Теорема Пифагора "Заслугой первых греческих математиков, таких как Фалес, Пифагор и пифагорейцы, является не открытие матем

Август 30, 2022

Главная
Геометрия
Теорема Пифагора "Заслугой первых греческих математиков, таких как Фалес, Пифагор и пифагорейцы, является не открытие матем

Содержание

2. Содержание История теоремы Формулировка теоремы Доказательства теоремы Значение теоремы Пифагора
3. История теоремы Исторический обзор начнем с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чупей. В
4. Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3 ² + 4 ² = 5² было
5. Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмем веревку длиною в 12 м. и привяжем к
6. Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте, относимом ко времени Хаммураби, т.
7. Формулировка теоремы « Доказать, что квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на
8. Современная формулировка « В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов».
9. Доказательства теоремы Существует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т.д.).
10. Самое простое доказательство Рассмотрим квадрат, показанный на рисунке. Сторона квадрата равна a + c. c a
11. В одном случае (слева) квадрат разбит на квадрат со стороной b и четыре прямоугольных треугольника с
12. Доказательство Евклида Дано: ABC-прямоугольный треугольник Доказать: SABDE=SACFG+SBCHI
13. Доказательство: Пусть ABDE-квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника ABC, а ACFG и BCHI-квадраты, построенные на его
14. Очевидно, что углы CAE=GAB(=A+90°); отсюда следует, что треугольники ACE и AGB(закрашенные на рисунке) равны между собой
15. Алгебраическое доказательство Дано: ABC-прямоугольный треугольник Доказать: AB2=AC2+BC2 Доказательство: 1) Проведем высоту CD из вершины прямого угла
16. Геометрическое доказательство Дано: ABC-прямоугольный треугольник Доказать: BC2=AB2+AC2 Доказательство: 1) Построим отрезок CD равный отрезку AB на
17. Значение теоремы Пифагора Теорема Пифагора- это одна из самых важных теорем геометрии. Значение её состоит в
19. Скачать презентацию

Слайд 2

Содержание
История теоремы
Формулировка теоремы
Доказательства теоремы
Значение теоремы Пифагора

Слайд 3

История теоремы
Исторический обзор начнем с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга

Чупей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5:
"Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4".
В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары.

Слайд 4

Кантор (крупнейший немецкий историк
математики) считает, что равенство
3 ² + 4 ² = 5²
было известно уже египтянам еще около 2300

г.
до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно
папирусу 6619 Берлинского музея).
По мнению Кантора гарпедонапты, или
"натягиватели веревок", строили прямые углы
при помощи прямоугольных треугольников со
сторонами 3, 4 и 5.

Слайд 5

Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмем веревку длиною

в 12 м. и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3м. от одного конца и 4 метра от другого . Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра. Гарпедонаптам можно было бы возразить, что их способ построения становиться излишним, если воспользоваться, например, деревянным угольником, применяемым всеми плотниками. И действительно, известны египетские рисунки, на которых встречается такой инструмент, например рисунки, изображающие столярную мастерскую.

Слайд 6

Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте, относимом

ко времени Хаммураби, т. е. к 2000 г. до н. э., приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника. Отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере в некоторых случаях. Основываясь, с одной стороны, на сегодняшнем уровне знаний о египетской и вавилонской математике, а с другой-на критическом изучении греческих источников,Ван-дер-Варден (голландский математик) сделал следующий вывод:

Слайд 7

Формулировка теоремы
« Доказать, что квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик

сумме квадратов, построенных на катетах»
« Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах».

Во времена Пифагора теорема звучала так:

или

Слайд 8

Современная формулировка
« В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов».

Слайд 9

Доказательства теоремы
Существует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических,

механических и т.д.).

Слайд 10

Самое простое доказательство
Рассмотрим квадрат, показанный на рисунке. Сторона квадрата равна a +

Слайд 11

В одном случае (слева) квадрат разбит на квадрат со стороной

b и четыре прямоугольных треугольника с катетами a и c.

В другом случае (справа) квадрат разбит на два квадрата со сторонами a и c и четыре прямоугольных треугольника с катетами a и c.

