Аналитическая геометрия

Плоскость и её основные уравнения

Рассмотрим плоскость P в прямоугольной декартовой

Положение плоскости вполне определяется
точкой
и вектором нормали

Возьмём любую точку
и построим вектор

Так как , то скалярное произведение
или

Получили уравнение плоскости, заданной
точкой
и вектором нормали

Если в уравнении
раскрыть скобки и обозначить
то получим

Теорема. Всякое уравнение вида
определяет некоторую плоскость в пространстве.

Если в этом уравнении какой-либо из коэффициентов A, B, C равен

Например, при A = 0 плоскость By + Cz + D

Пусть в уравнении
ни один из коэффициентов не равен 0.

где a, b, c – это величины направленных отрезков, отсекаемых плоскостью

Если три точки
не лежат на одной прямой, то через эти

Уравнение плоскости, проходящей через три точки, имеет вид:

Пусть даны две плоскости
и
Угол φ между двумя плоскостями равен

Расстояние d от точки
до плоскости
определяется по формуле

Пример. Даны две точки
Записать уравнение плоскости, проходящей через точку

Решение. Поскольку искомая плоскость перпендикулярна вектору , то в качестве вектора

Подставив теперь в уравнение
а также координаты точки M1:
получим уравнение

или
– это и есть искомое общее уравнение

Прямая в пространстве и её основные уравнения

Рассмотрим прямую l в

Возьмем любую точку и построим вектор , из условия коллинеарности этих

Обозначим коэффициент пропорциональности через параметр t и выразим через t переменные

Уравнение прямой, проходящей через две точки M1(x1, y1, z1) и M2(x2,

Рассмотрим две плоскости P1 : A1x + B1y + C1z+ D1

Эта система называется общим уравнением прямой в пространстве.

Угол φ между двумя прямыми l1 и l2 равен углу между

Угол ψ между прямой
и плоскостью Ax + By +

Пример. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точки M1(3;

Решение. Подставляем в формулу координаты точек M1(3; 2; -1) и M2(4;

или
– канонические уравнения прямой (нуль в знаменателе означает, что направляющий

Запишем параметрические уравнения прямой:

Прямая на плоскости и её основные уравнения

Уравнение прямой с угловым

где k = tg α – угловой коэффициент прямой, b

Кроме того, прямую l на плоскости можно задать вектором нормали

Получим три уравнения, аналогичные уравнениям для плоскости:
– уравнение прямой, заданной

Прямая l на плоскости также определяется направляющим вектором
и точкой

Получим еще 3 уравнения, аналогичные уравнениям прямой в пространстве:
– каноническое уравнение

Угол между двумя прямыми, заданными уравнениями:
l1: и
l2:

при этом
т.е. ,

Расстояние d от точки M1(x1, y1) до прямой Ax + By

Пример. Записать уравнения прямых, проходящих через точку M(– 2, 1) параллельно

Решение. Перепишем общее уравнение прямой 3x – 4y + 12 =

Получили уравнение прямой с угловым коэффициентом k = 3/4. Запишем уравнение

то
или

Составим уравнение прямой
, проходящей через точку M(– 2,1). Так как