ТЕМА: Объемы тел Проект выполнили ученицы 11 «А»класса МОУ Алексеевской СОШ Плешакова Дарья и Щукова Ксения Работа выполнена под

Август 25, 2022

Главная
Геометрия
ТЕМА: Объемы тел Проект выполнили ученицы 11 «А»класса МОУ Алексеевской СОШ Плешакова Дарья и Щукова Ксения Работа выполнена под

Содержание

2. Содержание: История изучения объемов тел. История измерения объемов тел. Понятие объема. Свойства объемов тел. Объем куба.
3. История изучения объемов тел: Начало геометрии было положено в древности при решении чисто практических задач. Со
4. Архимед В древнеегипетских папирусах, в вавилонских клинописных табличках встречаются правила для определения объема усеченной пирамиды, но
5. История измерения объемов тел: В Древнем Египте гробницы фараонов имели форму пирамид. В III тысячелетии до
6. Демокрит Согласно Архимеду, еще в V до н.э. Демокрит из Абдеры установил, что объем пирамиды равен
7. Евклид Полное доказательство этой теоремы дал Евдокс Книдский в IV до н.э.
8. Теоремы Евклида Объемы зерновых амбаров и других сооружений в виде кубов, призм и цилиндров египтяне и
9. Понятие объема: Объем — это вместимость геометрического тела, т. е. части пространства, ограниченной одной или несколькими
10. Объемом тела называется положительная величина, характеризующая часть пространства, занимаемую телом, и обладающая следующими свойствами: равные тела
11. Свойства объемов тел: Объем тела есть неотрицательное число; Если геометрическое тело составлено из геометрических тел, не
12. Объем куба: V=a³
13. Объем прямоугольного параллелепипеда: Для того чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда с линейными размерами a, b, c
14. Примеры из жизни:
15. Объем прямой призмы: Объем прямой призмы равен произведению площади основания на высоту: V = SH .
16. Объем цилиндра: Данное тело имеет объем V, если существуют содержащие его простые тела и содержащиеся в
17. Примеры из жизни:
18. Объем наклонной призмы: Объем наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту. Доказательство. Пусть площадь основания
19. Объем пирамиды: Объем любой пирамиды равен одной третьей произведения площади ее основания на высоту: V=1/3SH
20. Примеры из жизни:
21. Объем конуса: Объем конуса вычисляется по формуле где R — радиус основания конуса, H -- его
22. Примеры из жизни:
23. Применение: Формулы объемов тел широко применяются в строительстве
24. Объем цилиндра :V= ПR^2H Объем цилиндра :V= ПR^2H
25. V=1/3ПR^2H Объем конуса V=1/3ПR^2H Объем конуса Объем параллелепипеда V=SH
26. Вывод: 1.Объем куба равен кубу его ребра: V=a³ 2.Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его измерений: V=abc.
27. Источники информации: Учебник геометрии 11класс. Авторы:Л.С.Атанасян,В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев. http://e-science.ru/ http://www.freesession.ru/ http://festival.1september.ru/
28. СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!!!
30. Скачать презентацию

Слайд 2

Содержание:
История изучения объемов тел.
История измерения объемов тел.
Понятие объема.
Свойства объемов тел.
Объем куба.
Объем

прямоугольного параллелепипеда.
Объем прямой призмы.
Объем цилиндра.
Объем наклонной призмы.
Объем пирамиды.
Объем конуса.
Применение.
Вывод.
Источники информации.

Слайд 3

История изучения объемов тел:
Начало геометрии было положено в древности при решении

чисто практических задач. Со временем, когда накопилось большое количество геометрических фактов, у людей появилось потребность обобщения, уяснения зависимости одних элементов от других, установления логических связей и доказательств. Постепенно создавалась геометрическая наука. Примерно в VI - V вв. до н. э. в Древней Греции в геометрии начался новый этап развития, что объясняется высоким уровнем, которого достигла общественно-политическая и культурная жизнь в греческих государствах.

Слайд 4

Архимед
В древнеегипетских папирусах, в вавилонских клинописных табличках встречаются правила для

определения объема усеченной пирамиды, но не сообщаются правила для вычисления объема полной пирамиды. Определять объем призмы, пирамиды, цилиндра и конуса умели древние греки и до Архимеда. И только он нашел общий метод, позволяющий определить любую площадь или объем. Идеи Архимеда легли в основу интегрального исчисления. Сам Архимед определил с помощью своего метода площади и объемы почти всех тел, которые рассматривались в античной математике. Он вывел, что объем шара, составляет две трети от объема описанного около него цилиндра. Он считал это открытие самым большим своим достижением.

