона - Лейбница

Слайд 33

Пример

Слайд 34

Пример
Вычислить:

Слайд 35

Решение

Слайд 36

Решение
Используя формулу
получим

Слайд 37

Пример
Вычислить:

Слайд 38

Понятие определенного интеграла

Содержание

Актуализация опорных знанийВопросы1) Что называется первообразной?2) Что называется неопределённым интегралом?3) Сформулировать

Актуализация опорных знаний

Актуализация опорных знаний

Актуализация опорных знанийВопросы:4) Назовите действие обратное интегрированию.5) Назовите методы интегрирования.5) Правильность

СодержаниеЗадача о площади криволинейной трапецииПонятие интегральной суммыГеометрический смысл интегральной суммыПонятие определенного

Задача о площади криволинейной трапецииПусть на отрезке [a, b] задана неотрицательная

Понятие интегральной суммы

Геометрический смысл интегральной суммы Sл= S1 + S2 +...+ Sn

Понятие определенного интеграла

Геометрический смысл определенного интеграла

Рассмотрим значения некоторых интегралов, используя известные планиметрические формулы для площадей

Экономический смысл интеграла

Экономический смысл интеграла

Условие существования определенного интегралаТеорема. Если функция у =f (x) непрерывнана отрезке

Пример нахождения определенного интеграла на основании определенияВычислить

Известно, что сумма квадратов чисел натурального ряда равна Пример нахождения определенного интеграла

Интересно отметить, что впервые задачу этого рода решил Архимед. При помощи

1. Свойства определенного интеграла Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен

2. Свойства определенного интеграла При перемене местами верхнего и нижнего пределов

3. Свойства определенного интеграла Доказательство

4. Свойства определенного интеграла Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла,

5. Свойства определенного интеграла Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен

6. Свойства определенного интеграла По свойству 5 получаемт.е. обе части неравенства

7. Свойства определенного интеграла Если отрезок интегрирования разбит на части, то

8. Свойства определенного интеграла Если M – наибольшее значение функции f(x)

a) Интеграл от нечетной функции по симметричному отрезку равен нулю9. Свойства

9. Свойства определенного интеграла Доказательство

Теорема. Если функция непрерывна на [а, b], то существует такая точка,

Интеграл с переменным верхним пределом

Формула Ньютона - ЛейбницаТеорема. Если F(x)есть некоторая первообразная от непрерывной функции

Формула Ньютона - Лейбница

Пример

ПримерВычислить:

Решение

РешениеИспользуя формулуполучим

ПримерВычислить:

Решение

Похожие презентации

Актуализация опорных знаний
Вопросы
1) Что называется первообразной?
2) Что называется неопределённым интегралом?
3) Сформулировать

Актуализация опорных знаний
Вопросы:
4) Назовите действие обратное интегрированию.
5) Назовите методы интегрирования.
5) Правильность

Содержание
Задача о площади криволинейной трапеции
Понятие интегральной суммы
Геометрический смысл интегральной суммы
Понятие определенного

Задача о площади криволинейной трапеции
Пусть на отрезке [a, b] задана неотрицательная

Геометрический смысл интегральной суммы

Sл= S1 + S2 +...+ Sn

Условие существования определенного интеграла
Теорема. Если функция у =f (x) непрерывна
на отрезке

Пример нахождения определенного интеграла на основании определения
Вычислить

Известно, что сумма квадратов чисел натурального ряда равна

Пример нахождения определенного интеграла

1. Свойства определенного интеграла
Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен

2. Свойства определенного интеграла
При перемене местами верхнего и нижнего пределов

3. Свойства определенного интеграла
Доказательство

4. Свойства определенного интеграла
Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла,

5. Свойства определенного интеграла
Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен

6. Свойства определенного интеграла
По свойству 5 получаем
т.е. обе части неравенства

7. Свойства определенного интеграла
Если отрезок интегрирования разбит на части, то

8. Свойства определенного интеграла
Если M – наибольшее значение функции f(x)

a) Интеграл от нечетной функции по симметричному отрезку равен нулю
9. Свойства

9. Свойства определенного интеграла

Доказательство

Формула Ньютона - Лейбница
Теорема. Если F(x)есть некоторая первообразная от непрерывной функции

Пример
Вычислить:

Решение
Используя формулу
получим

Пример
Вычислить: