Элементы математической логики

Июль 24, 2022

Главная
Информатика
Элементы математической логики

Содержание

2. Периоды развития математики В истории цивилизации можно выделить три крупных периода: сельскохозяйственный, или аграрный — до
3. Периоды развития математики
4. Дискретной математикой называют совокупность математических дисциплин, изучающих свойства абстрактных дискретных объектов. Фундаментом дискретной математики являются: Теория
5. Стимулы развития дискретной математики: растущий поток информации и проблемы ее передачи, обработки и хранения привели к
6. Обозначения Кванторы: Квантор общности: ∀ - «любой», «всякий», «каждый»; Квантор существования: ∃ - «существует», «найдется», «можно
7. Математическая логика Этапы развития логики как науки
8. Понятие логики Ло́гика (др.-греч. λογική — «наука о рассуждении», «искусство рассуждения» от λόγος — «речь», «рассуждение»)
9. Понятие логики Логика как наука изучает способы достижения истины в процессе познания опосредованным путём, не из
10. История Первые учения о формах и способах рассуждений возникли в странах Древнего Востока (Китай, Индия), но
11. Классическая логика 1 этап «Классическая логика» Основы формальной логики заложил Аристотель, который впервые отделил логические формы
12. Формы мышления Объектами изучения классической логики являются различные формы мышления – понятия, суждения, умозаключения, их виды
13. Понятие Понятие – это форма мышления, фиксирующая основные, существенные признаки объекта. Понятия – это наши знания
14. Понятие Содержание понятия составляет совокупность существенных признаков предмета. Пример. Понятие: «квадрат». Содержание понятия: «быть прямоугольником и
15. Понятие Объем понятия определяется совокупностью предметов, на которые оно распространяется. Пример. Понятие: «столица государства». Объем понятия:
16. Понятие Понятие: «Персональный компьютер». Содержание понятия: «Персональный компьютер — это универсальное электронное устройство для автоматической обработки
17. Суждение Для выявления отношений между понятиями мы используем суждения. Суждением называется форма мышления, в которой что-либо
18. Суждение “Многогранник – это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников”. Понятия: “многогранник”,
19. Умозаключение Умозаключение — процесс рассуждения, в ходе которого осуществляется переход от некоторых исходных суждений (предпосылок) к
20. Умозаключение Все металлы - простые вещества. Литий – металл. Литий - простое вещество. «Некоторые французы —
21. Классическая логика Значительный вклад в развитие классической логики внесли также английский философ и естествоиспытатель Френсис Бэкон
22. Математическая логика 2 этап «Математическая (символьная) логика» Этот период развития логики как науки связан с работами
23. Математическая логика Мечты Лейбница частично удалось воплотить в жизнь ирландскому математику и логику Джоржу Булю, который
24. Математическая логика Всесторонне обобщил и развил достижения Дж. Буля русский астроном и математик Порецкий Платон Сергеевич
25. Математическая логика Огастес де Морган 27.06.1806—8.03.1871 Фридрих Людвиг Готлоб Фреге 8.11.1848—26.07.1925 Чарльз Сандерс Пирс 10.09.1839—19.04.1914
26. Математическая логика В математической логике изучаются способы (правила) формального представления суждений (высказываний), построения новых высказываний из
27. Математическая логика В состав математической логики входят логика высказываний и охватывающая ее логика предикатов, для построения
28. Современный период 3 этап «Современный период» Через некоторое время стало понятно, что система Буля хорошо подходит
29. Современный период В 1936 году американский математик Клод Шеннон, которому был тогда 21 год, сумел ликвидировать
30. Современный период В 1944 году фон Нейман был направлен в качестве консультанта по математическим вопросам в
31. Современный период В середине XX века развитие вычислительной техники привело к появлению логических элементов, логических блоков
33. Скачать презентацию

Слайд 2

Периоды развития математики
В истории цивилизации можно выделить три крупных

периода:
сельскохозяйственный, или аграрный — до XVII в.;
индустриальный — с XVII по XX в.;
информационный — с XX в.
Эти периоды определялись научно-техническими революциями и, следовательно, характером тех систем и явлений природы, которые вовлекались в сферу главных производственных интересов и потребностей людей. В каждый период создавались новые технологии производства, новая картина реального мира, новые системы знаний (науки) и, в частности, новая математика.

Слайд 3

Периоды развития математики

Слайд 4

Дискретной математикой называют совокупность математических дисциплин, изучающих свойства абстрактных дискретных объектов.
Фундаментом

дискретной математики являются:
Теория множеств;
Математическая логика;
Теория графов;
Теория кодирования;
Теория автоматов.

Новый период развития математики

Слайд 5

Стимулы развития дискретной математики:
растущий поток информации и проблемы ее передачи, обработки

и хранения привели к возникновению и развитию теории кодирования;
различные экономические задачи, задачи электротехники стимулировали создание и развитие теории графов;
связь релейно-контактных схем с формулами алгебры логики и их использование для описания функционирования автоматов дали начало развитию и применению математической логики и теории автоматов.

Новый период развития математики

Слайд 6

Обозначения
Кванторы:
Квантор общности: ∀ - «любой», «всякий», «каждый»;
Квантор существования: ∃ -

«существует», «найдется», «можно найти»;
⇔ «тогда и только тогда», «необходимо и достаточно»;
⇒ «следует», «выполняется»;
: или | «такой, что»
Пример:

(∀х∈М) (∃y∈N: у < х)

«для любого х из множества М существует у из множества N такой что у меньше, чем х»

Слайд 7

Математическая логика Этапы развития логики как науки

Слайд 8

Понятие логики
Ло́гика (др.-греч. λογική — «наука о рассуждении», «искусство рассуждения» от

λόγος — «речь», «рассуждение») — наука о формах, методах и законах интеллектуальной познавательной деятельности, формализуемых с помощью логического языка.
Поскольку это знание получено разумом, логика также определяется как наука о правильном мышлении.

Слайд 9

Понятие логики
Логика как наука изучает способы достижения истины в процессе познания

опосредованным путём, не из чувственного опыта, а из знаний, полученных ранее, поэтому её также можно определить как науку о способах получения выводного знания.
Одна из главных задач логики — определить, как прийти к выводу из предпосылок (правильное рассуждение) и получить истинное знание о предмете размышления.
Логика служит одним из инструментов почти любой науки.

Слайд 10

История
Первые учения о формах и способах рассуждений возникли в странах Древнего

Востока (Китай, Индия), но в основе современной логики лежат учения, созданные в 4 веке до нашей эры древнегреческими мыслителями.

Основателем логики, как науки, считают Сократа (469-399гг до н.э.). На первый план он выдвинул проблему метода, посредством которого можно получить истинное знание.

Сократ:
"Я знаю, что я ничего не знаю."

Слайд 11

Классическая логика
1 этап «Классическая логика»
Основы формальной логики заложил Аристотель, который впервые

отделил логические формы речи от ее содержания.
Он исследовал терминологию логики, подробно разобрал теорию умозаключений и доказательств, описал ряд логических операций, сформулировал основные законы мышления.
Заслуга ученого состоит в том, что он отделил форму мышления от содержания.

АРИСТОТЕЛЬ
(384-322 до н. э.)

Слайд 12

Формы мышления
Объектами изучения классической логики являются различные формы мышления – понятия,

суждения, умозаключения, их виды и операции над ними, доказательства, опровержения, гипотезы, законы логики.

Слайд 13

Понятие
Понятие – это форма мышления, фиксирующая основные, существенные признаки объекта.
Понятия –

это наши знания о некоторых предметах и явлениях окружающего мира.
В структуре каждого понятия нужно различать логические характеристики: содержание и объем.

Слайд 14

Понятие
Содержание понятия составляет совокупность существенных признаков предмета.
Пример.
Понятие: «квадрат».
Содержание понятия:

«быть прямоугольником и иметь равные стороны» или «быть ромбом и иметь прямые углы».
Чтобы раскрыть содержание понятия, следует выделить признаки, необходимые и достаточные для выделения данного предмета по отношению к другим предметам.

Слайд 15

Понятие
Объем понятия определяется совокупностью предметов, на которые оно распространяется.
Пример.
Понятие: «столица государства».
Объем

понятия: Москва, Париж, Пекин, Лондон и т.д.
Объем понятия может быть представлен в форме множества, состоящего из объектов, на которое данное понятие распространяется.

Слайд 16

Понятие
Понятие: «Персональный компьютер».
Содержание понятия: «Персональный компьютер — это универсальное электронное устройство

для автоматической обработки информации, предназначенное для одного пользователя».
Объем понятия: совокупность (сотни миллионов) существующих в настоящее время в мире персональных компьютеров.

Слайд 17

Суждение
Для выявления отношений между понятиями мы используем суждения.
Суждением называется форма мышления,

в которой что-либо утверждается или отрицается о существовании предмета, связях между предметом и его свойствами или об отношениях между предметами.
Суждения выражают наши знания о связях между понятиями.
Пример суждения: «Знание математической логики необходимо любому специалисту».

Слайд 18

Суждение
“Многогранник – это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа

плоских многоугольников”.
Понятия: “многогранник”, “тело”, “поверхность”, “число”, “многоугольник”.
Суждения: “Многогранник – это тело”, “Поверхность состоит из конечного числа плоских многоугольников”.

Слайд 19

Умозаключение
Умозаключение — процесс рассуждения, в ходе которого осуществляется переход от некоторых

исходных суждений (предпосылок) к новым суждениям — заключениям.

Пример.
«Если число делится на 6, то оно четное»;
«Число 18 делится на 6»,
«Число 18 четное».

предпосылки

заключения

Это верное умозаключение.

Слайд 20

Умозаключение
Все металлы - простые вещества.
Литий – металл.
Литий - простое

вещество.
«Некоторые французы — блондины»,
«Некоторые курящие — французы»,
«Некоторые курящие — блондины».

«Некоторые выпуклые фигуры — круги»,
«Некоторые многоугольники — выпуклые фигуры»
«Некоторые многоугольники — круги».

Слайд 21

Классическая логика
Значительный вклад в развитие классической логики внесли также английский философ

и естествоиспытатель Френсис Бэкон и французский философ и математик Рене Декарт.

Фрэнсис Бэкон
22.01.1561 – 09.04.1626

Рене Декарт
31.03.1596 – 11.02.1650

Слайд 22

Математическая логика
2 этап «Математическая (символьная) логика»
Этот период развития логики как науки

связан с работами немецкого физика, математика, и философа Готфрида Вильгельма Лейбница, целью которого было применение логики для теоретического обоснования математики.
С другой стороны, у Лейбница возникла идея придать рассуждениям вид вычислений.

Лейбниц
Готфрид Вильгельм (01.07.1646 — 14.11.1716)

Слайд 23

Математическая логика
Мечты Лейбница частично удалось воплотить в жизнь ирландскому математику и

логику Джоржу Булю, который создал алгебру логики (булеву алгебру).

Джордж Буль (2.11.1815 —8.12.1864)

Применяется как математический аппарат для работы с информацией в двоичном коде.

Алгебра логики изучает строение суждений (высказываний) и способы установления их истинности с помощью алгебраических методов.

Слайд 24

Математическая логика
Всесторонне обобщил и развил достижения Дж. Буля русский астроном и

математик Порецкий Платон Сергеевич (03.10.1846 - 09.08.1907). Его важнейшие работы: "Об основах математической логики" и "О способах решения логических равенств и об обратном способе математической логики".
Огромный вклад в развитие символической логики внесли такие учёные, как Огастес де Морган - шотландский математик и логик; Фридрих Людвиг Готлоб Фреге - немецкий логик, математик и философ; Чарльз Сандерс Пирс - американский философ, логик, математик.

Слайд 25

Математическая логика
Огастес де Морган
27.06.1806—8.03.1871
Фридрих Людвиг
Готлоб Фреге
8.11.1848—26.07.1925
Чарльз Сандерс Пирс

10.09.1839—19.04.1914

Слайд 26

Математическая логика
В математической логике изучаются способы (правила) формального представления суждений (высказываний),

построения новых высказываний из уже имеющихся с помощью логических преобразований, а так же способы (методы) установления истинности или ложности высказываний.
Математическая логика служит для создания алгоритмов логического вывода.

Слайд 27

Математическая логика
В состав математической логики входят логика высказываний и охватывающая ее

логика предикатов, для построения которых существуют два подхода (языка), образующих два варианта формальной логики: алгебру логики и логические исчисления).

