Элементы интегрального исчисления

Сентябрь 13, 2022

Главная
Математика
Элементы интегрального исчисления

Содержание

2. Майер И.И. 3.1. Первообразная. Неопределенный интеграл. Основные понятия Определения
3. Майер И.И. Первообразная. Неопределенный интеграл. Пусть задана дифференцируемая функция F(x). Определим ее первую производную, функцию f(x),
4. Майер И.И. Первообразная. Неопределенный интеграл. Пример. Пусть задана функция F(x)=x3. Очевидно, она является первообразной функции f(x)=3x2
5. Майер И.И. Первообразная. Неопределенный интеграл (продолжение) Справедливо утверждение: Если функция F(x) - первообразная функции f(x) на
6. Майер И.И. Так как то Следовательно, если функцию f(x) проинтегрировать, а затем полученный результат продифференцировать, то
7. Майер И.И. 3.2. Основные методы интегрирования Таблица интегралов Методы вычисления неопределенных интегралов
8. Майер И.И. Основные методы интегрирования Вычисление неопределенного интеграла - задача значительно более сложная, чем отыскание производной.
9. Майер И.И. Таблица основных интегралов, с - константа 1. с - константа 2. 3. 4. 5.
10. Майер И.И. 8. 9. 10. 11. 12.
11. Майер И.И. Методы вычисления неопределенных интегралов. В рамках изучаемой дисциплины рассматриваются следующие методы вычисления неопределенных интегралов:
12. Майер И.И. 1. Метод преобразования подынтегрального выражения (подынтегральной функции) Пример 1.1. Вычислить Решение. Преобразованием подынтегральной функции
13. Майер И.И. 1. Метод преобразования подынтегрального выражения (подынтегральной функции) Пример 1.2. Вычислить Решение. Преобразуем подынтегральную функцию
14. Майер И.И. 2. Ввод новой переменной интегрирования. Вместо переменной интегрирования x вводят новую Переменную интегрирования t
15. Майер И.И. 2. Ввод новой переменной интегрирования. Пример 2.1. Вычислить Решение. Введем новую переменную t=1-3x. Продифференцируем
16. Майер И.И. Пример 2.2. Вычислить интеграл Решение. Сделаем замену переменной t=4x+2. Тогда
17. Майер И.И. Пример 2.3. Вычислить Решение. Введем новую переменную t=x2 Тогда
18. Майер И.И. 3. Метод интегрирования по частям. Дан интеграл где подынтегральное выражение представляет собой произведение некоторой
19. Майер И.И. Пример 3.1. Найти Решение. Пусть Чтобы применить формулу интегрирования по частям найдем du и
20. Майер И.И. Пример 3.2. Найти Решение. Пусть Тогда Применив формулу интегрирования по частям, получим
21. Майер И.И. 4. Метод интегрирования рациональных функций Рациональной функцией или рациональной дробью называется функция которая равна
22. Майер И.И. Пример 4.1. Найти Решение. Разобьем сначала интеграл на сумму двух интегралов, из которых первый
23. Майер И.И. Пример 4.2 Найти Решение. Подынтегральная функция не является правильной дробью. Преобразуем подынтегральное выражение
24. Майер И.И. Пример 4.3. Найти Решение. Представим подынтегральную функцию как сумму простейших дробей: Приведем правую часть
25. Майер И.И. 3.3. Определенный интеграл Задача о площади. Определенный интеграл –основные понятия
26. Майер И.И. 3.3. Задача о площади. Понятие определенного интеграла Требуется вычислить площадь криволинейной трапеции CABD. Трапеция
27. Майер И.И. Проводя через точки деления прямые, параллельные оси OY, разобьем криволинейную трапецию CABD на n
28. Майер И.И. Очевидно, что и искомую площадь можно приближенно представить суммой площадей прямоугольников, что равносильно замене
29. Майер И.И. Сумма вида называется интегральной суммой Предел, к которому стремится последовательность интегральных сумм при n→∞
30. Майер И.И. В записи определенного интеграла числа a и b - соответственно нижний и верхний пределы
31. Майер И.И. 3.4. Вычисление определенного интеграла. Основные свойства
32. Майер И.И. Для вычисления определенного интеграла применяют формулу Ньютона-Лейбница: Эта формула справедлива, если f(x) непрерывна на
33. Майер И.И. Основные свойства определенного интеграла 1. 2. 3. 4. Если интервал интегрирования [a, b] разбит
34. Майер И.И. 5. Если функция f(x) ≥ 0 на интервале [a, b] , то Если f(x)
35. Майер И.И. Теорема о среднем значении. Если f(x) - непрерывна на [a, b] , то на
36. Майер И.И. Примеры вычисления определенного интеграла
37. Майер И.И. Пример 1. Вычислить Решение. Воспользуемся методом замены переменной. Обозначим , тогда При вычислении определенного
38. Майер И.И. Пример 2. Вычислить Решение. Подынтегральная функция y = x3 - нечетная, а область интегрирования
39. Майер И.И. Пример 3. Вычислить Решение. Воспользуемся формулой интегрирования по частям Возьмем в качестве Тогда
40. Майер И.И. 3.5. Несобственные интегралы Определение термина «Определенный интеграл» было дано в предположении, что промежуток интегрирования
41. Майер И.И. Пример. Функция непрерывна на бесконечном интервале . Если A - любое конечное число, A
43. Скачать презентацию