Слайд 5

История измерения объемов тел:
В Древнем Египте гробницы фараонов имели форму пирамид.

В III тысячелетии до н.э. египтяне сооружали ступенчатые пирамиды, сложенные из каменных блоков; позже египетские пирамиды приобрели геометрически правильную форму, например пирамида Хеопса, высота которой достигает почти 147м, и др. Внутри пирамид находились погребальные склепы и коридоры.

Слайд 6

Демокрит
Согласно Архимеду, еще в V до н.э. Демокрит из Абдеры

установил, что объем пирамиды равен одной трети объема призмы с тем же основанием и той же высотой.

Слайд 7

Евклид
Полное доказательство этой теоремы дал Евдокс Книдский в IV до н.э.

Слайд 8

Теоремы Евклида
Объемы зерновых амбаров и других сооружений в виде

кубов, призм и цилиндров египтяне и вавилоняне, китайцы и индийцы вычисляли путем умножения площади основания на высоту. Однако древнему Востоку были известны в основном только отдельные правила, найденные опытным путем, которыми пользовались для нахождения объемов для площадей фигур. В более позднее время, когда геометрия сформировалась как наука, был найден общий подход к вычислению объемов многогранников. Евклид не применяет термина “объем”. Для него термин “куб”, например, означает, и объем куба. В ХI книге “Начал” изложены среди других и теоремы следующего содержания.
Параллелепипеды с одинаковыми высотами и равновеликими основаниями равновелики.
Отношение объемов двух параллелепипедов с равными высотами равно отношению площадей их оснований.

Слайд 9

Понятие объема:
Объем — это вместимость геометрического тела, т. е. части

пространства, ограниченной одной или несколькими замкнутыми поверхностями. Вместимость или емкость выражается числом заключающихся в объеме кубических единиц. Процедура измерения объемов аналогична процедуре измерения площадей. При выбранной единице измерения объем каждого тела выражается положительным числом, которое показывает, сколько единиц измерения объемов и частей единицы содержится в данном теле. Ясно, что число, выражающее объем тела, зависит от выбора единицы измерения объемов, и поэтому единица измерения объемов указывается после этого числа.
Например, если в качестве единицы измерения объемов взят 1см3 и при этом объем V некоторого тела оказался равным 2, то пишут V = 2 см3.

Слайд 10

Объемом тела называется положительная величина, характеризующая часть пространства, занимаемую телом, и

обладающая следующими свойствами:
равные тела имеют равные объемы; при параллельном переносе тела его объем не изменяется;
если тело разбить на части, являющиеся простыми телами, то объем тела равен объему его частей;
за единицу объема принят объем куба, ребро которого равно единице длины;

Слайд 11

Свойства объемов тел:
Объем тела есть неотрицательное число;
Если геометрическое тело составлено

из геометрических тел, не имеющих общих внутренних точек, то объем данного тела равен сумме объемов тел его составляющих;
Объем куба, ребро которого равно единице измерения длины, равен единице;
Равные геометрические тела имеют равные объемы.
Следствие. Если тело имеет объем V1 и содержится в теле, имеющем объем V2, то V1 < V2.

Слайд 12

Объем куба:
V=a³

Слайд 13

Объем прямоугольного параллелепипеда:
Для того чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда с линейными

размерами a, b, c докажем, что объемы двух прямоугольных параллелепипедов с равными основаниями относятся как их высоты.
Пусть P и P1 – два прямоугольных параллелепипеда с общим основанием ABCD и высотами AE и AE1. Будем считать для определенности, что AE1 < AE. Пусть V и V1 – объемы параллелепипедов. Разобьем ребро AE параллелепипеда P на большое число n равных частей. Каждая из них равна AE/n. Пусть m – число точек деления, которые лежат на ребре AE1. Тогда Отсюда Проведем через точки деления плоскости, параллельные основанию. Они разобьют параллелепипед P на n равных параллелепипедов. Каждый из них имеет объем V/n. Параллелепипед P1 содержит первые m параллелепипедов, считая снизу, и содержится в m+1 параллелепипедах. Поэтому Отсюда Так как V1/V и AE1/AE заключены между m/n и m/n + 1/n, то они отличаются не более чем на 1/n. А так как n можно взять сколь угодно большим, то это может быть только при что и требовалось доказать. Возьмем теперь куб, являющийся единицей измерения объема, и три прямоугольных параллелепипеда с измерениями: a, 1, 1; a, b, 1; a, b, c. Обозначим, их объемы V1, V2 и V соответственно. По доказанному

Перемножая эти равенства почленно, получим: V=abc.

