Математический анализ Составитель: Никулина Л.С., старший преподаватель кафедры Математики и Моделирования

Август 31, 2022

Главная
Математика
Математический анализ Составитель: Никулина Л.С., старший преподаватель кафедры Математики и Моделирования

Содержание

2. Литература Основная литература: Л. Д. Кудрявцев. Курс математического анализа, т. 1, 2 Г. Н. Берман. Сборник
3. Дополнительная литература: Кудрявцев В. А., Демидович Б. П. Краткий курс высшей математики Данко П.Е., Попов А.Г.,
4. Учебно-методические разработки: Л. Я. Дубинина, Л. С. Никулина, И. В. Пивоварова. Курс лекций по высшей математике,
5. Содержание Функции нескольких переменных Дифференциальные уравнения 1-го, 2-го и более высокого порядков Кратные интегралы Числовые ряды
6. Функции нескольких переменных Лекция 1
7. Определение функции двух переменных Определение. Если каждой паре (x,y) значений двух независимых друг от друга переменных
8. Обозначения При этом пишут: Если паре соответствует число , то пишут Или называется частным значением функции
9. График функции 2-х переменных Геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению z= =f(x,y), называется графиком функции
10. График функции Функцию двух переменных можно изобразить графически. Каждой паре (x, y)∈D ставится в соответствие точка
11. Пример На рисунке изображен конус x y z o
12. Предел функции 2-х переменных -окрестностью точки называется совокупность всех точек, лежащих внутри круга радиуса с центром
13. Предел функции 2-х переменных Таким образом, -окрестностью точки является множество точек, УДОВЛЕТВОРЯЮЩИХ НЕРАВЕНСТВУ . о х
14. Определение предела функции 2-х переменных Число А называется пределом функции z=f(x,y) при , если для любого
15. Функция нескольких переменных называется бесконечно малой, если ее предел равен нулю. Правила предельного перехода, установленные для
16. Непрерывность Функция z=f(x,y) называется непрерывной в точке , если выполнены условия: 1)функция определена в точке ,
17. Непрерывность Другое определение: Функция z=f(x,y) называется непрерывной в точке , если в этой точке бесконечно малому
18. Области Областью (открытой областью) называется множество точек плоскости, обладающее свойствами: каждая точка области принадлежит ей вместе
19. Точка называется граничной точкой области G, если любая окрестность этой точки содержит как точки области G,
20. Область называется ограниченной, если можно подобрать круг, полностью ее покрывающий. В противном случае область называется неограниченной
21. Функция называется непрерывной в области G, если она непрерывна в каждой точке этой области.
22. Свойства функции, непрерывной в замкнутой области Если функция непрерывна в ограниченной замкнутой области, то она в
23. Частные приращения функции 2-х переменных Разность = f (x+Δx, y) – f (x, y) называется частным
24. Частные производные Определение. Если существует = , то он называется частной производной (первого порядка) функции z
25. Аналогично определяется частная производная по переменной y: = Эту производную обозначают
26. Заметив, что вычисляется при неизменном y, а – при неизменном x, можно сделать вывод: правила вычисления
27. Производные высших порядков Частной производной n-го порядка функции нескольких переменных называется частная производная первого порядка от
29. Скачать презентацию

Слайд 2

Литература
Основная литература:
Л. Д. Кудрявцев. Курс математического анализа, т. 1,

2
Г. Н. Берман. Сборник задач по курсу математического анализа.
Н. С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления, т. 1, 2.

Слайд 3

Дополнительная литература:
Кудрявцев В. А., Демидович Б. П. Краткий курс

высшей математики
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах, ч. 1, 2.

Слайд 4

Учебно-методические разработки:
Л. Я. Дубинина, Л. С. Никулина, И. В.

Пивоварова. Курс лекций по высшей математике, ч. 1, 2.-Владивосток, изд. ВГУЭС, 2001.
Сборник задач по высшей математике. Сост. И. В. Пивоварова, Л. Я. Дубинина, Л. С. Никулина. -Владивосток, изд. ВГУЭС, 2002.

Слайд 5

Содержание
Функции нескольких переменных
Дифференциальные уравнения 1-го, 2-го и более высокого порядков
Кратные интегралы
Числовые

ряды
Степенные ряды
Ряды Фурье

Слайд 6

Функции нескольких переменных
Лекция 1

Слайд 7

Определение функции двух переменных
Определение. Если каждой паре (x,y) значений двух

независимых друг от друга переменных величин x и y из некоторого множества D соответствует единственное значение величины z, а каждому z соответствует хотя бы одна пара (x,y), то мы говорим, что z есть функция двух независимых переменных x и y, определенная в D.

Слайд 8

Обозначения
При этом пишут:
Если паре соответствует число , то пишут

Или
называется частным значением функции при

Слайд 9

График функции 2-х переменных
Геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению

z= =f(x,y), называется графиком функции двух переменных.