Слайд 2

Майер И.И.
3.1. Первообразная. Неопределенный интеграл.
Основные понятия
Определения

Слайд 3

Майер И.И.
Первообразная. Неопределенный интеграл.
Пусть задана дифференцируемая функция F(x).
Определим ее

первую производную, функцию f(x), и
дифференциал dF. Получим
(1) (2)
В данной задаче F(x) задана, а f(x) - результат
дифференцирования.
Рассмотрим обратную задачу: Дана функция f(x),
производная от F(x).
Требуется определить функцию F(x), первообразную
функции f(x).
Определение. Первообразной заданной функции f(x)
называется функция F(x), производная которой равна f(x)
а дифференциал dF равен :

Слайд 4

Майер И.И.
Первообразная. Неопределенный интеграл.
Пример. Пусть задана функция F(x)=x3.
Очевидно, она

является первообразной функции f(x)=3x2 ,т. к.
Но функция z=x3+5 также будет первообразной для f(x)=3x2 ,
т.к.
Очевидно, что любая функция F(x) = x3+c, где c –
произвольная постоянная, имеет производную 3x2 и
поэтому будет первообразной для f(x)=3x2 .
Очевидно, задача нахождения первообразных неоднозначна

Слайд 5

Майер И.И.
Первообразная. Неопределенный интеграл (продолжение)
Справедливо утверждение:
Если функция F(x) - первообразная

функции f(x) на интервале
(a,b), то всякая другая первообразная функции f(x) отличается
от F(x) на постоянное слагаемое c . представляется в виде
F(x)+c ,
Выражение F(x)+c представляет собой общий вид
первообразных для f(x), совокупность всех
первообразных, семейство первообразных.
Совокупность всех первообразных называется
неопределенным интегралом функции f(x) и
обозначается
Операцию вычисления неопределенного интеграла называют
интегрированием функции.

Слайд 6

Майер И.И.
Так как то
Следовательно, если функцию f(x) проинтегрировать, а
затем

полученный результат продифференцировать, то
получим снова функцию f(x).
Дифференцирование и интегрирование являются
взаимно обратными операциями.
Свойства неопределенного интеграла.
1. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы
конечного числа функций равен алгебраической сумме
неопределенных интегралов этих функций
2. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

Слайд 7

Майер И.И.
3.2. Основные методы интегрирования
Таблица интегралов
Методы вычисления неопределенных интегралов

Слайд 8

Майер И.И.
Основные методы интегрирования
Вычисление неопределенного интеграла - задача значительно более
сложная, чем

отыскание производной.
Нет никаких общих правил для нахождения неопределенных
интегралов от произведений или частного двух функций. Нет
общего правила интегрирования сложной функции.
Кроме того, интегралы от некоторых элементарных функций,
например, интегралы от функций
не являются элементарными, не берутся в элементарных
функциях.
Для вычисления неопределенных интегралов используют:
табличные интегралы;
преобразования подынтегрального выражения
различные методы интегрирования

Слайд 9

Майер И.И.
Таблица основных интегралов, с - константа
1. с - константа
2.
3.
4.
5.
6.
7.

Слайд 10

Майер И.И.
8.
9.
10.
11.
12.

