Конкретизация вида коэффициента эффективной квадратичной нелинейной восприимчивости

σi имеют вид:

В эти выражения входят сомножители:

преобразовании:

В коэффициенты нелинейной связи σi входят сомножители, которые имеют вид:

Таким образом, для получения конкретного вида коэффициентов σi необходимо провести перемножение единичных векторов е, отвечающих состояниям поляризации волн на матрицу тензора нелинейной восприимчивости χ(ω).

вид:

Проекции единичных векторов для «е» волны имеют вид:

На рис. приведено расположение единичных векторов поляризаций в одноосном кристалле для обыкновенной волны – e1 и для необыкновенной волны – e2. N – вектор направления распространения волны в кристалле, задаваемый полярным углом Θ и азимутальным углом φ. Плоскость М называется плоскостью главного сечения кристалла. Таким образом, электрический вектор обыкновенной волны колеблется в плоскости перпендикулярной главному сечению кристалла, а необыкновенной волны лежит в этой плоскости.

относительно перестановки двух последних индексов: χijk=χikj.
Из этого следует, что число независимых компонент тензора χ не должно превышать 18.
В общем случае, число независимых компонент определяется симметрией кристаллической решетки, причем, чем больше элементов симметрии решетки, тем меньше число независимых компонент.
Существует способ, позволяющий перейти при записи тензора χ от системы трех индексов i,j,k к системе двух индексов i,l в матрице d размером 3 × 6, используя соотношения:

или в развернутой записи

Здесь использовано соответствие индексов:
ij 11 22 33 23 13 12
l 1 2 3 4 5 6,
а компоненты 6-и мерного вектора F даются следующим соотношением:
F1 = E1E1, F2 = E2E2, F3 = E3E3, F4 = (E2E3 + E3E2), F5 = (E1E3 + E3E1) и F6 = (E1E2 + E2E1).

записи выражений к обычной.
Вводятся обозначения:

Эти выражения в «обычном» представлении имеют вид:

только типом фазового синхронизма. Чтобы получить конкретное значение dэфф в предыдущее выражение подставляют выражения для векторов е1,2 и для тензора χ в соответствии с заданным типом синхронизма.
В качестве примера ниже проведен вывод dэфф для кристалла KDP при I-м типе (оо-е) синхронизма.
Тензор нелинейной квадратичной восприимчивости для этого кристалла, относящегося классу 42m имеет вид:

В силу свойств симметрии кристалла большинство компонент тензора для кристалла KDP равно нулю. Имеется только 3 отличных от нуля компонента, причем независимых компонент только 2.

восприимчивости и компонент единичных векторов поляризации получим (обе исходные волны – «о» волны):

а именно р13 = - d36∙sin 2ϕ. Для получения результата необходимо умножить р13 на соответствующую компоненту орта поляризации «е» волны:

Полученный результат показывает, что эффективный нелинейный коэффициент dэфф зависит не только от полярного угла θ, но и от азимутального угла ϕ. Так как полярный угол задается направлением синхронизма в кристалле, то его значение фиксировано. Для максимизации значения dэфф необходимо выбрать значение угла ϕ. Для данного случая оптимальным значением угла ϕ является 450.
Аналогично проводится расчет для выражения .