Дифференциальное исчисление. Лекция 1

теоремы
дифференциального исчисления

ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: "Юрайт", 2016.
2. «Математика для экономистов от арифметики до эконометрики: базовый курс» / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: "Юрайт", 2016.
3. Демидович Б.П., Кудрявцев В.А. «Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов» - М.: ООО «Издательство Астрель», 2011.

равносильные.
Поэтому операцию нахождения производной часто называют дифференцированием.
Определение.
Если функция y = f (x) в точке x0 имеет конечную производ-ную, то функция называется дифференцируемой в этой точке.

не-которого промежутка Х (дифференцируема в каждой точке про-межутка Х, т.е. f (x) ∈ D(x) ∀x ∈ Х или f  ∈ D(X)), то говорят, что эта функция дифференцируема на данном промежутке.

Определение.
Если функция имеет непрерывную производную на некотором промежутке Х, то функцию называют гладкой (непрерывно диф-ференцируемой) на этом промежутке и пишут: f ∈ C (1) (Х). 

Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции
Теорема.
Если функция  y = f (x) дифференцируема в точке  x0, то она и непрерывна в этой точке.
Замечание.
Обратное утверждение неверно.
Пример.
Функция y =│x │ непрерывна в точке x = 0, но не имеет в этой точке производной, т.е. не является дифференцируемой.

не является главной частью прираще-ния Δy, поскольку α(Δx)∙Δ x, вообще говоря, отлична от нуля.
В этом случае полагают dy = 0.

Замечание.
Для функции y = x ⇒ dy = dx = x'·∆x, откуда dx = ∆x, т.е.
дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной.

Определение.
Дифференциалом функции y = f (x) в точке x называется главная линейная относительно Δ x часть приращения Δy, равная произведению производной на приращение Δ x независимой пере-менной:
dy = А∙Δx = f '(x)Δ x.

к графику функции y = f (x) в дан-ной точке, когда x получает приращение ∆ x.

f (x) достигает наибольшего или наименьшего значения во внутрен-ней точке х0 этого промежутка, то производная данной функции в этой точке равна нулю: f '(х0) = 0.
Доказательство.

Пусть y = f(x) достигает наименьшего значения в точке х0 :

условиям:
1) непрерывна на отрезке [а, b];
2) дифференцируема на интервале (а, b);
3) на концах отрезка принимает равные значения: f (а) = f (b).
Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка ξ ∈(а, b), в которой производная функции равна нулю:
f '(ξ ) = 0.

Следствие.
Между двумя нулями дифференцируемой функции –
f(a) = f(b) = 0,
всегда лежит хотя бы один нуль ее производной.

[а, b] и во всех его внутренних точках имеет равную нулю производную, то эта функция постоянна на указанном отрезке.

Теорема Ролля – частный случай теоремы Лагранжа, так как при f(а) = f(b) хорда АВ параллельна оси Ох.

и g(х) формулы Лагранжа в виде
f(b) - f(a) = f '(ξ)(b - a) и g(b) - g(a) = g '(ξ)(b - a)
с последующим делением соответствующих частей этих равенств и сокращением на (b – a) ≠ 0 некорректно.