Приложение к вопросу 02: вывод формулы Резерфорда

Август 5, 2022

Главная
Физика
Приложение к вопросу 02: вывод формулы Резерфорда

Содержание

2. Для удобства продублируем несколько слайдов из предыдущей презентации Схема опытов Резерфорда (Rutherford E.) 1- свинцовый контейнер,
3. Рассеяние частиц атомными ядрами. О - центр рассеяния (ядро атома). Детектор с площа-дью рабочей поверхности dS
4. Количество частиц dN, летящих внутри телесного уг-ла dΩ, и зарегистрированных детектором за еди-ницу времени, равно: dN
5. Из формулы (2.1) находим эффективное сечение: (2.2) Разделив обе части формулы (2.2) на dΩ, находим характеристику,
6. Упругое рассеяние альфа-частиц на ядрах атомов (рассеяние Резерфорда)
7. Для этого процесса (упругого рассеяния альфа-час-тиц на ядрах атомов) Э.Резерфорд получил фор-мулу, носящую его имя (формула
8. Вывод формулы Резерфорда Потенциальная энергия частицы в поле ядра: Кинетическая энергия частицы: Закон сохранения энергии имеет
9. Вывод формулы Резерфорда Из (2.7) находим: подставляем в (2.6): Отсюда: (2.8) Чтобы получить уравнение траектории, исключаем
10. Вывод формулы Резерфорда Подставляем (2.9) в (2.8): (2.10) Делаем замену переменной: и подставляем в (2.10): (2.11)
11. Дифференцируем (2.11) по ϕ: или (2.12) Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка. Его общее решение
12. Одно из частных решений уравнения (2.12) можно найти сразу: (2.14) Уравнение (2.13) - это уравнение гармонических
13. Чтобы найти константу В, заметим, что ордината y любой точки траектории связана с r и ϕ
14. Таким образом, уравнение, связывающее r и ϕ (т.е. уравнение траектории частицы) можно записать в виде: (2.19)
15. Используя тригонометрические тождества запишем (2.20) в виде Отсюда получаем соотношение между углом рассея-ния θ и прицельным
16. Для сравнения с опытом надо вычислить эффективное сечение рассеяния Эффективное сечение равно площади кольца: (2.23) Дифференцируя
18. Скачать презентацию

Слайд 2

Для удобства продублируем несколько слайдов из предыдущей презентации
Схема опытов Резерфорда (Rutherford

E.)
1- свинцовый контейнер, 2- источник альфа-частиц, 3- пучок альфа-частиц, 4- тонкая металлическая фольга, 5- сцинтиллятор, 6- микроскоп, 7- глаз наблюдателя.

Слайд 3

Рассеяние частиц атомными ядрами.
О - центр рассеяния (ядро атома). Детектор с

площа-дью рабочей поверхности dS регистрирует части-цы, рассеянные под углом θ - (угол рассеяния), и летящие внутри телесного угла dΩ.

Слайд 4

Количество частиц dN, летящих внутри телесного уг-ла dΩ, и зарегистрированных детектором

за еди-ницу времени, равно:
dN = dσ·n1·v1·n2·V , (2.1)
где n1 - плотность частиц в налетающем пучке, v1 - их скорость, n2 - число ядер в единице объема мише-ни, V - рабочий объем мишени, равный произведе-нию площади поперечного сечения пучка на тол-щину мишени, если частицы пролетают сквозь ми-шень (в этом случае мишень называется "тонкая"). Если частицы останавливаются внутри мишени, то площадь поперечного сечения пучка надо умно-жить на глубину проникновения частиц, в этом слу-чае мишень называется "толстая". Коэффициент dσ называется "эффективным сечением".

Слайд 5

Из формулы (2.1) находим эффективное сечение:
(2.2)
Разделив обе части формулы (2.2) на

dΩ, находим характеристику, которая называется "дифферен-циальное эффективное сечение":
(2.3)
Проинтегрировав (2.2) или (2.3) по всему телесному углу Ω, получаем величину, которая называется "полное сечение":
(2.4)

Слайд 6

Упругое рассеяние альфа-частиц на ядрах атомов (рассеяние Резерфорда)

Слайд 7

Для этого процесса (упругого рассеяния альфа-час-тиц на ядрах атомов) Э.Резерфорд получил

фор-мулу, носящую его имя (формула Резерфорда):
(2.5)
Обозначения: m, v - масса и скорость налетающей частицы, q1 и q2 - электрические заряды налетаю-щей частицы и ядра соответственно. Для альфа-частицы q1 = 2e, для ядра q2 = Ze, e - элементарный электрический заряд, по абсолютной величине равный заряду электрона; Z - число протонов в яд-ре атома мишени, ε0 - электрическая постоянная.