Слайд 11

Майер И.И.
Методы вычисления неопределенных интегралов.
В рамках изучаемой дисциплины рассматриваются
следующие методы

вычисления неопределенных
интегралов:
Преобразование подынтегрального выражения
Ввод новой переменной интегрирования
Метод интегрирования по частям
Метод интегрирования рациональной функции

Слайд 12

Майер И.И.
1. Метод преобразования подынтегрального выражения
(подынтегральной функции)
Пример 1.1. Вычислить
Решение. Преобразованием

подынтегральной функции
сведем интеграл к табличному
= = =

Слайд 13

Майер И.И.
1. Метод преобразования подынтегрального выражения
(подынтегральной функции)
Пример 1.2. Вычислить
Решение. Преобразуем

подынтегральную функцию
Тогда

Слайд 14

Майер И.И.
2. Ввод новой переменной интегрирования.
Вместо переменной интегрирования x вводят

новую
Переменную интегрирования t , интеграл сводят к более
простому, например, к табличному.
Пусть x=φ(t), где φ(t) - непрерывная монотонная
функция, имеющая непрерывную производную . Тогда

Слайд 15

Майер И.И.
2. Ввод новой переменной интегрирования.
Пример 2.1. Вычислить
Решение. Введем

новую переменную t=1-3x.
Продифференцируем по х. Тогда dt= - 3dx и
Подставим найденные выражения в интеграл и получим
Ответ

Слайд 16

Майер И.И.
Пример 2.2. Вычислить интеграл
Решение. Сделаем замену переменной t=4x+2. Тогда

Слайд 17

Майер И.И.
Пример 2.3. Вычислить
Решение. Введем новую переменную t=x2
Тогда

Слайд 18

Майер И.И.
3. Метод интегрирования по частям.
Дан интеграл
где подынтегральное выражение

представляет собой
произведение некоторой функции u(x) на дифференциал другой
функции dv(x), то есть подынтегральное выражение
Тогда
Эта формула называется формулой интегрирования по
частям.
Методом интегрирования по частям решены задачи 3.1 и 3.2

Слайд 19

Майер И.И.
Пример 3.1. Найти
Решение. Пусть
Чтобы применить формулу интегрирования по

частям найдем
du и v(x)
Подставим в формулу интегрирования по частям и получим:

Слайд 20

Майер И.И.
Пример 3.2. Найти
Решение. Пусть
Тогда
Применив формулу интегрирования по частям,

получим

Слайд 21

Майер И.И.
4. Метод интегрирования рациональных функций
Рациональной функцией или рациональной дробью называется

функция которая равна частному от деления двух многочленов
(полиномов) переменной х..
Многочленом называется функция вида
Старшая степень n переменной x называется степенью
многочлена, а числа a0 , a1, a2,…an - его коэффициентами
Если Pn(x) - многочлен степени n, а Qm(x) - многочлен степени m,
то функция
называется рациональной функцией или рациональной дробью.
«Правильной» рациональной дробью называют рациональную
функцию, у которой степень n числителя меньше степени m
знаменателя.

Слайд 22

Майер И.И.
Пример 4.1.
Найти
Решение. Разобьем сначала интеграл на сумму двух

интегралов, из которых первый найдем сразу, а второй
вычислим после простых преобразований:

Слайд 23

Майер И.И.
Пример 4.2 Найти
Решение. Подынтегральная функция
не является правильной дробью.

Преобразуем подынтегральное
выражение

Слайд 24

Майер И.И.
Пример 4.3. Найти
Решение. Представим подынтегральную функцию как сумму
простейших дробей:
Приведем

правую часть равенства к общему знаменателю. Получим
Равенство должно выполняться при любых значениях переменной x.
Так как знаменатели равны, то должны быть равны и числители.
Тогда
Теперь интеграл сведется к сумме двух интегралов

Слайд 25

Майер И.И.
3.3. Определенный интеграл
Задача о площади.
Определенный интеграл –основные понятия

Слайд 26

Майер И.И.
3.3. Задача о площади. Понятие определенного интеграла
Требуется вычислить площадь

криволинейной трапеции CABD.
Трапеция ограничена осью OX, двумя
вертикальными прямыми x=a и x=b, а
сверху – графиком функции f(x).
Предполагается, что f(x) непрерывна
и положительна на интервале [a,b] .
Разобьем отрезок [a,b] точками a=x0,
x1, x2,…,xn=b на n равных частей.
Получим n малых отрезков одинаковой
длины [x0, x1], [x1, x2],…,[xn-1, xn]
одинаковой длины.
Обозначим длину каждого отрезка Δxk ,
k=1, 2,…n . Очевидно,

Слайд 27

Майер И.И.
Проводя через точки деления прямые,
параллельные оси OY, разобьем
криволинейную трапецию

CABD на n
малых криволинейных трапеций
Обозначим через ΔSk - площадь малой
криволинейной трапеции, а через S
площадь всей криволинейной
трапеции, то
Заменим площадь ΔSk каждой малой
криволинейной трапеции площадью
соответствующего прямоугольника
(рис. 2), с основанием Δxk и высотой ,
равной значению функции f(x) в конце
интервала разбиения