Слайд 14

Примеры из жизни:

Слайд 15

Объем прямой призмы:
Объем прямой призмы равен произведению площади основания на высоту:

V = SH .
Доказательство :
Пусть ABCA 1 B 1 C 1 – прямая треугольная призма, причем ее основание – прямоугольный треугольник ABC (чертеж 6.1.1). Дополним эту призму до прямоугольного параллелепипеда ACBDA 1 C 1 B 1 D 1. Середина O диагонали AB 1 этого параллелепипеда является его центром симметрии. Данная призма и призма ABDA 1 B 1 D 1, которая дополняет данную призму до параллелепипеда, симметричны относительно точки O , а поэтому равновелики. Пусть V и V 1 – соответственно объемы призмы ABCA 1 B 1 C 1 и параллелепипеда, тогда получим
V=SABCCC1=SоснH

Слайд 16

Объем цилиндра:
Данное тело имеет объем V, если существуют содержащие его простые

тела и содержащиеся в нем простые тела с объемами, сколь угодно мало отличающимися от V.
Найдем объем цилиндра с радиусом основания R и высотой H. Построим две прямые призмы с высотой H такими, что основание одной призмы является n-угольник, содержащий круг, а основание второй призмы n-угольник, содержащийся в круге. Тогда первая призма содержит цилиндр, а вторая призма содержится в цилиндре. При неограниченном увеличении n площади многоугольников приближаются к площади круга S(основанию цилиндра) и, следовательно, их объемы неограниченно приближаются к SH. Тогда

Слайд 17

Примеры из жизни:

Слайд 18

Объем наклонной призмы:
Объем наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту.

Доказательство. Пусть площадь основания призмы равна S, а ее высота Н. Поместим начало системы координат в одной из вершин верхнего основания призмы, а ось Ох направим перпендикулярно плоскости основания призмы . Сечение призмы плоскостью, перпендикулярной оси Ох, равно основанию призмы, следовательно,

Слайд 19

Объем пирамиды:
Объем любой пирамиды равен одной третьей произведения площади ее основания

на высоту: V=1/3SH

Слайд 20

Примеры из жизни:

Слайд 21

Объем конуса:
Объем конуса вычисляется по формуле
где R — радиус основания

конуса, H -- его высота

Слайд 22

Примеры из жизни:

Слайд 23

Применение:
Формулы объемов тел широко применяются в строительстве

Слайд 24

Объем цилиндра :V= ПR^2H
Объем цилиндра :V= ПR^2H

Слайд 25

V=1/3ПR^2H
Объем конуса
V=1/3ПR^2H
Объем конуса
Объем параллелепипеда
V=SH

Слайд 26

Вывод:
1.Объем куба равен кубу его ребра: V=a³
2.Объем прямоугольного параллелепипеда

равен произведению его измерений: V=abc. 3. Объем прямого параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту: V=SH 4. Объем произвольного параллелепипеда равен произведению площади основания на его высоту: V=SH 5. Объем призмы равен произведению площади основания на высоту: V=SH
6. Две треугольные пирамиды, имеющие равные высоты и равные площади оснований, имеют равные объемы: V1′ = V2′ 7. Объем любой треугольной пирамиды равен одной третьей произведения площади ее основания на высоту: V=1/3SH 8. Объем любой пирамиды равен одной третьей произведения площади ее основания на высоту: V=1/3SH
9. Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту: V= ПR^2H 10. Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту: V=1/3ПR^2H 11. Объем усеченного конуса равен V=1/3 H(R^2+Rr+r^2), где R и r – радиусы оснований усеченного конуса.
12. Для подобных фигур на плоскости, имеющих площадь, верна теорема: отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. Для подобных пространственных тел, имеющих объем, верна аналогичная теорема: отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия.

