Интегрирование тригонометрических функций. (Семинар 16)

важное значение имеют интегралы вида

Рассмотрим различные значения параметров m и n
а) Если хотя бы одно из m или n нечетное (m>0,n>0), то интеграл
вычисляется непосредственно.
б) Если оба показателя четные числа (m>0,n>0), то используются формулы
двойного аргумента, понижающие степень, а именно

С) Если m<0 и n<0 и сумма их четна, то применяется подстановка t=tgx или t=ctgx. Исходный интеграл сводится к сумме интегралов от степенных функций.

Д) Если m<0 и n<0, то единица в числителе представляется как

, где 2k=|m+n|-2

Е) Если m=0, n – нечетное отрицательное или n=0, m – нечетное отрицательное, то используется универсальная подстановка

интеграла возможны различные случаи
представления подынтегральной функции:
а) Функции sinx, cosx – только в четных степенях. Тогда можно
использовать подстановку

Интеграл упрощается.
Замечание Такой же подстановкой вычисляется интеграл вида

Пример

Это после разложения на

простейшие дроби, вычисления интегралов от них и возврата к старой переменной.

б) Функция R(sinx,cosx) имеет вид

к цели, но в силу своей общности она часто не является наилучшей в смысле краткости и простоты необходимых преобразований.

3. В теории рядов Фурье, важное значение имеют интегралы

Они вычисляются на основании формул тригонометрии:

интегралы вида

Вычисление таких интегралом требует многократного интегрирования по частям.

a)

=

b)

=

, тогда получаем

Замечание Если принять вначале

, то получим тождество

и возврата к старой переменной.

8)

9)

10)

=

тогда получаем

Замечание Если принять вначале

, то получим тождество