Элементы теории вероятностей (Лекция 2)

Август 6, 2022

Главная
Математика
Элементы теории вероятностей (Лекция 2)

Содержание

2. План: ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Основные теоремы теории вероятностей Формула полной вероятности Случайные величины Числовые характеристики
3. 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Испытание. Испытанием называется совокупность обстоятельств, при которых появляется случайное событие. Например,
4. 1. Случайное событие Определение. Событие – это факт, который в результате испытания может произойти или не
5. Виды событий Достоверное Случайное Невозможное
6. События равновозможные. События называются равновозможными, если при испытании не существует никаких объективных причин, вследствие которых одно
7. Равновозможные события, на которые мы разбиваем события неравновозможные, называются случаями. Случаи, способствующие появлению одного из неравновозможных
8. Классическое определение Статистическое определение Относительная частота события
9. Я. Бернулли доказал, что при неограниченном увеличении числа однородных независимых опытов с практической достоверностью можно утверждать,
10. Английский математик Карл Пирсон бросал монету 24000 раз. Герб выпал 12012 раз. Какова частота выпадения герба?
11. Определение. Элементарными исходами опыта называются такие результаты опыта, которые взаимно исключают друг друга и в результате
20. Человеческий организм – это вероятностная система. Нет детерминированных показателей: что хорошо для одного, то для другого
21. 4. Случайные величины. 4.1. Случайные величины и их виды. Определение. Случайной величиной называется величина, которая в
22. Случайные величины Дискретные Непрерывные
23. 4.2. Закон распределения дискретной случайной величины. Определение. Соотношение между возможными значениями случайной величины и их вероятностями
25. 5. Числовые характеристики дискретных случайных величин. Эти величины определяют некоторое среднее значение, вокруг которого группируются значения
26. Для дискретных случайных величин Для непрерывных случайных величин
27. 5.
28. 5.3. Дисперсия. Математическое ожидание не может полностью характеризовать случайный процесс. Кроме математического ожидания надо ввести величину,
29. Дисперсия – рассеяние вокруг математического ожидания Для дискретных случайных величин Для непрерывных случайных величин отклонение
30. Пример. Закон распределения случайной величины имеет вид:
31. 5.
32. 5.
33. 5.
34. Функция распределения Функция распределения = = интегральная функция распределения – это вероятность того, что случайная величина
38. μ1˃μ2 σ1˂σ2 μ1 μ2 Влияние параметров НЗР на форму кривой
40. Скачать презентацию

Слайд 2

План:
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Основные теоремы теории вероятностей
Формула полной вероятности
Случайные величины
Числовые характеристики

дискретных случайных величин.

Слайд 3

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Испытание. Испытанием называется совокупность обстоятельств, при которых

появляется случайное событие.
Например, бросание монеты, извлечение шаров из ящика, простое наблюдение за средней температурой данного дня года, проводимое в течение многих лет.
Единственно возможные события. События А, В, С, ...называются единственно возможными, если в результате каждого испытания хотя бы одно из них наверное наступит. Говорят также, что рассматриваемые события образуют полную группу событий.
Например, при бросании монеты единственно возможны два случая: или монета упадет вверх гербом.
События несовместимые. События называются несовместимыми, если появление одного из них при испытании исключает появление остальных событий при том же испытании.
Например, в ящике находится пять шаров, помеченных номерами: 1, 2, 3, 4, 5. При извлечении шара вскроется только один из пяти номеров, значит, события, состоящие в появлении этого номера при дальнейшем извлечении шаров из ящика, являются несовместимыми.

Слайд 4

1. Случайное событие
Определение. Событие – это факт, который в результате испытания

может произойти или не произойти.

Это испытание

Это событие

Слайд 5

Виды событий
Достоверное
Случайное
Невозможное

Слайд 6

События равновозможные. События называются равновозможными, если при испытании не существует

никаких объективных причин, вследствие которых одно из них могло бы наступать чаще, чем какое-либо другое. Например, появление герба или решетки при бросании монеты — события равновозможные.
Но если в ящике находится 8 белых и 2 черных шара, то появление белого или черного шара не могут быть событиями равновозможными. Они носят название событий неравновозможных.
Приведение неравновозможных событий к равновозможным. Неравновозможные события можно привести к равновозможным, если данные неравновозможные события могут быть разбиты на равновозможные, представляющие их частные виды. Пусть в ящике находятся четыре черных и шесть белых шаров. В данном случае появление белого или черного шара события неравновозможные. Но если черные и белые шары пронумеровать цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, то они будут отличаться друг от друга только номерами и извлечение их будет соответствовать десяти равновозможным событиям.

Слайд 7

Равновозможные события, на которые мы разбиваем события неравновозможные, называются случаями.
Случаи, способствующие

появлению одного из неравновозможных событий, называются благоприятствующими этому событию. В нашем примере четыре случая благоприятствуют появлению черного шара, шесть случаев благоприятствуют появлению белого шара.

Слайд 8

Классическое
определение
Статистическое
определение
Относительная частота
события

Слайд 9

Я. Бернулли доказал, что при неограниченном увеличении числа однородных независимых опытов

с практической достоверностью можно утверждать, что частота события будет сколь угодно мало отличаться от его вероятности в отдельном опыте.
Вероятностью события называют число, около которого колеблется частота появления события при сохранении неизменных условий опыта. Приведенное определение вероятности называют статистическим определением.
Практически невозможным событием называется событие, вероятность которого весьма близка к нулю, но не равна нулю.
Практически достоверным называется событие, вероятность которого весьма близка к единице, но не равна единице.