Слайд 8

Вывод формулы Резерфорда
Потенциальная энергия частицы
в поле ядра:
Кинетическая энергия частицы:
Закон сохранения энергии

имеет вид:
(2.6)
где E = const – полная энергия частицы.
Закон сохранения момента импульса:
(2.7)
где b – прицельный параметр, v - скорость частицы вдали от центра рассеяния.

Слайд 9

Вывод формулы Резерфорда
Из (2.7) находим:
подставляем в (2.6):
Отсюда:
(2.8)
Чтобы получить уравнение траектории, исключаем

время:
(2.9)

Слайд 10

Вывод формулы Резерфорда
Подставляем (2.9) в (2.8):
(2.10)
Делаем замену переменной:
и подставляем в (2.10):
(2.11)

Слайд 11

Дифференцируем (2.11) по ϕ:
или
(2.12)
Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка. Его

общее решение мож-но записать как сумму: любое частное решение плюс общее решение однородного уравнения
(2.13)

Слайд 12

Одно из частных решений уравнения (2.12) можно найти сразу:
(2.14)
Уравнение (2.13) -

это уравнение гармонических ко-лебаний; вид его общего решения общеизвестен:
Таким образом, общее решение уравнения (2.12):
(2.15)
Чтобы найти константы А и В, используем граничные
условия. При угле расстояние от частицы до
ядра , следовательно, z = 0. Подставляя в
(2.15), находим:
(2.16)

Слайд 13

Чтобы найти константу В, заметим, что ордината y
любой точки траектории

связана с r и ϕ соотношени-
ем y = r⋅sinϕ, или
(2.17)
С другой стороны, из (2.15) с учетом (2.16), находим:
Подставляя сюда (2.17), получаем:
При угле ордината , а ,
Отсюда (2.18)

Слайд 14

Таким образом, уравнение, связывающее r и ϕ (т.е.
уравнение траектории частицы) можно

записать в
виде:
(2.19)
После рассеяния угол , расстояние от части-цы до ядра , поэтому из (2.19) в пределе получаем
(2.20)

Слайд 15

Используя тригонометрические тождества
запишем (2.20) в виде
Отсюда получаем соотношение между углом рассея-ния

θ и прицельным параметром b:
(2.21)
или
(2.22)

Слайд 16

Для сравнения с опытом надо вычислить эффективное сечение рассеяния
Эффективное сечение

равно площади кольца:
(2.23)
Дифференцируя уравнение (2.21), находим:
(2.24)
Отсюда
(2.25)
Подставляя (2.22) и (2.25) в (2.23), получаем:
(2.26)

Приложение к вопросу 02: вывод формулы Резерфорда

Содержание

Для удобства продублируем несколько слайдов из предыдущей презентацииСхема опытов Резерфорда (Rutherford

Рассеяние частиц атомными ядрами.О - центр рассеяния (ядро атома). Детектор с

Количество частиц dN, летящих внутри телесного уг-ла dΩ, и зарегистрированных детектором

Из формулы (2.1) находим эффективное сечение:(2.2)Разделив обе части формулы (2.2) на

Упругое рассеяние альфа-частиц на ядрах атомов (рассеяние Резерфорда)

Для этого процесса (упругого рассеяния альфа-час-тиц на ядрах атомов) Э.Резерфорд получил

Вывод формулы РезерфордаПотенциальная энергия частицыв поле ядра:Кинетическая энергия частицы:Закон сохранения энергии

Вывод формулы РезерфордаИз (2.7) находим:подставляем в (2.6):Отсюда:(2.8)Чтобы получить уравнение траектории, исключаем

Вывод формулы РезерфордаПодставляем (2.9) в (2.8):(2.10)Делаем замену переменной:и подставляем в (2.10):(2.11)

Дифференцируем (2.11) по ϕ:или(2.12)Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка. Его

Одно из частных решений уравнения (2.12) можно найти сразу:(2.14)Уравнение (2.13) -

Чтобы найти константу В, заметим, что ордината y любой точки траектории

Таким образом, уравнение, связывающее r и ϕ (т.е.уравнение траектории частицы) можно

Используя тригонометрические тождествазапишем (2.20) в видеОтсюда получаем соотношение между углом рассея-ния

Для сравнения с опытом надо вычислить эффективное сечение рассеяния Эффективное сечение

Похожие презентации