Числовые ряды Лекции 10,11

Август 31, 2022

Главная
Математика
Числовые ряды Лекции 10,11

Содержание

2. Определение числового ряда Рассмотрим некоторую числовую последовательность . Составим из членов этой последовательности бесконечную сумму Определение.
3. Примеры Рассмотрим ряд1-1+1-1+…+ +… Очевидно, сумма четного числа его членов равна нулю, а нечетного –единице. Такой
4. Примеры Известно, что геометрическая прогрессия со знаменателем, меньшим единицы, сходится, если
5. Понятие сходящегося ряда Опр. Конечные суммы , называются частичными суммами ряда (1). Опр. Если существует конечный
6. Пример сходящегося ряда Показать, что ряд сходится и найти его сумму. Общий член ряда . Тогда
7. Свойства сходящихся рядов 1) Сходящиеся ряды можно почленно складывать, т.е. . 2) Постоянный множитель можно вынести
8. Свойства сходящихся рядов От сходящегося ряда можно отбросить конечное число членов или наоборот прибавить конечное число
9. Гармонический ряд Исследуем ряд , называемый гармоническим. Для решения задачи запишем гармонический ряд в развернутом виде:
10. Продолжение Найдем частичные суммы второго ряда: . Итак,гармонический ряд расходится, т. к. его сумма больше суммы
11. Признаки сходимости ряда Необходимое условие сходимости ряда. Если ряд сходится, то . Если же , то
12. Пример расходящегося ряда Пример 1. Ряд расходится, так как .
13. Знакоположительные ряды
14. Признак сравнения. Пусть даны ряды и . Если ряд с большими членами сходится, то сходится и
15. Признак сравнения в предельной форме Если существует конечный и отличный от нуля , то ряды и
16. Примеры В качестве рядов для сравнения берут гармонический ряд , который расходится, и ряд или ,о
17. Примеры Исследовать на сходимость ряды а) и б) . Найдем предел отношения членов данного ряда и
18. Примеры Ряд сравниваем с гармоническим рядом . Так как , то данный ряд расходится вместе с
19. Признак Даламбера Если существует конечный то 1)при ряд , где , сходится, 2)при ряд расходится, 3)при
20. Примеры Исследовать на сходимость ряд Так как , то и . Так как , то данный
21. Признак Коши Если существует конечный то 1)при ряд , где , сходится, 2)при ряд расходится, 3)при
22. Примеры Ряд исследуем с помощью признака Коши. Вычислим . Тогда и ряд согласно признаку Коши расходится.
23. Интегральный признак Пусть члены ряда положительны и при . Пусть функция при имеет значения , положительна
24. Обобщенный гармонический ряд Исследуем ряд . Функция монотонно убывает. Несобственный интеграл = .Ряд расходится при p
25. Пример Исследовать на сходимость ряд . Члены ряда положительны и монотонно убывают. Функция , очевидно, также
26. Продолжение . Несобственный интеграл, а вместе с ним и числовой ряд расходятся.
27. Знакопеременные ряды
28. Признак Лейбница Пусть члены знакочередующегося ряда удовлетворяют условиям: 1) и 2) . Тогда знакочередующийся ряд сходится,
29. Примеры Исследовать на сходимость ряды: 1) , 2) . 1) члены знакочередующегося ряда монотонно убывают и
30. Примеры 2) общий член ряда не стремится к нулю, так как Следовательно, ряд расходится согласно необходимому
31. Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда Если сходится ряд , то знакопеременный ряд также сходится.
32. Абсолютно сходящийся ряд Определение. Если сходится ряд , то знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся.
33. Условно сходящийся ряд Определение. Если сходится ряд , а ряд расходится, то знакопеременный ряд называется условно
34. Пример Ряд абсолютно сходится, т.к. ряд из модулей его членов сходится. Ряд сходится условно, т.к. он
36. Скачать презентацию

Слайд 2

Определение числового ряда
Рассмотрим некоторую числовую последовательность . Составим из членов

этой последовательности бесконечную сумму
Определение. Выражение (1)
называется числовым рядом, - общий член ряда.

Слайд 3

Примеры
Рассмотрим ряд1-1+1-1+…+ +…
Очевидно, сумма четного числа его членов равна нулю, а

нечетного –единице. Такой ряд не имеет суммы.

Слайд 4

Примеры
Известно, что геометрическая прогрессия со знаменателем, меньшим единицы,
сходится,

если

Слайд 5

Понятие сходящегося ряда
Опр. Конечные суммы ,
называются частичными суммами ряда

(1).
Опр. Если существует конечный ,
то числовой ряд называется сходящимся, а
число - суммой ряда. Если равен
бесконечности или вообще не существует, то ряд расходится.

Слайд 6

Пример сходящегося ряда
Показать, что ряд сходится и найти его сумму.

Общий член ряда .
Тогда , , ,…

Слайд 7

Свойства сходящихся рядов
1) Сходящиеся ряды можно почленно складывать, т.е.

.
2) Постоянный множитель можно вынести за знак ряда, т. е.

Слайд 8

Свойства сходящихся рядов
От сходящегося ряда можно отбросить конечное число членов

или наоборот прибавить конечное число слагаемых и при этом сходимость ряда не изменится.

Слайд 9

Гармонический ряд
Исследуем ряд , называемый гармоническим.
Для решения задачи

запишем гармонический ряд в развернутом виде:
и наряду с ним рассмотрим ряд с меньшими членами

Слайд 10

Продолжение
Найдем частичные суммы второго ряда:
. Итак,гармонический ряд расходится, т. к.

его сумма больше суммы вспомогательного ряда.

Слайд 11

Признаки сходимости ряда

Необходимое условие сходимости ряда.
Если ряд сходится,

то .
Если же , то ряд расходится.