Слайд 10

Английский математик Карл Пирсон бросал монету 24000 раз.
Герб выпал 12012

раз.

Какова частота выпадения герба?

Слайд 11

Определение. Элементарными исходами опыта называются такие результаты опыта, которые взаимно исключают

друг друга и в результате опыта происходит одно из этих событий.
Совокупность всех элементарных исходов опыта называется пространством элементарных событий.
Определение. Полной группой событий называется совокупность всех возможных результатов опыта.

Слайд 12

Слайд 13

Слайд 14

Слайд 15

Слайд 16

Слайд 17

Слайд 18

Слайд 19

Слайд 20

Человеческий организм – это вероятностная система.
Нет детерминированных показателей: что хорошо

для одного, то для другого – смерть.

Воздействие

Ему хорошо

Смерть

“Медицина – это наука
неопределенности и
искусство вероятности”.
Сэр Вильям Ослер

Слайд 21

4. Случайные величины.
4.1. Случайные величины и их виды.
Определение. Случайной величиной

называется величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение, причем заранее известно какое именно.
Случайные величины можно разделить на две категории.
Определение. Дискретной случайной величиной называется такая величина, которая в результате опыта может принимать определенные значения с определенной вероятностью, образующие счетное множество (множество, элементы которого могут быть занумерованы).
Например, число волос на голове, уровень сахара больных.
Определение. Непрерывной случайной величиной называется такая величина, которая может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.
Очевидно, что число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно. Для задания случайной величины недостаточно просто указать ее значение, необходимо также указать вероятность этого значения.

Слайд 22

Случайные величины
Дискретные
Непрерывные

Слайд 23

4.2. Закон распределения дискретной случайной величины.
Определение. Соотношение между возможными значениями случайной

величины и их вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины.
Закон распределения может быть задан аналитически, в виде таблицы или графически.
Таблица соответствия значений случайной величины и их вероятностей называется рядом распределения.
Графическое представление этой таблицы называется многоугольником распределения. При этом сумма все ординат многоугольника распределения представляет собой вероятность всех возможных значений случайной величины, а, следовательно, равна единице.

Слайд 24

Слайд 25

5. Числовые характеристики дискретных случайных величин.
Эти величины определяют некоторое среднее значение,

вокруг которого группируются значения случайной величины, и степень их разбросанности вокруг этого среднего значения.
5.1. Математическое ожидание.
Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности.
С точки зрения вероятности можно сказать, что математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Слайд 26

Для дискретных
случайных величин
Для непрерывных
случайных величин

Слайд 27

5.

Слайд 28

5.3. Дисперсия.
Математическое ожидание не может полностью характеризовать случайный процесс. Кроме математического

ожидания надо ввести величину, которая характеризует отклонение значений случайной величины от математического ожидания.
Это отклонение равно разности между случайной величиной и ее математическим ожиданием. При этом математическое ожидание отклонения равно нулю. Это объясняется тем, что одни возможные отклонения положительны, другие отрицательны, и в результате их взаимного погашения получается ноль.
Определение. Дисперсией (рассеиванием) дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

Слайд 29

Дисперсия – рассеяние вокруг
математического ожидания
Для дискретных
случайных величин
Для непрерывных
случайных величин
отклонение

Слайд 30

Пример. Закон распределения случайной величины имеет вид:

Слайд 31

5.

Слайд 32

5.

Слайд 33

5.

Слайд 34

Функция распределения
Функция распределения = = интегральная функция распределения – это вероятность

того, что случайная величина Х примет значение меньше некоторого наперед заданного числа х- малое

Для дискретных
случайных величин

Для непрерывных
случайных величин

Для дискретной и непрерывной случайных величин.

Слайд 35

Слайд 36

Слайд 37

Слайд 38

Элементы теории вероятностей (Лекция 2)

Содержание

План:ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙОсновные теоремы теории вероятностейФормула полной вероятностиСлучайные величиныЧисловые характеристики

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙИспытание. Испытанием называется совокупность обстоятельств, при которых

1. Случайное событиеОпределение. Событие – это факт, который в результате испытания

Виды событийДостоверноеСлучайноеНевозможное

События равновозможные. События называются равновозможными, если при испытании не существует

Равновозможные события, на которые мы разбиваем события неравновозможные, называются случаями.Случаи, способствующие

КлассическоеопределениеСтатистическоеопределениеОтносительная частота события

Я. Бернулли доказал, что при неограниченном увеличении числа однородных независимых опытов

Английский математик Карл Пирсон бросал монету 24000 раз. Герб выпал 12012

Определение. Элементарными исходами опыта называются такие результаты опыта, которые взаимно исключают

Человеческий организм – это вероятностная система.Нет детерминированных показателей: что хорошо

4. Случайные величины.4.1. Случайные величины и их виды. Определение. Случайной величиной

Случайные величиныДискретныеНепрерывные

4.2. Закон распределения дискретной случайной величины. Определение. Соотношение между возможными значениями случайной

5. Числовые характеристики дискретных случайных величин. Эти величины определяют некоторое среднее значение,

Для дискретныхслучайных величинДля непрерывныхслучайных величин

5.

5.3. Дисперсия. Математическое ожидание не может полностью характеризовать случайный процесс. Кроме математического

Дисперсия – рассеяние вокруг математического ожиданияДля дискретныхслучайных величинДля непрерывныхслучайных величинотклонение