Слайд 27

Источники информации:
Учебник геометрии 11класс. Авторы:Л.С.Атанасян,В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев.
http://e-science.ru/
http://www.freesession.ru/
http://festival.1september.ru/

Слайд 28

ТЕМА: Объемы тел Проект выполнили ученицы 11 «А»класса МОУ Алексеевской СОШ Плешакова Дарья и Щукова Ксения Работа выполнена под

Содержание

Содержание:История изучения объемов тел.История измерения объемов тел.Понятие объема.Свойства объемов тел.Объем куба.Объем

История изучения объемов тел:Начало геометрии было положено в древности при решении

Архимед В древнеегипетских папирусах, в вавилонских клинописных табличках встречаются правила для

История измерения объемов тел:В Древнем Египте гробницы фараонов имели форму пирамид.

Демокрит Согласно Архимеду, еще в V до н.э. Демокрит из Абдеры

ЕвклидПолное доказательство этой теоремы дал Евдокс Книдский в IV до н.э.

Теоремы Евклида Объемы зерновых амбаров и других сооружений в виде

Понятие объема: Объем — это вместимость геометрического тела, т. е. части

Объемом тела называется положительная величина, характеризующая часть пространства, занимаемую телом, и

Свойства объемов тел:Объем тела есть неотрицательное число; Если геометрическое тело составлено

Объем куба:V=a³

Объем прямоугольного параллелепипеда: Для того чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда с линейными

Примеры из жизни:

Объем прямой призмы:Объем прямой призмы равен произведению площади основания на высоту:

Объем цилиндра:Данное тело имеет объем V, если существуют содержащие его простые

Примеры из жизни:

Объем наклонной призмы: Объем наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту.

Объем пирамиды:Объем любой пирамиды равен одной третьей произведения площади ее основания

Примеры из жизни:

Объем конуса:Объем конуса вычисляется по формуле где R — радиус основания

Примеры из жизни:

Применение:Формулы объемов тел широко применяются в строительстве

Объем цилиндра :V= ПR^2H Объем цилиндра :V= ПR^2H

V=1/3ПR^2HОбъем конусаV=1/3ПR^2HОбъем конусаОбъем параллелепипеда V=SH

Вывод: 1.Объем куба равен кубу его ребра: V=a³ 2.Объем прямоугольного параллелепипеда

Источники информации:Учебник геометрии 11класс. Авторы:Л.С.Атанасян,В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев.http://e-science.ru/http://www.freesession.ru/http://festival.1september.ru/

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!!!

Похожие презентации

Содержание:
История изучения объемов тел.
История измерения объемов тел.
Понятие объема.
Свойства объемов тел.
Объем куба.
Объем

История изучения объемов тел:
Начало геометрии было положено в древности при решении

Архимед
В древнеегипетских папирусах, в вавилонских клинописных табличках встречаются правила для

История измерения объемов тел:
В Древнем Египте гробницы фараонов имели форму пирамид.

Демокрит
Согласно Архимеду, еще в V до н.э. Демокрит из Абдеры

Евклид
Полное доказательство этой теоремы дал Евдокс Книдский в IV до н.э.

Теоремы Евклида
Объемы зерновых амбаров и других сооружений в виде

Понятие объема:
Объем — это вместимость геометрического тела, т. е. части

Свойства объемов тел:
Объем тела есть неотрицательное число;
Если геометрическое тело составлено

Объем куба:
V=a³

Объем прямоугольного параллелепипеда:
Для того чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда с линейными

Объем прямой призмы:
Объем прямой призмы равен произведению площади основания на высоту:

Объем цилиндра:
Данное тело имеет объем V, если существуют содержащие его простые

Объем наклонной призмы:
Объем наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту.

Объем пирамиды:
Объем любой пирамиды равен одной третьей произведения площади ее основания

Объем конуса:
Объем конуса вычисляется по формуле
где R — радиус основания

Применение:
Формулы объемов тел широко применяются в строительстве

Объем цилиндра :V= ПR^2H
Объем цилиндра :V= ПR^2H

V=1/3ПR^2H
Объем конуса
V=1/3ПR^2H
Объем конуса
Объем параллелепипеда
V=SH

Вывод:
1.Объем куба равен кубу его ребра: V=a³
2.Объем прямоугольного параллелепипеда

Источники информации:
Учебник геометрии 11класс. Авторы:Л.С.Атанасян,В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев.
http://e-science.ru/
http://www.freesession.ru/
http://festival.1september.ru/