Содержание
- 2. Замечание: Вопрос о существовании разности на множестве натуральных чисел решается очень просто: достаточно, чтобы уменьшаемое было
- 3. Для операции деления такого простого признака нет. Поэтому и возникла в математике теория делимости натуральных чисел.
- 4. Определение отношения делимости натуральных чисел Пусть даны натуральные числа a и b. Говорят, что число a
- 5. b называют делителем числа a, число a – кратным b Обозначают Читают : a кратно b
- 6. Что общего и что различного в понятиях? 1. «делитель данного числа» 2. « делитель»
- 7. 24 : 5 - число 5 есть делитель. Компонент действия деления. 24 : 6 число 6
- 8. Уточним понятие «отношение делимости» 1. Единица (число 1) является делителем любого натурального числа, так как a=1·a.
- 9. Доказательство: Так как , то существует такое , что a = b·g Значит, a - b
- 10. Следствие: Множество делителей данного числа конечно. Например: Делители числа 36 образуют конечное множество
- 11. Сопутствующие понятия Простые и составные числа Определение: Простым числом называется такое натуральное число, большее 1, которое
- 12. Например: Число 7 – простое. Число 2 – простое. (единственное простое четное число). Числа 3,11,19, 23,
- 13. Определение: Составным числом называется натуральное число, которое имеет более двух делителей. Например: 4,6,12,121, 45, 225 –
- 14. Чисел кратных данному числу, бесконечное множество. Например: Числа кратные 6 образуют множество:
- 15. Общий вид чисел, кратных 6: x=6·n, Общий вид чисел, кратных 5: x=5·n, Общий вид чисел, кратных
- 16. Классификация натуральных чисел Основание классификации - признак: быть простым числом
- 17. Свойства отношения делимости 1. Отношение делимости рефлексивно, антисимметрично и транзитивно. 2. Отношение делимости есть отношение нестрогого
- 18. Теорема 1. Отношение делимости рефлексивно. (любое натуральное число делится само на себя). Если отношение делимости обозначить
- 19. Доказательство Для любого натурального a справедливо равенство a=a·1. по определению делимости Что и требовалось доказать.
- 20. Теорема 2 Отношение делимости антисиммет-рично (если a кратно b, то b не кратно a) Если отношение
- 21. Доказательство: (доказательство осуществляется методом от противного) Предположим обратное. Пусть но тогда a ≤ b. По условию
- 22. Теорема 3 Отношение делимости транзитивно. Если отношение делимости обозначить –R, а элементы отношения – a,b,c то
- 23. Доказательство Если , то такое, что a = b · g Если , то такое, что
- 24. Признак делимости суммы Теорема 4 Если каждое из натуральных чисел делится на натуральное число b, то
- 25. Доказательство Если то Если то - - - - - - - - - - -
- 26. Преобразуем сумму чисел Так как сумма натуральных чисел есть натуральное число, то ее можно заменить натуральным
- 27. Замечание Обратная теорема: если сумма натуральных чисел кратна натуральному числу c, то каждое слагаемое кратно этому
- 28. Признак делимости разности Теорема 5 Если уменьшаемое a и вычитаемое b делятся на число c, то
- 29. Обобщение теоремы 5 Теорема: Разность двух натуральных чисел a и b делится на натуральное число с,
- 30. Краткое условие теоремы Дано: a>b и Доказать, что
- 31. Доказательство Рассмотрим разность чисел a и b. Следовательно, (a-b) кратно с
- 32. Например: Задание: Не выполняя вычислений, определите делится ли разность чисел 247 и162 на 5. 247 при
- 33. Признак делимости произведения Теорема 6 Если число a делится на b, то произведение вида a·x, где
- 34. Доказательство Так как , то Умножим обе части этого равенства на натуральное число x
- 35. Следствие: Если один из множителей произведения делится на натуральное число, то и все произведение делится на
- 36. Еще три теоремы о делимости Теорема 1 Если в сумме одно слагаемое не делится на b,
- 37. Доказательство Пусть И известно, что Доказательство проведем методом «от противного»
- 38. Предположим противное. Пусть Преобразуем сумму s Имеем: Применим теорему о делимости разности. Следовательно: Противоречие Значит наше
- 39. Теорема 2. (задача) Если в произведении a·b множитель a делится на натуральное число m, а множитель
- 40. Теорема 3. Если произведение a·c делится на произведение b·c, причем c-натуральное число, то a делится на
- 41. Доказательство Так как Значит ассоциативный
- 43. Скачать презентацию