Декартовы произведения Под упорядоченной парой (а; b) мы будем понимать двухэлементное множество, состоящее из элементов а и b,

Август 31, 2022

Главная
Математика
Декартовы произведения Под упорядоченной парой (а; b) мы будем понимать двухэлементное множество, состоящее из элементов а и b,

Содержание

2. Теорема 1 Если (a; b)=(x; y), то a=x, b=y. Доказательство Из (a; b)=(x; y) следует {{a};{a;
3. Определение 2 1) (a; b)={{a};{a; b}}; 2) (a1,a2,...,an,an+1)=((a1,a2,...,an),an+1). Упорядоченные наборы длины n называются также упорядоченными n-ками,
4. Докажем теорему при n=k+1. Пусть Это можно переписать по определению следующим образом: По теореме 1 из
5. Пример Пусть A={1;2}, B={a, b, c}, тогда А х В={(1;a);(1;b);(1;c);(2;a);(2;b);(2;c)}; а В х А={(a;1);(b;1);(c;1);(a;2);(b;2);(c;2)}. Очевидно, что,
6. Теорема 3 Пусть А, В, С – произвольные множества, тогда а) ; б) ; в) .
7. б) Возьмем Следовательно, . в) Возьмем
8. Поскольку в цепочке преобразований не везде стоят эквивалентности, а в одном месте стоит всего импликация, мы
9. Теорема 4 Если множество А состоит из m элементов, а В – из n элементов, тогда
11. Скачать презентацию

Слайд 2

Теорема 1
Если (a; b)=(x; y), то a=x, b=y.
Доказательство
Из (a; b)=(x;

y) следует {{a};{a; b}}={{x};{x; y}}.

Равенство двух двухэлементных множеств возможно лишь при равенстве составляющих их элементов. Здесь возможны два случая:
1) {a}={x}, {a; b}={x; y} или
2) {a}={x, y}, {a; b}={x}.

В первом случае из равенства {a}={x} следует а=х, а из второго равенства

и того, что а=х, следует у=в, что и требовалось доказать.

Во втором случае из равенства {a}={x, y} следует а=х=у, а из равенства {a; b}={x} следует х=а=в. В частности, а=х и в=у. Теорема доказана.

Слайд 3

Определение 2
1) (a; b)={{a};{a; b}};
2) (a1,a2,...,an,an+1)=((a1,a2,...,an),an+1).
Упорядоченные наборы длины n называются также

упорядоченными n-ками, векторами, кортежами.
Теорема 2
.

Доказательство
Индукция по n.
При n=2 это есть теорема 1. Допустим, утверждение верно при n=k, то есть допустим, что из равенства

следует

Слайд 4

Докажем теорему при n=k+1.
Пусть Это можно переписать по определению следующим образом:

По теореме 1 из равенства пар вытекает
и
По индуктивному предположению получаем

Определение 3
Декартовым произведением множеств А и В называется множество

Слайд 5

Пример
Пусть A={1;2}, B={a, b, c}, тогда
А х В={(1;a);(1;b);(1;c);(2;a);(2;b);(2;c)};
а В х А={(a;1);(b;1);(c;1);(a;2);(b;2);(c;2)}.
Очевидно,

что, вообще говоря,

Определение 4
а) Множество

– декартово произведение n множеств;
б)

- (n cомножителей) – n-aя декартова степень множества А;

в)

.
Установим связь между декартовыми произведениями и ранее введенными теоретико-множественными операциями.

в)

Слайд 6

Теорема 3
Пусть А, В, С – произвольные множества, тогда
а) ;
б) ;
в) .
Доказательство
а)

Возьмем

Следовательно,

Слайд 7

б) Возьмем
Следовательно,
.
в) Возьмем

Слайд 8

Поскольку в цепочке преобразований не везде стоят эквивалентности, а в одном

месте стоит всего импликация, мы доказали включение
Необходимо доказать включение в другую сторону.
Возьмем

Следовательно,

Слайд 9

Теорема 4
Если множество А состоит из m элементов, а В – из

n элементов, тогда А х В состоит из m х n элементов.
Доказательство
Доказываем индукцией по числу n-элементов множества В.
При n=1 имеем , поэтому , то есть A х B имеет m = m х 1 элементов.
Допустим, теорема верна при n=k. И пусть теперь В состоит из к+1 элемента, то есть

где

.
Тогда

Декартовы произведения Под упорядоченной парой (а; b) мы будем понимать двухэлементное множество, состоящее из элементов а и b,

Содержание

Теорема 1Если (a; b)=(x; y), то a=x, b=y.ДоказательствоИз (a; b)=(x;

Определение 21) (a; b)={{a};{a; b}};2) (a1,a2,...,an,an+1)=((a1,a2,...,an),an+1).Упорядоченные наборы длины n называются также

Докажем теорему при n=k+1.Пусть Это можно переписать по определению следующим образом:

ПримерПусть A={1;2}, B={a, b, c}, тогдаА х В={(1;a);(1;b);(1;c);(2;a);(2;b);(2;c)};а В х А={(a;1);(b;1);(c;1);(a;2);(b;2);(c;2)}.Очевидно,

Теорема 3Пусть А, В, С – произвольные множества, тогдаа) ;б) ;в) .Доказательствоа)

б) ВозьмемСледовательно,.в) Возьмем