Слайд 12

Пример расходящегося ряда
Пример 1. Ряд расходится, так как
.

Слайд 13

Знакоположительные ряды

Слайд 14

Признак сравнения.

Пусть даны ряды и .
Если ряд

с большими членами сходится, то сходится и ряд с меньшими членами. Если же ряд с меньшими членами расходится, то расходится и ряд с большими членами.

Слайд 15

Признак сравнения в предельной форме
Если существует конечный и
отличный

от нуля , то
ряды и сходятся или
расходятся одновременно.

Слайд 16

Примеры
В качестве рядов для сравнения берут гармонический ряд , который

расходится, и ряд или ,о
которых известно, что первый сходится, а второй при p>1сходится, а при p≤1 расходится.

Слайд 17

Примеры
Исследовать на сходимость ряды а) и б) .
Найдем предел

отношения членов данного ряда и ряда ,с которым
сравниваем данный ряд.
. Ряд сходится.

Слайд 18

Примеры
Ряд сравниваем с
гармоническим рядом .
Так как

, то данный ряд
расходится вместе с гармоническим рядом.

Слайд 19

Признак Даламбера
Если существует конечный то
1)при ряд , где

, сходится,
2)при ряд расходится,
3)при признак ответа не дает.

Слайд 20

Примеры
Исследовать на сходимость ряд
Так как , то и

.
Так как , то данный ряд сходится.

Слайд 21

Признак Коши
Если существует конечный то
1)при ряд , где

, сходится,
2)при ряд расходится,
3)при признак ответа не дает.

Слайд 22

Примеры
Ряд исследуем с помощью признака Коши.
Вычислим .
Тогда

и ряд согласно признаку Коши расходится.

Слайд 23

Интегральный признак
Пусть члены ряда
положительны и при .

Пусть функция при имеет значения , положительна и монотонно убывает при .Тогда числовой ряд сходится или расходится вместе с несобственным интегралом

Слайд 24

Обобщенный гармонический ряд
Исследуем ряд .
Функция монотонно убывает.
Несобственный

интеграл
= .Ряд расходится при p<1
и сходится при p>1 .

Слайд 25

Пример
Исследовать на сходимость ряд
. Члены ряда
положительны и

монотонно убывают.
Функция , очевидно, также
положительна при x≥2 и монотонно убывает.

Слайд 26

Продолжение
.
Несобственный интеграл, а вместе с ним и числовой ряд

расходятся.

Слайд 27

Знакопеременные ряды

Слайд 28

Признак Лейбница
Пусть члены знакочередующегося ряда
удовлетворяют условиям:
1)
и

2) .
Тогда знакочередующийся ряд сходится, причём его сумма S не превосходит его первого члена, т.е. .

Слайд 29

Примеры
Исследовать на сходимость ряды:
1) , 2) .

1) члены знакочередующегося ряда
монотонно убывают и .
Согласно признаку Лейбница ряд сходится.

Слайд 30

Примеры
2) общий член ряда
не стремится к нулю, так

как
Следовательно, ряд расходится согласно необходимому признаку.

Слайд 31

Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда

Если сходится ряд , то

знакопеременный ряд также сходится.

Слайд 32

Абсолютно сходящийся ряд
Определение.
Если сходится ряд , то

знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся.

Слайд 33

Условно сходящийся ряд
Определение.
Если сходится ряд , а

ряд расходится, то
знакопеременный ряд
называется условно сходящимся.

Слайд 34

Пример
Ряд абсолютно сходится, т.к.
ряд из модулей его членов

сходится. Ряд сходится условно, т.к. он согласно признаку Лейбница сходится, но ряд из модулей его членов, т.е. ряд
расходится вместе с гармоническим рядом .

Числовые ряды Лекции 10,11

Содержание

Определение числового ряда Рассмотрим некоторую числовую последовательность . Составим из членов

ПримерыРассмотрим ряд1-1+1-1+…+ +…Очевидно, сумма четного числа его членов равна нулю, а

Примеры Известно, что геометрическая прогрессия со знаменателем, меньшим единицы, сходится,

Понятие сходящегося ряда Опр. Конечные суммы , называются частичными суммами ряда

Пример сходящегося ряда Показать, что ряд сходится и найти его сумму.

Свойства сходящихся рядов 1) Сходящиеся ряды можно почленно складывать, т.е.

Свойства сходящихся рядов От сходящегося ряда можно отбросить конечное число членов

Гармонический ряд Исследуем ряд , называемый гармоническим. Для решения задачи

Продолжение Найдем частичные суммы второго ряда:. Итак,гармонический ряд расходится, т. к.

Признаки сходимости ряда Необходимое условие сходимости ряда. Если ряд сходится,

Пример расходящегося ряда Пример 1. Ряд расходится, так как .

Знакоположительные ряды

Признак сравнения. Пусть даны ряды и . Если ряд

Признак сравнения в предельной форме Если существует конечный и отличный

Примеры В качестве рядов для сравнения берут гармонический ряд , который

Примеры Исследовать на сходимость ряды а) и б) . Найдем предел

Примеры Ряд сравниваем с гармоническим рядом . Так как

Признак Даламбера Если существует конечный то 1)при ряд , где

Примеры Исследовать на сходимость ряд Так как , то и

Признак Коши Если существует конечный то 1)при ряд , где

Примеры Ряд исследуем с помощью признака Коши. Вычислим . Тогда

Интегральный признак Пусть члены ряда положительны и при .

Обобщенный гармонический ряд Исследуем ряд . Функция монотонно убывает. Несобственный

Пример Исследовать на сходимость ряд . Члены ряда положительны и

Продолжение . Несобственный интеграл, а вместе с ним и числовой ряд