Слайд 28

Майер И.И.
Очевидно, что и искомую площадь можно приближенно
представить суммой площадей

прямоугольников, что равносильно
замене функции f(x) ступенчатой функцией .
Ясно, что чем меньше длина промежутков [xk-1,xk], k=1, 2,…n , тем
точнее ступенчатая фигура приближает (аппроксимирует)
криволинейную трапецию.
За точное значение площади S криволинейной трапеции принимают
предел последовательности площадей ступенчатых фигур, когда
n→∞ и все длины Δxk стремятся к нулю.

Слайд 29

Майер И.И.
Сумма вида называется
интегральной суммой
Предел, к которому стремится
последовательность

интегральных сумм при
n→∞ , называется определенным интегралом
функции f(x) на отрезке [a, b]. Определенный
интеграл функции f(x) на интервале [a, b]
обозначается символом

Слайд 30

Майер И.И.
В записи определенного интеграла
числа a и b - соответственно нижний

и верхний пределы
интегрирования, f(x) - подынтегральной функцией,
отрезок [a, b] - область интегрирования.
Если функция f(x) - непрерывна на отрезке [a, b], то
определенный интеграл существует (достаточное условие).
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной
непрерывной кривой y= f(x), где f(x)≥0 на всем отрезке [a, b],
численно равна определенному интегралу .
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной
непрерывной кривой y= f(x), где f(x) <=0 на всем отрезке [a, b],
численно равна определенному интегралу, взятому со
Знаком минус .

Слайд 31

Майер И.И.
3.4. Вычисление определенного интеграла. Основные свойства

Слайд 32

Майер И.И.
Для вычисления определенного интеграла применяют формулу Ньютона-Лейбница:
Эта формула справедлива, если

f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и F(x) - одна из ее первообразных.
Разность F(b) - F(a) символически обозначают
Пример: вычислить определенный интеграл функции 2x на интервале [0, 1],
Первообразная для 2x ,
Тогда

Слайд 33

Майер И.И.
Основные свойства определенного интеграла
1.
2.
3.
4. Если интервал интегрирования [a,

b] разбит на части [a,c] и [c, b],
то

Слайд 34

Майер И.И.
5. Если функция f(x) ≥ 0 на интервале [a, b]

, то
Если f(x) ≤ 0 и b ≥ a, то
6. Если для всех выполняется f(x) ≤ g(x)
то

Слайд 35

Майер И.И.
Теорема о среднем значении.
Если f(x) - непрерывна на [a,

b] , то на этом отрезке существует точка ξ a ≤ ξ ≤ b такая, что прямоугольник с основанием b - a и высотой f(ξ) равновелик площади криволинейной трапеции (рис. 6).

Слайд 36

Майер И.И.
Примеры вычисления определенного интеграла

Слайд 37

Майер И.И.
Пример 1. Вычислить
Решение. Воспользуемся методом замены переменной. Обозначим

, тогда
При вычислении определенного интеграла методом замены переменной
нет необходимости возвращаться к старой переменной, необходимо
пересчитать пределы интегрирования.
В нашем примере при х=0 t=0 т.к. sin(0)=0; при =0; при x=1
Пределы интегрирования по переменной
Если x = 0, то sin(t) =0; t=0. Если x = 1, то
Тогда

Слайд 38

Майер И.И.
Пример 2. Вычислить
Решение. Подынтегральная функция
y = x3 -

нечетная, а область интегрирования
– отрезок, симметричный относительно
начала координат.
Из геометрических соображений
(рис. 7) такой интеграл будет равен
нулю:
Если f(x)- функция четная, а отрезок
интегрирования [-a, a], то можно
вычислить интеграл от 0 до a и
полученный результат удвоить:

Слайд 39

Майер И.И.
Пример 3. Вычислить
Решение. Воспользуемся формулой интегрирования по частям
Возьмем в

качестве
Тогда

Слайд 40

Майер И.И.
3.5. Несобственные интегралы
Определение термина «Определенный интеграл» было дано в
предположении,

что промежуток интегрирования [a, b]
конечен и функция f(x) непрерывна на нем.
Рассмотрим случай, когда промежуток интегрирования
бесконечен. Например, в теории вероятностей большую роль
играют интегралы
Такие интегралы называют несобственными.