Слайд 10

График функции
Функцию двух переменных можно изобразить графически. Каждой паре (x,

y)∈D ставится в соответствие точка M(x, y,z), принадлежащая графику функции и являющаяся концом перпендикуляра PM к плоскости Oxy.

Слайд 11

Пример
На рисунке изображен конус
x
y
z
o

Слайд 12

Предел функции 2-х переменных
-окрестностью точки
называется совокупность всех точек, лежащих

внутри круга радиуса с центром в точке .

Слайд 13

Предел функции 2-х переменных
Таким образом,
-окрестностью точки является множество

точек,
УДОВЛЕТВОРЯЮЩИХ НЕРАВЕНСТВУ

Слайд 14

Определение предела функции 2-х переменных
Число А называется пределом функции z=f(x,y)

при , если для любого
числа найдется такая -окрестность точки ,что для всех точек М(х,у), лежащих в этой окрестности , выполняется условие
При этом пишут: или

Слайд 15

Функция нескольких переменных называется бесконечно малой, если ее предел равен

нулю.
Правила предельного перехода, установленные для функции одной переменной, остаются справедливыми.

Слайд 16

Непрерывность
Функция z=f(x,y) называется непрерывной в точке , если выполнены

условия:
1)функция определена в точке ,
2)если существует ,
3)если

Слайд 17

Непрерывность
Другое определение: Функция z=f(x,y)
называется непрерывной в точке , если

в этой точке бесконечно малому приращению аргументов соответствует бесконечно малое приращение функции, т. е.
где .

Слайд 18

Области
Областью (открытой областью) называется множество точек плоскости, обладающее свойствами:
каждая

точка области принадлежит ей вместе с некоторой окрестностью (свойство открытости);
всякие две точки области можно соединить непрерывной линией, целиком лежащей в этой области (свойство связности).

Слайд 19

Точка называется граничной точкой области G, если любая окрестность этой

точки содержит как точки области G, так и точки, ей не принадлежащие.
Множество всех граничных точек области называется ее границей.
Если к открытой области присоединить ее границу, то полученное множество точек называется замкнутой областью.

Слайд 20

Область называется ограниченной, если можно подобрать круг, полностью ее покрывающий.

В противном случае область называется неограниченной

Слайд 21

Функция называется непрерывной в области G, если она непрерывна в

каждой точке этой области.

Слайд 22

Свойства функции, непрерывной в замкнутой области
Если функция непрерывна в ограниченной

замкнутой области, то она в этой области
1)ограничена: ;
2) принимает наименьшее и наибольшее значения (соответственно m и M);
3) принимает хотя бы в одной точке области любое численное значение, заключенное между m и M.

Слайд 23

Частные приращения функции 2-х переменных
Разность = f (x+Δx, y) –

f (x, y) называется частным приращением функции f (x, y) по переменной x.
Разность = f (x, y+Δy) – f (x, y) называется частным приращением функции f (x, y) по переменной y.

Слайд 24

Частные производные
Определение. Если существует
= ,
то он называется

частной производной (первого порядка) функции z = f (x, y) по переменной x и обозначается

Слайд 25

Аналогично определяется частная производная по переменной y:
=
Эту

производную обозначают

Слайд 26

Заметив, что вычисляется при неизменном y, а – при неизменном

x, можно сделать вывод: правила вычисления частных производных совпадают с правилами дифференцирования функций одной переменной, но при вычислении полагают , а при вычислении полагают .

Слайд 27

Производные высших порядков
Частной производной n-го порядка функции нескольких переменных называется

частная производная первого порядка от частной производной (n-1)-го порядка той же функции. Например, для функции 2-х переменных имеем:

Математический анализ Составитель: Никулина Л.С., старший преподаватель кафедры Математики и Моделирования

Содержание

Литература Основная литература: Л. Д. Кудрявцев. Курс математического анализа, т. 1,

Дополнительная литература: Кудрявцев В. А., Демидович Б. П. Краткий курс

Учебно-методические разработки: Л. Я. Дубинина, Л. С. Никулина, И. В.

СодержаниеФункции нескольких переменныхДифференциальные уравнения 1-го, 2-го и более высокого порядковКратные интегралыЧисловые

Функции нескольких переменныхЛекция 1

Определение функции двух переменных Определение. Если каждой паре (x,y) значений двух

Обозначения При этом пишут: Если паре соответствует число , то пишут

График функции 2-х переменных Геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению

График функции Функцию двух переменных можно изобразить графически. Каждой паре (x,

ПримерНа рисунке изображен конус xyzo

Предел функции 2-х переменных -окрестностью точки называется совокупность всех точек, лежащих

Предел функции 2-х переменных Таким образом, -окрестностью точки является множество

Определение предела функции 2-х переменных Число А называется пределом функции z=f(x,y)