Слайд 28

Современный период
3 этап «Современный период»
Через некоторое время стало понятно, что система

Буля хорошо подходит для описания электрических переключателей схем. Ток в цепи может либо протекать, либо отсутствовать, подобно тому как утверждение может быть либо истинным, либо ложным.
А еще несколько десятилетий спустя, уже в ХХ столетии, ученые объединили созданный Джорджем Булем математический аппарат с двоичной системой счисления, заложив тем самым основы для разработки цифрового электронного компьютера.

Слайд 29

Современный период
В 1936 году американский математик Клод Шеннон, которому был тогда

21 год, сумел ликвидировать разрыв между алгебраической теорией логики и ее практическим приложением.
Постепенно у Шеннона стали вырисовываться контуры устройства компьютера. Если построить электрические цепи в соответствии с принципами булевой алгебры, то они могли бы выражать логические отношения, определять истинность утверждений, а также выполнять сложные вычисления.

Клод Шеннон
(1916-2001г)

Слайд 30

Современный период
В 1944 году фон Нейман был направлен в качестве консультанта

по математическим вопросам в группу разработчиков первой ЭВМ ENIAC.
После окончания строительства ENIAC фон Нейман опубликовал отчет "Предварительное обсуждение логической конструкции электронной вычислительной машины". Этот отчет стал исходным пунктом в конструировании новых машин.

Джон фон Нейман
1903-1957

Слайд 31

Современный период
В середине XX века развитие вычислительной техники привело к появлению

логических элементов, логических блоков и устройств вычислительной техники, что было связано с дополнительной разработкой таких областей логики, как проблемы логического синтеза, логическое проектирование и логического моделирования логических устройств и средств вычислительной техники.

Элементы математической логики

Содержание

Периоды развития математики В истории цивилизации можно выделить три крупных

Периоды развития математики

Дискретной математикой называют совокупность математических дисциплин, изучающих свойства абстрактных дискретных объектов.Фундаментом

Стимулы развития дискретной математики:растущий поток информации и проблемы ее передачи, обработки

ОбозначенияКванторы:Квантор общности: ∀ - «любой», «всякий», «каждый»; Квантор существования: ∃ -

Математическая логика Этапы развития логики как науки

Понятие логикиЛо́гика (др.-греч. λογική — «наука о рассуждении», «искусство рассуждения» от

Понятие логикиЛогика как наука изучает способы достижения истины в процессе познания

ИсторияПервые учения о формах и способах рассуждений возникли в странах Древнего

Классическая логика1 этап «Классическая логика»Основы формальной логики заложил Аристотель, который впервые

Формы мышленияОбъектами изучения классической логики являются различные формы мышления – понятия,

ПонятиеПонятие – это форма мышления, фиксирующая основные, существенные признаки объекта.Понятия –

ПонятиеСодержание понятия составляет совокупность существенных признаков предмета. Пример. Понятие: «квадрат».Содержание понятия:

ПонятиеОбъем понятия определяется совокупностью предметов, на которые оно распространяется.Пример.Понятие: «столица государства».Объем

ПонятиеПонятие: «Персональный компьютер».Содержание понятия: «Персональный компьютер — это универсальное электронное устройство

СуждениеДля выявления отношений между понятиями мы используем суждения.Суждением называется форма мышления,

Суждение“Многогранник – это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа

УмозаключениеУмозаключение — процесс рассуждения, в ходе которого осуществляется переход от некоторых

УмозаключениеВсе металлы - простые вещества. Литий – металл. Литий - простое

Классическая логикаЗначительный вклад в развитие классической логики внесли также английский философ

Математическая логика2 этап «Математическая (символьная) логика»Этот период развития логики как науки

Математическая логикаМечты Лейбница частично удалось воплотить в жизнь ирландскому математику и

Математическая логикаВсесторонне обобщил и развил достижения Дж. Буля русский астроном и

Математическая логикаОгастес де Морган 27.06.1806—8.03.1871Фридрих Людвиг Готлоб Фреге8.11.1848—26.07.1925 Чарльз Сандерс Пирс

Математическая логикаВ математической логике изучаются способы (правила) формального представления суждений (высказываний),

Математическая логикаВ состав математической логики входят логика высказываний и охватывающая ее

Современный период3 этап «Современный период»Через некоторое время стало понятно, что система

Современный периодВ 1936 году американский математик Клод Шеннон, которому был тогда

Современный периодВ 1944 году фон Нейман был направлен в качестве консультанта

Современный периодВ середине XX века развитие вычислительной техники привело к появлению

Похожие презентации