Слайд 41

Майер И.И.
Пример. Функция непрерывна на бесконечном интервале .
Если A -

любое конечное число, A > 1 , то существует интеграл
который при имеет предел, равный единице.
Этот предел называют несобственным интегралом функции
на бесконечном интервале и обозначают символом
Таким образом

Элементы интегрального исчисления

Содержание

Майер И.И.3.1. Первообразная. Неопределенный интеграл. Основные понятияОпределения

Майер И.И.Первообразная. Неопределенный интеграл. Пусть задана дифференцируемая функция F(x). Определим ее

Майер И.И.Первообразная. Неопределенный интеграл. Пример. Пусть задана функция F(x)=x3. Очевидно, она

Майер И.И.Первообразная. Неопределенный интеграл (продолжение)Справедливо утверждение: Если функция F(x) - первообразная

Майер И.И.Так как то Следовательно, если функцию f(x) проинтегрировать, а затем

Майер И.И.3.2. Основные методы интегрированияТаблица интеграловМетоды вычисления неопределенных интегралов

Майер И.И.Основные методы интегрированияВычисление неопределенного интеграла - задача значительно болеесложная, чем

Майер И.И.Таблица основных интегралов, с - константа 1. с - константа2.3.4.5.6.7.

Майер И.И.8. 9.10.11.12.

Майер И.И.Методы вычисления неопределенных интегралов. В рамках изучаемой дисциплины рассматриваютсяследующие методы

Майер И.И.1. Метод преобразования подынтегрального выражения (подынтегральной функции)Пример 1.1. ВычислитьРешение. Преобразованием

Майер И.И.1. Метод преобразования подынтегрального выражения (подынтегральной функции)Пример 1.2. ВычислитьРешение. Преобразуем

Майер И.И.2. Ввод новой переменной интегрирования. Вместо переменной интегрирования x вводят

Майер И.И.2. Ввод новой переменной интегрирования. Пример 2.1. Вычислить Решение. Введем

Майер И.И.Пример 2.2. Вычислить интеграл Решение. Сделаем замену переменной t=4x+2. Тогда

Майер И.И.Пример 2.3. Вычислить Решение. Введем новую переменную t=x2Тогда

Майер И.И.3. Метод интегрирования по частям. Дан интеграл где подынтегральное выражение

Майер И.И.Пример 3.1. Найти Решение. Пусть Чтобы применить формулу интегрирования по

Майер И.И.Пример 3.2. Найти Решение. Пусть ТогдаПрименив формулу интегрирования по частям,

Майер И.И.4. Метод интегрирования рациональных функцийРациональной функцией или рациональной дробью называется

Майер И.И.Пример 4.1. Найти Решение. Разобьем сначала интеграл на сумму двух

Майер И.И.Пример 4.2 Найти Решение. Подынтегральная функция не является правильной дробью.

Майер И.И.Пример 4.3. Найти Решение. Представим подынтегральную функцию как суммупростейших дробей:Приведем

Майер И.И.3.3. Определенный интегралЗадача о площади. Определенный интеграл –основные понятия

Майер И.И. 3.3. Задача о площади. Понятие определенного интегралаТребуется вычислить площадь

Майер И.И.Проводя через точки деления прямые,параллельные оси OY, разобьем криволинейную трапецию

Майер И.И.Очевидно, что и искомую площадь можно приближенно представить суммой площадей

Майер И.И.Сумма вида называется интегральной суммой Предел, к которому стремится последовательность

Майер И.И.В записи определенного интегралачисла a и b - соответственно нижний

Майер И.И.3.4. Вычисление определенного интеграла. Основные свойства

Майер И.И.Для вычисления определенного интеграла применяют формулу Ньютона-Лейбница:Эта формула справедлива, если

Майер И.И.Основные свойства определенного интеграла1. 2. 3.4. Если интервал интегрирования [a,

Майер И.И.5. Если функция f(x) ≥ 0 на интервале [a, b]

Майер И.И.Теорема о среднем значении. Если f(x) - непрерывна на [a,

Майер И.И.Примеры вычисления определенного интеграла

Майер И.И.Пример 1. Вычислить Решение. Воспользуемся методом замены переменной. Обозначим

Майер И.И.Пример 2. Вычислить Решение. Подынтегральная функция y = x3 -

Майер И.И.Пример 3. Вычислить Решение. Воспользуемся формулой интегрирования по частямВозьмем в

Майер И.И.3.5. Несобственные интегралыОпределение термина «Определенный интеграл» было дано в предположении,

Майер И.И.Пример. Функция непрерывна на бесконечном интервале . Если A -

Похожие презентации