Таким образом, получаем, что площадь квадрата со стороной b равна сумме площадей квадратов со сторонами a и c.

Слайд 12

Доказательство Евклида
Дано:
ABC-прямоугольный треугольник
Доказать:
SABDE=SACFG+SBCHI

Слайд 13

Доказательство:
Пусть ABDE-квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника ABC, а ACFG

и BCHI-квадраты, построенные на его катетах. Опустим из вершины C прямого угла перпендикуляр CP на гипотенузу и продолжим его до пересечения со стороной DE квадрата ABDE в точке Q; соединим точки C и E, B и G.

Слайд 14

Очевидно, что углы CAE=GAB(=A+90°); отсюда следует, что треугольники ACE и AGB(закрашенные

на рисунке) равны между собой (по двум сторонам и углу, заключённому между ними). Сравним далее треугольник ACE и прямоугольник PQEA; они имеют общее основание AE и высоту AP, опущенную на это основание, следовательно
SPQEA=2SACE
Точно так же квадрат FCAG и треугольник BAG имеют общее основание GA и высоту AC; значит, SFCAG=2SGAB

Отсюда и из равенства треугольников ACE и GBA вытекает равновеликость прямоугольника QPBD и квадрата CFGA; аналогично доказывается и равновеликость прямоугольника QPAE и квадрата CHIB. А отсюда, следует, что квадрат ABDE равновелик сумме квадратов ACFG и BCHI, т.е. теорема Пифагора.

Слайд 15

Алгебраическое доказательство
Дано: ABC-прямоугольный треугольник
Доказать: AB2=AC2+BC2
Доказательство:
1) Проведем высоту CD из вершины прямого угла

С. 2) По определению косинуса угла соsА=AD/AC=AC/AB, отсюда следует
AB*AD=AC2.
3) Аналогично соsВ=BD/BC=BC/AB, значит
AB*BD=BC2.
4) Сложив полученные равенства почленно, получим:
AC2+BC2=АВ*(AD + DB)
AB2=AC2+BC2. Что и требовалось доказать.

Слайд 16

Геометрическое доказательство
Дано: ABC-прямоугольный треугольник
Доказать: BC2=AB2+AC2
Доказательство:
1) Построим отрезок CD равный отрезку AB

на продолжении катета AC прямоугольного треугольника ABC. Затем опустим перпендикуляр ED к отрезку AD, равный отрезку AC, соединим точки B и E. 2) Площадь фигуры ABED можно найти, если рассматривать её как сумму площадей трёх треугольников:

SABED=2*AB*AC/2+BC2/2
3) Фигура ABED является трапецией, значит, её площадь равна:
SABED= (DE+AB)*AD/2.
4) Если приравнять левые части найденных выражений, то получим:
AB*AC+BC2/2=(DE+AB)(CD+AC)/2
AB*AC+BC2/2= (AC+AB)2/2
AB*AC+BC2/2= AC2/2+AB2/2+AB*AC
BC2=AB2+AC2.
Это доказательство было опубликовано в 1882 году Гэрфилдом.

Слайд 17

Значение теоремы Пифагора
Теорема Пифагора- это одна из самых важных теорем

геометрии. Значение её состоит в том, что из неё или с её помощью можно вывести большинство теорем геометрии.

Теорема Пифагора "Заслугой первых греческих математиков, таких как Фалес, Пифагор и пифагорейцы, является не открытие матем

Содержание

Содержание История теоремыФормулировка теоремы Доказательства теоремы Значение теоремы Пифагора

История теоремы Исторический обзор начнем с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга

Кантор (крупнейший немецкий историкматематики) считает, что равенство3 ² + 4 ² = 5²было известно уже египтянам еще около 2300

Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмем веревку длиною

Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте, относимом

Формулировка теоремы« Доказать, что квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик

Современная формулировка« В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов».

Доказательства теоремы Существует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических,

Самое простое доказательствоРассмотрим квадрат, показанный на рисунке. Сторона квадрата равна a +