Безусловная оптимизация методом классического математического анализа. Определение оптимального времени пребывания

ОПТИМИЗАЦИЯ РАВНОВЕСНЫХ ЭКЗОТЕРМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ

Задача 1

Рассчитать оптимальное время проведения химической реакции в

ОПТИМИЗАЦИЯ РАВНОВЕСНЫХ ЭКЗОТЕРМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ

Материальный баланс по компонентам A и P:

Решение

ОПТИМИЗАЦИЯ РАВНОВЕСНЫХ ЭКЗОТЕРМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ

При делении уравнений на расход реагента v получаем:

где

-

Выход продукта P выражается:

Необходимое условие существования экстремума:

ОПТИМИЗАЦИЯ РАВНОВЕСНЫХ ЭКЗОТЕРМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ

ОПТИМИЗАЦИЯ РАВНОВЕСНЫХ ЭКЗОТЕРМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ

Поскольку

и

ОПТИМИЗАЦИЯ РАВНОВЕСНЫХ ЭКЗОТЕРМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ

Условие экстремума будет иметь вид:

Откуда:

ОПТИМИЗАЦИЯ РАВНОВЕСНЫХ ЭКЗОТЕРМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ

Модуль 1. Семинар 2.
Безусловная оптимизация методом классического математического анализа.
Определение оптимальной температуры

ОПТИМИЗАЦИЯ РАВНОВЕСНЫХ ЭКЗОТЕРМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ

Задача 2

Рассчитать оптимальную температуру проведения обратимой двухкомпонентной реакции

ОПТИМИЗАЦИЯ РАВНОВЕСНЫХ ЭКЗОТЕРМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ

Значения энергий активации стадий реакции:

Время пребывания в реакторе:

Задача

ОПТИМИЗАЦИЯ РАВНОВЕСНЫХ ЭКЗОТЕРМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ

Материальный баланс по компонентам А и P для

ОПТИМИЗАЦИЯ РАВНОВЕСНЫХ ЭКЗОТЕРМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ

Из системы уравнений материального баланса определяется выражение для

ОПТИМИЗАЦИЯ РАВНОВЕСНЫХ ЭКЗОТЕРМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ

Необходимое условие существования экстремума:

ОПТИМИЗАЦИЯ РАВНОВЕСНЫХ ЭКЗОТЕРМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ

Приравнивая числитель последнего выражения к нулю, получаем:

ОПТИМИЗАЦИЯ РАВНОВЕСНЫХ ЭКЗОТЕРМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ

Учитывая, что:

Получаем:

ОПТИМИЗАЦИЯ РАВНОВЕСНЫХ ЭКЗОТЕРМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ

Из последнего выражения следует:

или

ОПТИМИЗАЦИЯ РАВНОВЕСНЫХ ЭКЗОТЕРМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ

Логарифмирование последнего выражения даёт:

ОПТИМИЗАЦИЯ РАВНОВЕСНЫХ ЭКЗОТЕРМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ

Подставляя численные значения параметров, получаем:

Модуль 1. Семинар 3.
Безусловная оптимизация методом классического математического анализа.
Определение оптимального времени

ОПТИМИЗАЦИЯ РАВНОВЕСНЫХ ЭКЗОТЕРМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ

Задача 3

Рассчитать оптимальное время проведения реакции в периодическом

ОПТИМИЗАЦИЯ РАВНОВЕСНЫХ ЭКЗОТЕРМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ

Материальный баланс по компонентам A и P для

ОПТИМИЗАЦИЯ РАВНОВЕСНЫХ ЭКЗОТЕРМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ

Первое уравнение системы – с разделяющимися переменными:

ОПТИМИЗАЦИЯ РАВНОВЕСНЫХ ЭКЗОТЕРМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ

При интегрировании получаем:

ОПТИМИЗАЦИЯ РАВНОВЕСНЫХ ЭКЗОТЕРМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ

Откуда следует:

ОПТИМИЗАЦИЯ РАВНОВЕСНЫХ ЭКЗОТЕРМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ

Полученное соотношение подставляется во второе уравнение системы:

ОПТИМИЗАЦИЯ РАВНОВЕСНЫХ ЭКЗОТЕРМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ

При делении обеих частей полученного выражения на получаем

ОПТИМИЗАЦИЯ РАВНОВЕСНЫХ ЭКЗОТЕРМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ

Решение полученного дифференциального уравнения стандартными методами даёт:

ОПТИМИЗАЦИЯ РАВНОВЕСНЫХ ЭКЗОТЕРМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ

Необходимое условие существования экстремума:

ОПТИМИЗАЦИЯ РАВНОВЕСНЫХ ЭКЗОТЕРМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ

Поскольку , получаем:

ОПТИМИЗАЦИЯ РАВНОВЕСНЫХ ЭКЗОТЕРМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ

Логарифмирование последнего выражения даёт:

Подставляя в выражение для , получаем максимально возможный выход целевого продукта

Модуль 1. Семинар 4.
Безусловная оптимизация методом классического математического анализа.
Определение оптимального расхода

ОПТИМИЗАЦИЯ РАВНОВЕСНЫХ ЭКЗОТЕРМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ

Задача 4

Рассчитать оптимальный расход хладагента в теплообменнике смешение-смешение

Поверочно-оценочный расчет

Математическое описание

Необходимо определить Т = ? и Тх = ?

Математическое описание преобразуется и записывается с учетом общего теплового баланса

Необходимо определить:

второе уравнение СЛАУ решается относительно Tx

Решение методом подстановки:

затем выражение для Tx подставляется в первое уравнение СЛАУ, которое решается

Производя преобразования в знаменателе последнего выражения и вынося за скобки
получим:

Обозначим

Тогда условием физической реализуемости данного теплообменника будет:

Система двух уравнений в конструкционном расчете решалась относительно Tx и FT.

Оптимизация теплообменника типа смешение-смешение

А) Критерий оптимальности - экономический

Cx – стоимость единицы

Однако, из предыдущих выводов следует, что

Поэтому достаточно воспользоваться необходимым условием функции

Необходимое условие экстремума имеет вид:

так как

где

При подстановке полученной производной в необходимое условие существования экстремума R получается:

или

Отсюда можно определить:

или

В результате получаются два корня квадратного уравнения:

Учитывая то обстоятельство, что оптимальное значение может быть в тех точках,

Для каждого из этих решений необходимо проверить достаточное условие существования экстремума.

Отсюда следует, что должно выполняться неравенство:

При этих условиях производная dFT/dvx является монотонно возрастающей функцией, и достаточное

Поэтому

т.е.

После подстановки выражения для оптимального значения vx в выражение для FT(vx)